极限的常用求法及技巧.doc
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.极限的常用求法及技巧 引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x趋于正无穷，x趋于负无穷函数的极限等等本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。
数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设 为数列若对任给的正数N，使得n大于N时有 则称数列收敛于,定数称为数列的极限，并记作或读作当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于例证明 解 由于 因此，对于任给的>0,只要，便有 即当n时，（2）试成立又因为（1）式是在的条件下也成立，故应取 在利用数列的定义时，应意识到下几点1.的任意性 定义中的正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度，越小，表示接近的愈好；而正数可以任意的小，说明与可以接近到任何程度然而，尽管有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2 利用极限的四则运算极限的四则运算法则若{}与{}为收敛数列，则{}，{}，{}也都是收敛数列，其有例 求解 由得 1.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列的各项关系式， 则称为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列有界性即存在使得对于一切正整数n,有这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A2）建立数列相邻两项之间的关系式3）在关系式两端取极限，得以关于A的方程，若能解出A，问题就可以解决了 一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n项和第n+1项的关系式首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证有界，再证单调）由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，例求数列其中（a>0）极限解: 设，…则{}是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A在两边取极限得即所以，因为A>0所以即例设>0, >0,=(+), n=0,1,2….z 证明数列的极限存在，并求之证明：易见>0,n=0,1,2….所以有=(+)≥.==(+)≥(+)==由0
由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例 求解 ：记= ，= 显然<,n=1.2…,所以即数列单调递减有下界，极限存在记=, 对关系式=(+)令n→∞取得极限得到A=.(其中A=-<0，因不合舍去) 例 设 ﹥0（i=1，2，3…m）,记 M=max(,,…)证明++…=证明：因<++…<→(n→∞)即 ++…=1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式，但单调性不易或根本无单调性，例 设 ，为任意取定的实数，且+≠0，定义① 其中，,为正数，且n=1,2….试求证明 由即0< k<1,0<<1.由①式得（=所以有0<<=即0<<→0，(n→∞) 故=01.6利用上下极限一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等对于一个有界数列 取掉它的最初K项以后，剩下来的仍旧是一个数列，记这个数列的上确界为 ，下确界为亦即==可见< ,于是可以得到一列和一列,显然是单调递减的，是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称的极限为数列的上极限，为数列的下极限。
我们可根据上下极限处理一些极限问题例 设=A.求证A证明 由=A,知对任给，存在N,使得当n>N时，有A-< 现证明：存在证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有或，整理后得不等式 （1） 令a=1+，b=1+，将它们代入（1）由于，故有，这就是说为递增数列再令a=1，b=1+代入（1）由于，故有，不等式两端平方后有，它对一切自然数n成立联系数列的单调性，由此又推得数列是有界的于是由单调有界定理知道极限是存在的我们通常用拉丁字母代该数列的极限即=e利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限例 求解 例 求极限 解 = = 1.9利用定积分利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式定积分的定义 设函数f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意插入若干个分点a =x0< x1< x2< < xn-1< xn=b, 把区间[, b]分成n个小区间[x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一个点x i (xi-1< x < xi), 作函数值f (x)与小区间长度Dxi的乘积f (x ) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = max{Dx1, Dx2, , Dxn}, 如果不论对[a, b]怎样分法, 也不论在小区间[xi-1, xi]上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a, b]叫做积分区间.定义 设函数f(x)在[a, b]上有界, 用分点a=x0
