探究绝对值不等式的解法 马玉湖含多个绝对值的不等式例1 解不等式[|x+3|-|2x-1|分析 利用零点分段法求解.解 （1）当[x≤-3]时，原不等式化为[-（x+3）-（1-2x）][解得[x<10]，∴[x≤-3].（2）当[-3原不等式化为[（x+3）-（1-2x）解得[x<-25]，∴[-312]时，原不等式化为[（x+3）-（2x-1）解得[x>2]，∴[x>2].综上，不等式解集为[{x|<-25或x>2}.]点拨 形如[|x-a|+|x-b|≥c]（或[≤c]）型的不等式主要有三种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为[（-∞，a]，（a，b]，（b，+∞）]（此处设[ac]（[c>0]）的几何意义，数轴上到点[x1=a]和[x2=b]的距离之和大于[c]的全体点. （3）图象法：作出函数[y1=|x-a|+|x-b|]和[y2=c]的图象，结合图象求解.例2 设函数[f（x）=|x-1|+|x-a|]，（1）若[a=-1]，解不等式[f（x）≥3]；（2）如果[?x∈R]，[f（x）≥2]，求实数[a]的取值范围.分析 零点去绝对值法适用于含有多个绝对值的不等式的求解问题.解 （1）当[a=-1]时，[f（x）=|x-1|+|x+1|]，由[f（x）≥3]得：[|x-1|+|x+1|≥3]，方法一：由绝对值的几何意义知，不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].方法二：不等式可化为[x≤-1，-2x≥3，]或[-11，2x≥3，]∴不等式的解集为[{x|x≤-32或x≥32}].（2）若[a=1]，[f（x）=2|x-1|]，不满足题设条件.若[a<1，f（x）=-2x+a+1， x≤a，1-a， a1，f（x）=][-2x+a+1， x≤1，1-a， 1a].（1）若不等式有解；（2）不等式的解集为[R]；（3）不等式的解集为?，分别求出[a]的取值范围.分析 利用绝对值的几何意义，求出[|x+1|-|x-3|]的最值，结合题目条件求解.解法一 因为[|x+1|-|x-3|]表示数轴上的点[P（x）]与两定点[A（-1）]，[B（3）]距离的差，即[|x+1|-|x-3|=PA-PB].由绝对值的几何意义知，[PA-PB]的最大值为[AB=4]，最小值为[-AB=-4]，即[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].（1）若不等式有解，[a]只要比[|x+1|-|x-3|]的最大值小即可，故[a<4].（2）若不等式的解集为[R]，即不等式恒成立，只需[a]比[|x+1|-|x-3|]的最小值还小，即[a<-4].（3）若不等式解集为[?]，则[a≥4.]解法二 由[|x+1|-|x-3|≤|x+1-（x-3）|=4]可得[-4≤|x+1|-|x-3|≤4].（1）若不等式有解，则[a<4].（2）若不等式的解集为[R]，则[a<-4].（3）若不等式解集为?，则[a≥4].点拨 含参数的不等式有解是存在性问题，只要求存在满足条件的[x]即可. 不等式的解集为[R]是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为?的对立面（如[f（x）>m]的解集是空集，则[f（x）≤m]恒成立）也是不等式的恒成立问题，这两类问题都可转化为最值问题，即[f（x）f（x）max]，[f（x）>a]恒成立?[a绝对值不等式的证明例4 设[a∈R]，函数[f（x）=ax2+x-a（-1≤x≤1）]，（1）若[|a|≤1]，求证：[|f（x）|≤54]；（2）求[a]的值，使函数[f（x）]有最大值[178].分析 （1）[|f（x）|]是一个多项式的绝对值，所以可以考虑利用绝对值三角不等式的性质进行放缩，然后再用配方法求解.（2）从[f（x）]的最大值为[178]入手分析，[a<0]时，[f（x）]在对称轴上取得最值.解 （1）方法一：∵[-1≤x≤1]，∴[|x|≤1].又∵[|a|≤1]，∴[|f（x）|=|a（x2-1）+x|][≤|a（x2-1）|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|][=-（|x|-12）2+54≤54].方法二：设[g（a）=f（x）=ax2+x-a=（x2-1）a+x].①当[x=±1]，即[x2-1=0]时，[|f（x）|=|g（a）|=1≤54].②当[-1 -全文完-。
