1988年考研数学试题答案及评分参考.doc

1988年考研数学试题答案及评分参考 - 图文 - 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学〔试卷一〕 一．(此题总分值 15 分，每题 5 分) n ? ( x ? 3) (1) 求幂级数 ? 的收敛域. n?1 n ?3 n ( x ? 3) ( n ?1) ?3解：因 lim n?1 ? lim n x ? 3 ? 1 x ? 3 , 故 1 x ?3 ?1即0 ? x ? 6 时， n3( n ?1) 3 3 ( x ? 3) n - n- n n ?3 幂级数收敛. -3 分 ? 1 n 当 x ? 0 时，原级数成为交织级数 ?( ?1) ，是收敛的. -4 分 n n?1 ? 1 ，是发散的. -5 分 当 x ? 6 时，原级数成为调和级数 ? n?1 n n?1 所以，所求的收敛域为?0, 6?. (2) f(x)= e 2 ,f -( x)?=1-x,且 ? (x) ? 0.求 ? (x)并写出它的定义域. x解：由 e ?1? x ，得 ?( x) ? ln(1 ? x) . 由 ln(1 ? x) ? 0 ，得1 ? x ?1 即 x ? 0 . 所以?( x) -ln(1 ? x) ，其定义域为 ( -, 0). (3)设 S 为曲面 x ? y ? z ?1 的外侧，计算曲面积分 I ? [?(x)]2-3 分 -5 分 222-xdydz ? ydxdx? zdxdy. s333解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 I ? 3 -? -3( x ? y 2 ? z 2 )dv 〔其中 ? 是由 S 所围成的区域〕 ? 2 ? ? 1 2-2 分 -4 分 -5 分 12? . ?0 d? ?0 d -0 r ? r sin ?dr 22-?5 1988 年 ? 第 1 页 二、填空题：(此题总分值 12 分，每题 3 分) 1 (1) 假设 f(t)= lim t (1 ? x ) 2tx ，那么 ? 2tx-f ?(2t ?1)e(2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 -1,1? 上的定 f(x)= x3 ,0?x?1 ,那么 f(x)的付立叶级 2 数在 x=1 处收敛于 . ?2,?1?x?0 3 x ?1 3 (3) 设 f(x)是连续函数，且 ?0 1 f (t)dt ? x, 那么 f(7)= 12 . (4) 设 4*4 矩阵 A= (?,? 2,? 3,? 4 ) ，B= (?,? 2,?3,? 4 ) ，其中，?, ?,? 2 ,? 3,? 4 均为 4 维列向量， 且行列式 A ? 4, B ?1,那么行列式 A ? B =. 40 . 三、选择题 ( 此题总分值 15 分，每题 3 分) 0 (1) 假设函数 y=f(x)有 f ?(x ) ? 1 ，那么当 ?x ? 0 时，该函 x= x 处的微分 dy 是 2 (A) 与 ?x 等价的无穷小 (C) 比 ?x 低阶的无穷小 0 (B) (B) 与 ?x 同阶的无穷小 (D) 比 ?x 高阶的无穷小 (2) 设 y ? f ( x) 是方程 y-- 2 y-? 4 y ? 0 的一个解，假设 f ( x) ? 0 ，且 f ?(x0 ) ? 0 ，那么函数 f ( x) 在点 x0 (A) (A) 获得极大值 (B) 获得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 22222222(3) 设有空间区域 ? : x ? y ? z ? R , z ? 0; 及 ? : x ? y ? z ? R , x ? 0, y ? 0, z ? 0, 那么 (C) 1 2 xdv?4xdvydv ? 4---2 -- ydv (A) --?(B) -- 1 1 2 zdv?4zdv-----2 xyzdv (C) (D) -- xyzdv ? 4-- ?1 1 2 ? n (4) 假设 ?an (x ?1) 在 x=-1 处收敛，那么此级数在 x=2 处 (B) n?1 (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 ?1 , ?2 , , ?s (3 ? s ? n) 线性无关的充分必要条件是 (D) (A) 有一组不全为 0 的数 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 ?1 ? k2?2 -- ks?s ? 0 . ?1 , ?2 , ,?s 中任意两个向量都线性无关. (C) ?1 , ?2 , ,?s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. (B) (D) ?1 , ?2 , ,?s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 1988 年 ? 第 2 页 四．(此题总分值 6 分) 22? u ?u . x y 设 u ? yf ( ) ? xg( ) ，其中 f,g 具有二阶连续导数，求 x ? y y x ?x 2 ?x?y ?u ? x ? ? y ? y ? y ? 解： ? f ? ? ? ? g ? ? ? g- ?. y?x - ? ? x ? x ? x ? 22 ? u 1 ? x ? y ? y ? ? -? 3 g-? ?. ? f - 2 y?x y -- x ? x ? 2?u x ? x ? y ? y ? -? 2 f -? -? 2 g-? ?. y?x?y y -- x ? x ? 22? u ?u ? 0 . 所以 x ? ? y ? ?x 2 ?x?y -2 分 -3 分 -5 分 -6 分 五、(此题总分值 8 分) 设函数 y=y(x)满足微分方程 y-?3y- 2y ? 2e , 且图形在点(0，1)处的切线与曲线 2xy ? x ? x ?1在该点的切线重合，求函数 y ? y(x). x2x解：对应齐次方程的通解为 Y ? C e ?C e . 1 2 设原方程的特解为 y ? Axe , -2 分 得 A -?2 . x2x2x故原方程通解为 y ( x) ? C e ?C e ? 2xe . 1 2 又有公共切线得 y |x ?0 ?1, y?| x?0 -?1， ? c ? c ? 1, 1即 ? 2 解得 c1 ? 1, c2 ? 0 . ?c1 ? 2c2 ?1 2x所以 y ? (1 ?2 x)e . 六、(此题总分值 9 分) *x-3 分 -4 分 -5 分 -7 分 -8 分 k 设位于点(0，1)的质点 A 对质点 M 的引力大小为 r 2 (k>0 为常数，r 为质点 A 与 M 之 2间的间隔 —)，质点 M 沿曲线 y -2x ? x 自 B(2,0)运动到 O(0，0).求在此运动过程中质点 A 对质 M 点的引力所做的功. 解： MA ?{0 ? x,1 ? y} -2 分 因引力 f 的方向与 MA 一致， .k 故 f ? 3 {?x,1 ? y} r r ? x ? (1 ? y) . 22 -4 分 1988 年 ? 第 3 页 从而W ? k [ ?xdx ? (1 ? y ) dy] 3 r ? k ?(1 ? 1 ) . 5 ?BO -6 分 -9 分 0 0 ?1 0 0 ? ?1 ? ? ? ? ? AP ? PB ,其中 B -? 0 0 0 ?, P -? 2 ?1 0 ? 求 A 及 A5 . ? ? ? ? ? 0 0 ?1? ? 2 1 1 ? ? 1 0 0 ? -1解：先求出 P ? ? 2 ?1 0 . ? ? ? ? ?4 1 1 ? ? ?1 0 0 -1 0 0 - 1 0 0 ? ?1因 AP ? PB ，故 A ? PBP ? ? 2 ?1 0 - 0 0 0 - 2 ?1 0 ? ? - - ? ? - - ? ? 2 1 1 - 0 0 ?1 -? ?4 1 1 ? ?1 0 0 - 1 0 0 ? ?1 0 0 ? -?? ? 2 0 0 2 ?1 0 ? - 2 0 0 -. ? - ? ? ? ? - ? ? ? 1 1 ? ? 6 ? 2 0 ?1 - ?4 ?1 ?1? 5个 5个 七、(此题总分值 6 分) -2 分 -4 分 从而 A ? AAAAA ?〔PBP 〕(PBP ) (PBP ) ? PB P =PBP =A . 5?1?1?15?1?1-6 分 ?2 0 0 ? ? 2 0 0 ? ? ? ? ? 矩阵 A -? 0 0 1 ? 与 B -? 0 y 0 ? 相似， ? ? ? ? ?1? ? 0 1 x ? ? 0 0 ?1(1) 求 x 与 y； (2) 求一个满足 P AP ? B 的可逆矩阵 P . 解：(1) 因 A 与 B 相似，故| ?E ? A |?| ?E ? B | ，即 八、(此题总分值 8 分) -1 分 ? ? 2 0 0 ? ? 2 0 0 0 ? ?1 ? 0 ? ? y 0 ， 0 ?1 ? ? x 0 0 ? ?1 亦即 (? ?2)(? ? x? ?1) ? (? ?2)(? ?(1 ? y)? ? y) . 221988 年 ? 第 4 页 ? 2 0 0 ? ? 2 0 0 ? 比拟两边的系数得 x ? 0, y ? 1 .此时 A ? ? 0 0 1 ? ， B ? ? 0 1 0 ?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 ? ? 0 0 ?1? (2) 从 B 可以看出 A 的特征值 ? ? 2,1, ?1 . 。