第6讲-矩阵分解.doc

第6讲 矩阵分解内容：1. 矩阵的三角分解2. 矩阵的满秩分解3. 矩阵的分解4. 矩阵的Schur定理5. 矩阵的谱分解和奇异值分解矩阵分解指将一个矩阵写成结构比较简单的或性质比较熟悉的另一些矩阵的乘积．它在控制理论和系统分析等领域有广泛应用．§1 矩阵的三角分解定义1.1 称为上三角矩阵，为下三角矩阵．特别地，称（或）的对角元素为1的上（下）三角矩阵为单位上（下）三角矩阵．三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有特殊的性质．1.Gauss消元法元线性方程组 ，其矩阵形式 ， 其中：，，．采用按自然顺序选主元素进行消元．假定化为上三角矩阵的过程未用到行和列交换，按自然顺序进行消元，即进行行倍加初等变换，使，其中顺序主子式：，．称这种对的元素进行的消元过程为Gauss消元法．2.矩阵的三角分解定义1.2 如果方阵可分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，则称可作三角分解或分解，当是单位下三角矩阵时，则称此分解为的杜利特（Doolittle）分解；当是单位上三角矩阵时，则称此分解为的克劳特（Crout）分解．如果方阵可分解成，其中是单位下三角矩阵，是对角矩阵，是单位上三角矩阵，则称可作分解．定理 1.1 阶矩阵有三角分解或的充要条件是的顺序主子式不为零，即，（）．阶非奇异矩阵有三角分解或的充要条件是的顺序主子式都不为零，即，（）．注：矩阵的三角分解（）不是惟一的，而分解是惟一的． 设，则；；；．定理1.2 设是正定矩阵，，则存在下三角矩阵，使，如果具有正对角元素的下三角矩阵，则此分解是惟一的．其中，． 称为的乔累斯基（Cholesky）分解(平方根分解、对称三角分解)． 例1.2 已知矩阵，求的Cholesky分解.解：可求得．§2 矩阵的满秩分解将矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，在讨论广义逆矩阵的问题中是非常重要的．定义2.1 设，若的秩,则称矩阵行满秩; 若的秩,则称矩阵 列满秩.若矩阵,存在矩阵及，有，则称为的一个满秩分解(或最大秩分解).定理2.1 任一矩阵,存在矩阵及，使得．证明: 设,则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵使得,有,记,,则得. 显然，满秩分解是不唯一的.定义2.2 设，，且满足：1）的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后行的元素全为零（称为零行）；2） 若中第行的第一个非零元素（即1）在第列，则; 3）矩阵的第列，第列，…,第列合起来恰为阶单位方阵的前列，称为标准形（行阶梯标准形）.显然，可由初等行变换将其化为标准形，且使前行线性无关．定理 2.2 设的标准形为，那么在的满秩分解式中，为的第列构成的矩阵，为的前行构成的矩阵．例2.1 设，求其满秩分解．解： ，于是 ，．容易验证：．可以将标准形进行推广，从而得到同一矩阵的不同满秩分解．例2.2 设，求其满秩分解．解: ， 于是 ，．即的满秩分解为．§3 矩阵的分解以初等变换为工具的分解方法并不能消除病态线性方程组不稳定问题．20世纪60年代以后，人们以正交(酉)变换为工具，给出了分解方法．1.分解定义3.1 如果实(复)矩阵能化成正交(酉)矩阵与实(复)上三角矩阵的乘积，即，则称是的分解．2.定理定理3.1 任何实的非奇异阶矩阵可以分解成正交矩阵和上三角矩阵乘积，即，且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角因子外，上述分解唯一． 证明 设非奇异阶矩阵，其中依次为的各列向量，对正交化可得 ，其中 ，矩阵表示为,其中．对单位化可得，且，有， 即 ．其中，是正交矩阵,是上三角矩阵.唯一性（反证法）.设，则得，式中为上三角矩阵,于是,表明不仅为正交矩阵,而且还是对角元素绝对值（模）全为1的对角阵,从而,． 定理3.2 设是的实（复）矩阵，且其个列线性无关，则具有分解．其中是阶实（复）矩阵，且满，是阶实（复）非奇异三角矩阵．除了相差一个对角元素的绝对值（模）全为1的对角阵因子外，上述分解唯一.§4 矩阵的Schur定理定义4.1 设，如果存在阶正交（酉）矩阵，使得，（），则称正交（酉）相似于．定理4.1（Schur定理） 任何一个阶复矩阵都酉相似于一个上三角矩阵．即存在一个阶酉矩阵和一个阶上三角矩阵，使得．其中的对角元是的特征值，它们可以按照要求的次序排列．定义4.2 设,如果，则称为正规矩阵．显然，对角矩阵，矩阵，反矩阵，正交（酉）矩阵都是正规矩阵．定理4.2 阶矩阵酉相似于对角矩阵的充分必要条件是为正规矩阵．证明 先证必要性．设酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵，使，则即为正规矩阵． 再证充分性．由Schur定理知，存在酉矩阵，使得，其中是上三角矩阵，记．因为，所以．比较两边的对角元素，即得，即．推论4.1 若为阶矩阵，则必酉相似于实对角矩阵，即存在阶酉矩阵，使得 ，，是的特征值．§5 矩阵的谱分解和奇异值分解矩阵的谱分解和奇异值分解不仅是矩阵计算和矩阵理论的最基本和最重要的工具之一，而且在控制理论，优化问题，系统辨别和信号处理及其广义逆矩阵等方面都有直接的应用．1. 矩阵的谱分解定义5.1 设为矩阵，是酉矩阵，将写成列向量形式，即，则称为矩阵的谱分解．定理5.1 设为矩阵，则存在酉矩阵，使，将写成列向量形式，即，则．2. 非奇异矩阵的奇异值分解引理5.1 设，则．证明： 如果是齐次方程组的解，则它显然是齐次方程组的解；反过来，如果是齐次方程组的解，则，即，所以，即是齐次方程组的解．因此，方程组 与 同解，从而．同理，可证．从而证明了结论．引理5.2 设，则 1）与的特征值均为非负实数； 2）与的非零特征值相同，且非零特征值的个数等于．证明：1）设为的任一特征值，为对应的特征向量，则有，使，且有．因 ，所以 ． 同理，可证的特征值均为非负实数．显然，矩阵的特征值是非负实数．2）显然，．设，和的特征多项式分别记为和，因，，则有 ，即，所以与的非零特征值相同，且非零特征值的个数等于．结合引理5.1即得结论．定义5.2 设,的特征值,则称为的奇异值,并称为的正奇异值，其中．定义5.3 设为阶非奇异矩阵，及为阶酉矩阵，称为的奇异值分解，其中，，．定理5.2 设为阶非奇异矩阵，则存在阶酉矩阵及，使得，，．即．证明: 因为阶非奇异矩阵，而且是矩阵，正定矩阵，故存在阶酉矩阵，使, 为的特征值．令，，则，，．3. 一般矩阵的奇异值分解定理5.3 设，则存在阶酉矩阵及阶酉矩阵，使，，．即．证明： 因，故，是矩阵，且是半正定的，故存在阶酉矩阵，使得 ，为的特征值．令:，，， ，则．令:，则，又，得．在的基础上构造酉矩阵，使得，这由基扩充定理可知是可行的，即有，，，因,故，即．故定理得证．奇异值分解的求法可按证明步骤求之．例 求的奇异值分解．解 第一步：求的正奇异值．因为 ，所以的非零奇异值为，故．第二步：求酉相似对角化的矩阵．对应于特征值5和2的标准正交特征向量为，故．第三步：求酉矩阵．显然 ，所以取， ，补充 则为酉矩阵．第四步：求的奇异值分解．．电视墙也就是电视背景装饰墙，是居室装饰特别是大户型居室的重点之一，在装修中占据相当重要的地位，电视墙通常是为了弥补客厅中电视机背景墙面的空旷，同时起到修饰客厅的作用。

因为电视墙是家人目光注视最多的地方，长年累月地看也会让人厌烦，所以其装修就尤为讲究。