等比数列前n项和[001]正式版.docx

等比数列前n项和♦数列•考点聚焦【考点1】等比数列｛an｝的前n项和1.等比数列前n项和公式：优化整合有序识记4[na1(q =DSn =1(1-qn) a〔 -anq(q #1)1 —q 1 _ q(1)公式:2.若｛an｝是等比数列，且公比qw］则前n项和$口=言(1 —qn)=A (qn—1) .其中A = 渭.3.推导等比数列前 n项和的方法叫错位相减法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列 对应项积的前n项和.注息：①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列 对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.②在求等比数列前 n项和时，要注意区分 q =1和q # 1.③当q #1时，等比数列的两个求和公式，共涉及 科、n、q、an、Sn五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.♦数列•基础演练掌握核心有的放矢*例 1 求和：Sn= x+ 2x2+ 3x3 + …+ nxn (x w0 .【点拨】分x= 1和xw 1两种情况讨论，当 xw 1时利用错位相减法求解.【解析】分x= 1和xwi两种情况.(1)当 x=1 时，Sn=1 + 2+3+ - +n= n(n+1)2(2)当 xwi时，Sn= x+2x2 + 3x3+ …+ nxn, xSn=x2+2x3+3x4+ - + (n—1) xn+ nxn+1,( 1 —x) Sn= x+x2 + x3+…+ xn —nx"1xH^lLnxn-1 -x"Tn "1-x 1-xx =1x :1且乂 = 0x = 1x :1且 x = 0n(n +1) 2 综上可得Sn= n 2 X 1 -X nxn 11 -x2 1 -x n(n +1)… 2【答案】Sn=《 n 2x 1-x nxn 11 -x2 1-x【小结】本题考查等差数列求和及错位相减法求和.练习1： (2014江西卷)已知首项都是 1的两个数列｛an｝, ｛bn｝ (bnW0, nCN*)满足anbn+1—an + 1bn +2bn+Ibn= 0(1)令Cn=a\求数列｛Cn｝的通项公式; bn(2)若bn=3nT,求数列｛an｝的前n项和【解题过程】【解析】(1)因为 anbn+1—an+1bn+2bn + 1bn= 0, 0 (nCN *),所以点—bn=2,即 Cn+1—Cn=2,所以数列｛Cn｝是以C1=1为首项，d = 2为公差的等差数列，故 Cn=2n-1.(2)由 bn = 3ni,知 an= (2n—1) 3^1,于是数列｛an｝的前 n 项和 Sn= 1 >30+3X31 + 5>^2+ ••• 十 (2n—1)必[1, 3Sn= 1X31 + 3q2+…+ (2n—3)切11+ (2n—1) >^n,将两式相减得一 2Sn=1 + 2X (31 + 32+…+3nT) — (2n—1) >^n= - 2- (2n—2)0n,所以 Sn= (n—1) 3n+1.例2 (2014新课标全国卷n )已知数列 ｛an｝满足a[=1, %+1=3an+1. 1 (1)证明,an+2是等比数列，并求｛an｝的通项公式；(2)证明1+01+…+1<,.【点拨】（1）根据等比数列的定义证明1……，……，an + 2是等比数列求得｛an｝的通项公式；（2）n— 1，2X 3是 工+。

…< 1+1+…+熹=3[1-a1 a2 an 3 3 2 .【解析】(1)由 an+尸 3an+1 得 an+〔 + 2= 3乒 + 2 j.又 a〔 + 2=2，所以遍十^提n比为3的等比数列，所以 4+1=3-，因此数列｛an｝的通项公式为an=3nT1 2⑵证明：由（1）知=口.因为当救时，3厂修2*3 1,所以1即,=an3n-1 3n 1-曰 1 1 1,1 13,^a/o2+…+a^1+3+.♦.+歹=2L：|.所以1 + +•••+[<3.2 a1 a2 an 2【答案】（1） an =3n-1【小结】本题考查等比数列的通项公式及前 n项和公式.练习1：设各项均为 正数的数列｛an｝的前n项和为Sn ,且Sn满足S-（n2 + n-3）Sn -3(n2 +n ) = 0 , ne N*.(1)求a1的值;(2)求数列｛an｝的通项公式;(3) . 1 1 ... 1 1证明：对一切正整数 n ,有 + +|||十 〈一.a1a1 1 a2 a2 1 an an 1 3【解题过程】[解析](1)令 n=1 得：2_(7 心 _3父2=0,即 S2 十 —6 = 0”.(十3；(_2)=0,73 >0,二 S =2,即 ai =2；(2)由 S2 —(n2 +n -3)Sn —3(n2 +n),得(&+3)[& —(n2 + n)]=0,Van >0(n w N"),Sn >0,从而 Sn +3a0，, Sn =n2 +n ,所以当 n 之2时，an =Sn -s」=(n2 +n)—n—1 ) +(n—1 )] = 2n,又 a1 =2=2父1,二 an =2n(nw N")；、. . 1 111,、(3)证法二：当n=1时，——1——=，=1<1成立, a1 a1 1 2 3 6 3当n至2时,1an an 12n 2n 1 2n -1 2n 1 2 2n-1 2n 11 1 1 1则——1——■——1—— ——1—— H* ——1——a〔 a 1 a2 a2 1 a3 a3 1 an an 1111r1 1 1 门 1 Lj - 111 1< + — :+ I — * 111 + ———6 2、3 5 J 2 15 7 J 2 12n -1 2n +1J1 1 1 _1 J2 3 2n 1 3 6n 3 3♦月划・考点聚焦 优廿，整合有序识烂#【考点2】等比数列前n项和的性质(1)连续k项和(不为零)仍是等比数列.即Q,$k-Sk,S3k-S2k ,…成等比数列.(注意:q a 1或m为奇数)(2) Sm+n=Sm+ qmSn ( q 为数列 ^n｝的公比).S偶(3)若｛an｝是项数为偶数、公比为 q的等比数列，则 ~ = ^.♦数列,基础演练 掌握核心有的放矢*例3在等比数列｛an｝中，已知Sn =48 , S2n =60 ,求S3n.【点拨】等比数列中前 k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第 n个k项和仍然成等比数列.【解析】•・• ｛an｝为等比数列，Sn , S2n -Sn, S3n—S2n也成等比数歹U,3-Sn)2=Sn(Sn-S2n), S3n(S2n -Sn)2 八 (60-48)2 5 …2-^——— S2n = 60 =63Sn 48【答案】63.【小结】本题考查等比数列前 n项和的性质.练习1 :各项均为正数的等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若Sn = 2, S3n=自，则S4n等于【解题过程】【解析】设S2n=a, S4n= b,由等比数列的性质知:=-4 (舍去)，同理(6 — 2) (b—14) = ( 14—6)2(14—a) = ( a-2) 2,解得 a=6 或 a2,所以 b=S4n=30.基础练习（时间：40分钟）1 .记等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3=2, S6=18,则等等于 .S52 .设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q等于.3 .在等比数列｛an｝中，已知 nCN ,且 ai+a2+ •••+an=2n— 1,那么 ai2+a22+…+an2 等于.4 . （2014•四川卷）设等差数列｛an｝的公差为d,点（an, bn）在函数f（x） = 2x的图像上（nCN）.（1）若a1 = —2,点（ag, 4b7）在函数f （x）的图像上，求数列｛an｝的前n项和Sn；（2）若a1 = 1,函数f （x）的图像在点（a2, b2）处的切线在x轴上的截距为2 —三，求数 ln 2列g的前n项和Tn.参考答案1 •【解析】由题意知公比a11-q6,S61-q/ 3 -qwi, Q —. 3-—1+ q — 9,S3 a11-qa11 —10 q~ c S101 — 一 2 , Q —S5 a11-5 q一 11 —q+ q5= 1+ 25= 33.2 .【解析】若q=1,则有S3=3ai, &=6ai, So=9ai.因aiW0,得S3+S5W2s9,显然q=1与题设矛盾，故 qwl.由 &+& =取得，a1"q3)+a1(1-q6) = 2a1(1-q9),整理得 q3(2q6-q3-i)1-q 1 -q 1-q一 6 3 ... 3 3 . - 3 . 3 1 … X=0,由 q w 0 得 2q -q -1=0,从而(2q +1) (q -1) =0,因 q w 1,故 q = —— 所以 q = - .2 23 .【解析】1 (4n— 1).提示：由 Sn=2n— 1 ,易求得 an=2n 1 , a1=1 , q=2,「.｛an2｝是首项为 1,3公比为4的等比数列， a12+a22+…+an2= 1 (4n-D.34 .【解析】(1)由已知得，b7= 2a7, bg=2a8=4b7,所以 2a8= 4><2a7 = 2a7 + 2,解得 d=a8 —a7crliic ,n(n—1) 2c=2,所以 Sn= na1 + 2 d = — 2n+n(n—1) = n — 3n.(2)函数f (x) = 2x在点(a2, b2)处的切线方程为 y—2a2= (2a21n 2) (x—32),其在x轴 1 . - 1 1 1上的截距为 a2-—,由题息有 a2—不=2—F，解得a2=2.所以d = a2—a1 = 1.从而an =1 , 2Tn[ +In 2 In 2 In 2n, bn=2n,所以数列｛an｝的通项公式为 an= * 所以 Tn = J + ；22 + 13+…+n」bn bn 2 2 2 2 2 22 _3_ n m5 十 )1。

1 n 1 n 2n 1 — n—22+22+…+2门-1,因此，2Tn —Tn= 1 + 2 + 22+…+ 2丁1 — 2n= 2 — ？nT — 2n= 2n所以，Tn =2" - —22n学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说： 今今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩说着，苏格拉底示范做了一遍， “从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事。