小学数学教师培训材料： 小学应用题 的本质是数学建模.doc

小学数学算术应用题那为什么要改成“数学应用题”呢？这是您和张先生新的研究进展吗？但这样一改，似乎包含的研究对象范围有所增加，而且日常一线教师常说道、研究的是“算术应用题”的本质是数学建模 对话者：华东师范大学数学系 张奠宙 教授浙江杭州上城区教育学院（新思维教育培训中心） 唐彩斌一．引言与现状张奠宙： 今天我们来谈小学数学应用题的教学你多年从事这方面的研究能说一下你的感受吗？唐彩斌：还是从你引进的一道那道特殊的应用题说起吧题目是“在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？”人们习惯称它为“船长的年龄问题”20年前，法国数学教育家用此题测试，为许多孩子得到“结果”而深思 在我国的几所中学测试测试数据更表明“用两个数直接加减得出结果”的居然高达90％，如今，20年过去了，如果再次测试，结果又会怎样呢？近期，我们又对不同地区的922名学生进行测试的时候，一个让我们震惊的数据产生了：62％你可能会怀疑测试过程中，是否有教师的暗示？没有，测试在无声中进行；测试是否集中在一个薄弱学校一个低年级，不，我们的测试数据来自不同的学校，更有不同的年级，并且客观地说高年级学生做出结果的所占的并不少……张奠宙：这本来是没有答案的题目， 可是学生竟然做出来了。

仔细一想，这怪不得学生可以猜想， 每个学生在回答时一定犹豫过， 这题好像不能做啊？ 可是一想学校里的题目都是有答案的老师布置的作业也一般都是有答案的不给答案肯定没有分，乱写一个答案也许有分就是这些“潜规则”，使得学校把学生把题做出来了越教越笨所以学校要让学生独立思考，要自信不能坚持真理，对自己的正确想法不能坚持， 可是人生的大问题进行数学学科德育，这是一个好的切入点唐彩斌：应用题教学的成效果如何？ 最近我们对浙江课标教材实验区的3个随机选择不同地区的300名五年级的学生进行了常规的应用题的检测，结果如下：问 题通过率1水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？94％2一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元?94％3一个工程队用同样的速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天照这样的速度，修第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？81％4有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？67％5工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？66％6电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。

原计划平均每天生产多少台？66％7600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？65％8某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？58％9甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？50％10一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完A,B两队每天铺路多少米？41％没有找到若干年前的同样试题的测试结果，自然所以没有充足的证据来描述是否改为“比较二期课改前后？”当前学生解决应用题的现状蔡金法教授最近在文章中引用了一个调查结论，我国大陆新课程改革以来，学生在解决复杂问题上显著优于传统课程的学生，但是在计算和解决简单问题上反而不如以前您怎么看这样的调查结果？张奠宙： 谢谢你提供了许多珍贵的第一手资料五年级学生能够有这样的“通过率”， 我觉得不能说“差”10个题目7个的通过率在65%以上，相当不容易了要知道，同龄人中数学天赋不同， 聪明孩子可以讨厌数学， 语文差的孩子看不懂题目，煤矿， 水泥路，电视机厂， 学生都是没有见过的， 并非日常生活实际。

所以，以上数据说明大多数中国小学生会解常规的数学应用题，是一个不错的成绩记得数学大家陈省身说：“中国数学教育在实践上肯定比美国好”，大致是不错的 中国经济起飞，有赖于劳动力的质高与价廉农民工一般民众有这样的应用题思考能力，是小学数学老师对国家的重大贡献 当然，肯定成绩， 不是盲目自满，而要继续改革，不断前进 例如，第十题是得分率低于50%的唯一的一个 我们成年人一看， 这个题目很好算 A队与B队的比例是2：1，那么2400米，分三段， 每段800米 A队 1600米，每天400米，B队 共800米，每天200米这是“比例”的思想，五年级学生可能没有学过？我们可以研究一下，逐步改进二．什么是小学数学应用题唐彩斌：张老师把今天谈话的题目取名为小学数学算术应用题的本质是数学建模，是给我们一线教师“打气”的，现在，我们在教学时都不太有勇气说“应用题”，深怕自己太“落后”，也不太有底气说“数学建模”，总觉得还没有那 “功底”，今天张老师把“应用题”亮堂堂地为大家说出来，有一种释怀的感觉不过，在日常小学数学教学中，很多名词盘绕其中，错综繁杂，让老师们很是烦恼问题”“习题”“文字题”“应用题”“问题解决”“解决问题”“综合应用”“实践活动”“它们之间到底是一种怎样的关系”？ 当面对很多新课标教材把“应用题”改为“解决问题”，常常引人有人反问：把名字改为“解决问题”就解决问题了吗？张老师，您从历史的角度给我们做点解析有怎样的看法？张奠宙：应用题的出现渊远流长。

古埃及的纸草书、中国的《算数书》等古代数学典籍， 都是应用题的汇编数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学插图：哥德巴赫猜想和汉字排版系统），这二者相辅相成，相互渗透， 共同发展 不过，归根结底，社会生产力和文化发展的现实需要是数学成长的本源 小学数学中，数的扩展以及相应的运算规则， 属于纯粹数学范围， 将这些规则和现实相联系， 并应用于现实， 则是小学应用数学的范围数学是由问题驱动的小学数学应用题教学， 体现小学数学的应用，培养学生与此相关的数学思维模式 如果说，应用数学是永存的， 那么数学应用题教学也是永存的 只不过要“与时俱进”， 不断改革而已20世纪下半叶以来，数学最大的进步是应用，“谁用的好， 谁就赢了”（姜伯驹语）计算机技术出现之后，应用数学的一个进展， 是对一个个的具体问题建立一个个的数学模型 因此，用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的参照基点唐彩斌：看来，小学算术是否应改为“数学”应用题的教学本身有其价值存在，关键是用怎样的高观点来统领它为了方便我们后续的研讨，我们需要从数学的角度对“小学数学应用题”做概念的界定？，张老师您怎么来界定？张奠宙： 小学数学 “算术是否应改为“数学”应用题”， 可以理解为：用算术方法求解的、用自然语言表达的复杂情景问题。

这里有三个要素：（1）算术方法求解（包括一些简易代数的思考）；数学应用是一个很大的学术领域这里只研究用小学数学方法可以求解的数学问题解小学数学应用题主要是用算术方法，目前也使用一些简易的代数思想2）用自然语言表达， 即用文字叙述的问题这是小学数学应用题的主要特点西方有时把小学应用题称作“文字题（word problem）”， 即用自然语言表达的数学问题 文字题需要将自然语言文字翻译为“数学符号构成的算式”， 然后再用数学方法求解 （3）具有复杂的情景应用题必须表达一种具体“情景”，无论是体现生活实际的，或者合理地虚拟编制的，都必须反映一种生动的具体情境，不能是纯粹的数学问题情境往往有一些特定的常识性规律，在解题时需要加以剖析和运用作为一种具有较高思维价值的问题，“应用题”所呈现的情境，应当具有挑战性，不同于课本引进新内容时所呈现的简单情景例如，5个学生每人有3本书，一共有几本书？答案只要写出 5 × 3 = 15 就是这也是应用性问题，却不是我们要研究的数学应用题三、数学应用题教学的本质是数学建模唐彩斌：刚才，您特别强调“用建立数学模型的观点加以诠释，是改革小学应用题教学的根本出路参照基点。

什么是数学模型的观点？数学建模与解答应用题是一种怎样的关系？张奠宙：数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法 目前已经成为数学应用的基本模式数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构就许多小学数学内容来说， 本身就是一种数学模型：自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型；分数是平均分派物品的数学模型；元角分的计算模型是小数的运算；500人的学校里一定有两个人一起过生日，其数学模型叫做抽屉原理；鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程……等等在这个意义上， 我们每堂数学课都在建立数学模型不过， 应用数学在的数学建模， 是在狭义的意义下进行的 也就是说， 数学建模， 专指对一个个比较复杂的具体情境， 建立一个特定的专用数学模型， 并用模型来解决非常具体问题比如，中国人口增加模型， 甲型流感传染模型、太湖水质模型等等， 非常具体、专门这样一来， 小学数学应用题就和数学建模很相似了 二者都是对一个个具体情境给出数学描述， 并解决这个特定的问题也就是说， 数学应用题教学，则是对一种比较复杂的特定情景给出一个具体的模型。

例如，鸡兔同笼是一个特定的问题， 我们可以给出一种解法， 它的代数模型是二元一次联立方程唐彩斌：你说“数学应用题教学的本质是数学建模”，我觉得非常重要 以下是我的理解， 你看对不对？有专家画了“数学建模的工作流程图”， 好像和应用题求解的过程很类似我国小学数学中解应用题，一般分为以下四步：1.理解题意；2.做解题计划；3.按计划解答；4.回答和检验 审题 列式 解答 验证 张奠宙：对啊！ 两者在基本步骤上大体相同， 只不过小学应用题内容比较简单而已我做的一张表格， 也是描述了二者之间的相似性 数学建模步骤解应用题步骤以行程问题为例背景考察：搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征审题 对问题设置的情景仔细揣摩体察弄清问题的目标知道速度， 位移，时间的关系；适度简化 ：如假定为匀速行驶在直线 型的道路上，等构作模型根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构列式将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段， 构成可以反映问题本质的算式根据情景，寻找数量规律 例如找出一些不变量，借以构成数学等式。

根据行程问题的不同情景进行思考例如，相互距离为c的甲乙二者同时启动，分别以速度a、b相对而行，由于二者相遇时所用的时间x相同，据此列出等式ax+bx=c，或者算术地说明各量间的相等关系根据问题内容，如相向而行， 还是相对而行之类概念，例如 同时启动相对而行时，二者相 遇时所用的时间相同等据此列出等式：ax+bc=d数月前看张先生的文章时，我曾提。