阿波罗尼斯圆问题.docx

阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修 2》第12题：1 已知点M (x,y)与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离之比为—，那么点M的坐标应满足2什么关系画出满足条件的点M所构成的曲线.二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯( Apollonius )在《平面轨迹》一书中，曾研 究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A, B为两定点，动点 P满足PA PB,则 1时，动点P的轨迹为直线；当 1时，动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆证：设AB 2m (m 0) ,PA PB .以AB中点为原点，直线 AB为x轴建立平面.(x m)2直角坐标系，则 A ( m,0) , B (m,0).又设 C (x, y),则由 PAPB得 t(x m)2 y2两边平方并化简整理得 (2 1)2 2x 2m ( 1)x2 21) ym 2(12),1时,0,轨迹为线段AB的垂直平分线;1时,(x2 24 m ,、———2 ,轨迹为以点(2 1)22 1 …、(- m,0)为圆心,2 1长为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.三、【范例】例1满足条件AB 2, ACJ2BC的三角形ABC的面积的最大值是解：以AB中点为原点，直线B (1,0),设 C (x, y),由 ACAB为x轴建立平面直角坐标系，则 A ( 1,0),J2BC 得寸'(x 1)2 y2 <2 V(x 1)2 y2 ,平方化简整理得y2x2 6x 1(x 3) 2 o 2 这说明M既在圆x a y 2a 4 1上，又在圆x2 y 1 4上，因而这 8 8, | y 2J2 ,则1L…US ABC - 2y 2j2 , •• S ABC 的最大值是 2V2 .变式 在 ABC中，边BC的中点为D,若AB 2,BC J2AD ,则 ABC的面积的最大值是.解：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， 则A ( 1,0) , B (1，由BD CD,BC J2AD知，AD J2BD , D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x 3)2 y2 8,设C(x,y), BC的中点为D得D(*,；1),所以点C的轨迹方程为 32 (y)2 8,即(x 5)2 y2 32 ,SABC 22yly岳4日故S ABC的最大值是4工例2在平面直角坐标系 xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0,a 2),若存在点P ,使得PA J2PB, PC PD ,则实数a的取值范围是 .解：设 P(x,y),则 J(x 1)2 y2 & J(x 3)2 y2 ,整理得(x 5)2 y2 8,即动点P在以(5,0)为圆心，2 J2为半径的圆上运动.另一方面，由PC PD知动点P段CD的垂直平分线y a 1上运动，因而问题就转化为直线 y a 1与圆(x 5)2 y2 8有交点，所以a 1 272,故实数a的取值范围是[2J2 1,272 1].例3在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3 ,直线l: y 2x 4.设圆的半径为1 ,圆心在l上.若圆C上存在点M ,使MA 2MO ,求圆心C的横坐标a的取值范围.、一一一一、一22解：设C a,2a4 ,则圆方程为xa y 2a 412222又设 M(x0,y0),QMA 2MOx0 y0 3 4x04y0,即2/ 2 ,Xoy0 14两个圆必有交点，即两圆相交或相切,222 1 J a 0 2a 4 ( 1)2 1,解得0 a12『12一，即a的取值范围是[0, —].55例4已知。

O：x2 y2 1和点M (4,2)(1)过点M向O引切线l ,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心，且被直线y 2x 1截得的弦长为4的M的方程;(3)设P为(2)中O M上任一点，过点 P向引切线，切点为 Q 试探究：平面内是PQ否存在一定点R,使得PQ为定值若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，PR请说明理由.解：(1)设切线l方程为y 2 k(x 4),易得14k 2| 1 ,解得k 8 而,k2 115切线l方程为y 2 —~"^(x 4).15(2)圆心到直线y 2x 1的距离为 J5,设圆的半径为r,则r2 22 (<5)2 9••.O M 的方程为(x 4)2 (y 2)29(3)假设存在这样的点 R(a,b),点P的坐标为(x, y),相应的定值为，根据题意可得PQx2 y2 1.(x a)2 (y b)2即 x2 y2 12(x2 y2 2ax 2by a2 b2)(*),2222又点P在圆上(x 4) (y 2)9,即x y 8x 4y 11,代入(*)式得:8x 4y 122 (8 2a)x (4 2b)y (a2 b2 11)22(8 2a) 8若系数对应相等，则等式恒成立，，2(4 2b) 42(a2 b2 11)12解得 a 2,b 1,v'2或a 2,b 1,上1° ,553 …PQ ,・•・可以找到这样的定点 R,使得’为定值.如点R的坐标为（2,1）时，比值为 旌；PR点R的坐标为（2,1）时，比值为三”. 5 53四、【练习】1 .如图，在等腰 ABC中，已知AB AC, B（ 1,0）,AC边的中点为D（2,0）,点C的轨迹所包围的图形的面积等于解：••• AB2AD ,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为（x 3）2y2 4,AxDC设 C(x,y),由AC边的中点为D(2,0)知 A(4x, y）,所以C的轨迹方程为（4x 3)2 (y)24,即(x 1)平面CB2 .如图，已知平面的交线上的两个定点,,AD 4, BC占p八、、I 5解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化平面DA8, AB使得 APD BPC ,求22 .一 . ，y 4,面积为4为平面内点P所满足的几何条件.DADA PA,在 Rt PAD 中，tan APDADAP同理 tan BPC BC —BP BPAPD BPC BP 2AP，这样就转化为题3的题型.在平面上，以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为 x轴，建立平面直角坐标系，则A( 3,0), B(3,0),设 P(x, y)则有 J(x 3)22 ,(x 3)22y2(y 0)化简得：(x 5)2 y2 16, y2 16 (x5)216, |y|4,1 .PAB 的面积为 Spab 2 | y| | AB| 3| y|12,当且仅当x5,y 4等号取得，则PAB的面积的最大值是12.3.圆Oi与圆。

2的半径都是1 , O1O2 4 ,过动点P分别彳^圆Oi、圆O2的切线PM ,PN ( M ,N分别为切点)，使得PMJ2pn .试建立适当的坐标系， 并求动点P的轨迹方程.解：以Oi, O2的中点为原点，OiO2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系,则 O1( 2,0),因为两圆的半径都为 1,所以有：PO121 2(PO2 1),设 P(x,y),则(x 2)2 y2 1 2[(x 2)2 y2 1]一 _ 2 2即(x 6) y 33,此即P的轨迹方程.4.已知定点O(0,0)，点M是圆(x2 21) y 4上任意一点，请问是否存在不同于O的定点A使都为MO常数若存在，试求出所有满足条件的点MAA的坐标，若不存在，请说明理由.解:假设存在满足条件的点A(m,n),设 M(x,y),也MA0.2 2\x y(x m)2 (y n)2又M (x,y)满足(X1)24,联立两式得(2m 2 2 22)x3 2(m23)由M的任意性知20(m23),解得 A(3,0)。