证券投资学：第五讲 证券投资理论.ppt
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第五讲第五讲 现代投资理论现代投资理论 一、基本概念一、基本概念 (一一) 确定性、不确定性、风险确定性、不确定性、风险1.确定性：投资者的未来收益是确定的、无误差，完确定性：投资者的未来收益是确定的、无误差，完全可预见全可预见2.不确定性：投资者的未来收益完全不能确定不确定性：投资者的未来收益完全不能确定 3. 风险：未来收益发生的概率可预见，但未来收益风险：未来收益发生的概率可预见，但未来收益变化程度不可预见变化程度不可预见 风险风险 系统风险：宏观方面的因素系统风险：宏观方面的因素 非系统风险：微观方面的因素非系统风险：微观方面的因素 一、基本概念一、基本概念（二）投资者偏好与无差异曲线（二）投资者偏好与无差异曲线 1. 投资者偏好是指投资者对风险态度投资者偏好是指投资者对风险态度 经济状况经济状况 不景气不景气 景气景气 证券证券A A 证券证券B B 证券证券C C 2 2 1.2 1.2 1.8 1.8 2 2 2.8 2.8 2.6 2.6 发生概率发生概率 0.50.5 0.50.5根据期望收益的定义，我们可以求出证券根据期望收益的定义，我们可以求出证券A A、、B B、、C C预期收益的平均值：预期收益的平均值： 证券证券A A：期望收益：期望收益=2=2 证券证券B B：期望收益：期望收益=2=2 证券证券C C：期望收益：期望收益=2.2=2.2 一、基本概念一、基本概念 收收益益确确定定为为无无风风险险资资产产（（证证券券A A ）），，收收益益不不确确定定为为风风险险资资产产（（证证券券B B、、C C）） 在在期期望望收收益益相相同同情情况况下下，，选选择择风风险险小小的的投投资资对对象象，，没没有有与与风风险险对对称称的的风风险险报报酬酬绝绝不不选选择择风风险险资资产产，，这这被被称称之之为为““风风险险规规避避者者””. .他他们们选择证券选择证券A A ，但也会选择证券，但也会选择证券C C，， 为为得得到到高高收收益益的的机机会会而而愿愿意意以以承承担担高高风风险险为为代代价价，，选选择择高高风风险险证证券券，，被被称称之之为为““风风险险偏偏好好者者””（（Risk Risk LoverLover））。
对对于于风风险险偏偏好好者者，，在在对对证证券券A A与与证证券券B B作作出出选选择择时时，，即即使使两两者者期期望望收收益益相相同同，，也也会会选选择择风风险险大的证券大的证券B B 仅仅以以期期望望收收益益的的大大小小为为标标准准来来选选择择投投资资对对象象，，被被称称之之为为““风风险险中中立立者者””对对于于风风险险中中立立者者，，由由于于证证券券C C的的期期望望收收益益最最大大，，故故选选择择证证券券C C，，而证券而证券A A和证券和证券B B的期望收益相同，故被视为是无差别的投资对象的期望收益相同，故被视为是无差别的投资对象 一、基本概念一、基本概念2.无差异曲线对投资者偏好的描述无差异曲线对投资者偏好的描述（（1）风险规避者）风险规避者 （（r）） бρбρ（（r））（（r））бρ（（3）风险偏好者）风险偏好者（（2）风险中立者）风险中立者 一、基本概念一、基本概念 3.投资者风险承受能力与无差异曲线的定量描述投资者风险承受能力与无差异曲线的定量描述 无差异线表达式无差异线表达式 E（（rp））=Ui + bб2 p Ui= E（（rp））- bб2 p Ui — 曲线在收益轴上截距曲线在收益轴上截距 b — 风险厌恶系数，风险厌恶系数，b数值大风险厌恶程度高，反之相反。
数值大风险厌恶程度高，反之相反 T — 风险承受能力风险承受能力, T数值大数值大, 风险承受能力强，反之相反风险承受能力强，反之相反 T =1/b b =1/T b =(Ers-rf)2 /[2 ×(Erc -rf)бs2 ] Ers —风险资产组合期望收益率风险资产组合期望收益率 Erc —风险资产与无风险资产组合后期望收益率风险资产与无风险资产组合后期望收益率 бs2—风险资产组合方差风险资产组合方差 一、基本概念一、基本概念举例说明举例说明:国债国债% 股票组合股票组合% 期望收益期望收益 % `标准差标准差% 0 100 12 1520 80 11.1 1240 60 10.2 950 50 9.75 7.560 40 9.3 680 20 8.4 3100 0 7.5 0 一、基本概念一、基本概念 Rf=7.5 % бs=15 % 代入代入:b =(12-7.5)2 /[2 ×(Erc –7.5)] × 152]=22.22 Erc –166.67若若50%国债股,50%票组合b =22.22 × 9.75 –166.67=50 (%) E（（rp））=Ui + 50 (%) б2 pUi= E（（rp））—50 (%) б2 p 因为：因为：T =1/b=1/50 (%) ，故，故 E（（rp））=Ui + 2б2 p Ui= E（（rp））—2б2 p（（3）无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合。
无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合 一、基本概念一、基本概念 （三）投资者偏好与（三）投资者偏好与效用效用比较比较 收收益益最最大大化化是是所所有有投投资资者者追追求求目目标标，，但但运运用用收收益益最最大大化化原原则则不不能能帮帮助投助投资资者在以下两种者在以下两种证证券作券作选择选择：： 国债国债B ：： 收益收益 10 ，， 概率概率 1 1股票股票C：： 收益收益 -8 -8 ，， 概率概率 0.250.25 收益收益 16 16 ，， 概率概率 0.50.5 收益收益 24 24 ，， 概率概率 0.250.25 因因为为未未来来股股票票C C究究竟竟为为哪哪一一个个值值事事先先不不确确定定运运用用收收益益最最大大化化原原则则投投资资者者应应选选择择股股票票C ，，因因为为股股票票C期期望望收收益益1212，，大大于于国国债债B收收益益10，，在在进行投资抉择时，若考虑风险，不能说股票进行投资抉择时，若考虑风险，不能说股票C优于优于国债国债B. 依依据据对对风风险险的的不不同同偏偏好好，，追追求求效效用用最最大大化化还还是是收收益益最最大大化化是是有有区区别别的，投资效用的决定取决于投资收益水平与风险程度两个因素。
的，投资效用的决定取决于投资收益水平与风险程度两个因素 一、基本概念一、基本概念 在在不不确确定定性性条条件件下下；；期期望望效效用用是是由由期期望望收收益益与与风风险险所所决决定定的的投投资资效效用用，，用公式表示如下：用公式表示如下： 该该公公式式表表示示，，如如果果风风险险不不变变，，期期望望收收益益的的增增加加会会引引起起投投资资者者期期望望效效用用的的增增大大，，或或者者如如果果风风险险减减少少，，而而期期望望收收益益不不减减少少时时，，也也将将会会引引起起期期望效用增大，计算期望效用公式为：望效用增大，计算期望效用公式为： 一一.基本概念基本概念 必必须须了了解解效效用用函函数数的的概概率率分分布布，，以以便便找找到到每每一一种种选选择择对对象象的的期期望望效用在不确定性条件下，投资者能够扩大的仅仅是其期望效用在不确定性条件下，投资者能够扩大的仅仅是其期望效用 由由于于不不同同的的投投资资者者对对风风险险的的容容忍忍程程度度不不同同，，同同一一投投资资对对象象给给他他们们带带来的效用也各不相同，反映在效用函数的图型上，其形状也各不相同。
来的效用也各不相同，反映在效用函数的图型上，其形状也各不相同 假定有证券假定有证券Z Z，其期初价格为，其期初价格为1010元，未来价格的变动情况如下：元，未来价格的变动情况如下： 期末价格期末价格 概率概率 9 9 1/2 1/2 11 11 1/2 1/2 该项投资的期末期望价值为该项投资的期末期望价值为1/2*9+1/2*11=101/2*9+1/2*11=10，即期望收益等于期初的，即期望收益等于期初的 价格，也就是说，该项投资的净收益为价格，也就是说，该项投资的净收益为0.0.所以，从期望收益角度分析，所以，从期望收益角度分析， 投资者无法作出是否购入的决策投资者无法作出是否购入的决策 一、基本概念一、基本概念 然然而而，，从从期期望望效效用用理理论论来来看看，，投投资资者者是是否否购购入入该该种种证证券券，，完完全全依依赖他对风险的态度，即对收益不确定证券的偏好程度赖他对风险的态度，即对收益不确定证券的偏好程度。
风风险险回回避避者者为为凹凹型型效效用用函函数数，，都都满满足足其其一一阶阶导导数数非非负负，，即即，，二二阶阶导导数数为为负负，，即即的的条条件件加加一一个个单单位位，，期期望望效效用用也也随随之之提提高高，，但但其其程程度度呈呈递递减减趋势趋势 EU(r)=1/2U(9)+1/2U(11)EU(r)=1/2U(9)+1/2U(11) 风风险险回回避避者者不不会会购购买买期期望望价价值值与与购购入入价价格格相相等等的的收收益益不不确确定定的的证证券券，，凹型效用函数把凹型效用函数把货币货币收益收益为为0 0的情况解的情况解释为释为效用效用损损失 风风险险偏偏好好者者为为获获取取高高收收益益不不惜惜以以承承担担巨巨大大风风险险为为代代价价，，风风险险偏偏好好者者的的效效用用函函数数呈呈凸凸型型，，意意即即随随着着风风险险偏偏好好者者财财富富或或收收益益的的增增长长，，边边际际效用也增长效用也增长 一、基本概念一、基本概念10119DCAB910N11DCBA9.7MU(11)U(10)EU(X)U(9)U(X)U(X)XEU(X)U(10) 特特殊殊的的效效用用假假定定，，即即投投资资者者的的效效用用函函数数是是线线性性函函数数，，投投资资者者将将会会依依据据期期望望收益最大化原则作出投资选择。
收益最大化原则作出投资选择 已已知知购购入入价价格格为为1010元元，，预预期期期期末末价价值值为为1111元元时时，，概概率率是是1/21/2；；为为9 9元元时时，，概率也是概率也是1/21/2，也即得到，也即得到1 1元收益与遭受元收益与遭受1 1元损失的概率相同元损失的概率相同910U(9)U(10)U(11)CXU(X)11特殊的效用函数曲线特殊的效用函数曲线 该投资选择的期望效用是：该投资选择的期望效用是： 并且已经知道它是由图中的点并且已经知道它是由图中的点C C表示由于表示由于 在此，依据期望效用最大化原则还是期望收益最大化原则在此，依据期望效用最大化原则还是期望收益最大化原则进行投资选择是无差别的如果购入价格低于进行投资选择是无差别的如果购入价格低于1010元，投资者会元，投资者会投资购入：购入价格高于投资购入：购入价格高于1010元，投资者则决不会购入只有其元，投资者则决不会购入只有其净期望收益为正时，该投资者才会选择购入净期望收益为正时，该投资者才会选择购入. . 风险风险偏好者，即使是偏好者，即使是净净期望价期望价值为值为0 0，也，也总总愿意冒愿意冒风险风险；；风险风险回避者回避者则则不同，他不同，他们总难们总难以接受以接受风险风险；；而而对对与效用函数与效用函数为线为线性型的投性型的投资资者来者来说说，任何，任何风险风险都是都是无差无差别别，， 此类投资者称之为风险中立者。
此类投资者称之为风险中立者 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念风险规避者投资风险规避者投资ABC三证券三证券期望效用计算期望效用计算从从三三者者的的期期望望效效用用看看，，由由于于投投资资选选择择C C的的收收益益变变动动性性最最小小，，即即其其风风险险最最小小，，风风险险回回避避者者对对投投资资选选择择C C的的满满意意程程度最高 一、基本概念一、基本概念风险中立者即风险无差别投资者的期望效用值也可以算如下：风险中立者即风险无差别投资者的期望效用值也可以算如下：对对于于风风险险中中立立者者来来说说，，虽虽然然三三种种投投资资对对象象A A、、B B、、C C的的预预期期风风险险不不同同，，但但由由于于它它们们的期望收益相同，则期望效用也相同，即有的期望收益相同，则期望效用也相同，即有E[U(A)]=E[U(B)]=E[U(C)]E[U(A)]=E[U(B)]=E[U(C)] 一、基本概念一、基本概念 利用同样方法，风险偏好者的期望效用可计算如下利用同样方法，风险偏好者的期望效用可计算如下: 由于风险偏好者喜欢收益变动性较大的资产，故认为资产由于风险偏好者喜欢收益变动性较大的资产，故认为资产A的期望效用最大。
的期望效用最大 一、基本概念一、基本概念U=100r-50r2U=100r+50r2uu风险规避者效用函数曲线风险规避者效用函数曲线风险偏好者效用函数曲线风险偏好者效用函数曲线 一、基本概念一、基本概念U=100r风险中立者效用函数曲线风险中立者效用函数曲线 一、基本概念一、基本概念 一、基本概念一、基本概念ACBBI*ACI1I2E(I)I1I*E(I)I2EU(I)U[E(I)]U(I*)XXU(X)U(X)U[E(I)]EU(I)风险规避者效用函数确定风险规避者效用函数确定风险偏好者效用函数确定风险偏好者效用函数确定 一、基本概念一、基本概念U*(X)<0U*(X)>0I1I3I2I4U(X)X风险规避者效用函数双重性风险规避者效用函数双重性 一、基本概念一、基本概念I2I1E(I)BADCFEU[E(I)]EU(I)U(X)X风险规避者主观效用函数确定风险规避者主观效用函数确定 一、基本概念一、基本概念(四四)未来收益的随机性及概率分布未来收益的随机性及概率分布收益率收益率 r = （（1）收益率的两种类型：离散型与连续性）收益率的两种类型：离散型与连续性 离散型：收益率在未来取得有限个数值离散型：收益率在未来取得有限个数值W1–W0W0比较好比较好一般一般 坏坏 收益（收益（r）） 0.50.30.2概率（概率（p））40%30%30%股票股票S1 , 只受一种因素影响只受一种因素影响P(概率概率)0.40.3r(收益率收益率)0.20.30.50 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险1、、单一证券单一证券收益率的期望值收益率的期望值 股票股票S1：收益：收益 r1 r2 r3 …….. rn 概率概率 p1 p2 p3 ……. pn 期望收益率期望收益率=r1 p1 + r2 p2 + ….. + rn pn n=∑ r=∑ ri i p pi ii=1i=1 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险 e.g.. 有有3种证券种证券 A . B. C证券的相应收益率和概率分布情况如下证券的相应收益率和概率分布情况如下 A.B.C 三个股票三个股票 E (rA)= 0.3 *50% +0.4*10% +0.3*(-30%) =10% 预期收益率预期收益率 E (rB)=0.3*15% +0.4*10% +0.3*5% =10% E (rc)= 0.3*25% +0.4*20% +0.3*15% =20% 经济状况经济状况繁荣繁荣正常正常衰退衰退概率大小概率大小0.30.40.3A收益率收益率50%10%-30%B收益率收益率15%10%5%C收益率收益率25%20%15% 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险2.单一证券方差、标准差单一证券方差、标准差 方差：描述收益率的离散程度方差：描述收益率的离散程度Var (r) = б2 ( r ) = 〔〔ri - E ( r )〕〕2Pi 以上表为例计算方差以上表为例计算方差Var (rA) =0.096 бA =30.98% Var (rB) =0.0015 бB =12.25%Var (rC) =0.0015 бC =12.25% n∑∑i=1i=1 二、二、单一证券期望收益率与风险单一证券期望收益率与风险3、协方差、相关系数、协方差、相关系数①①协方差：描述不同证券间的相互关联性的指标协方差：描述不同证券间的相互关联性的指标 бAB =COV(rA,rB) =E[(rA-E (rA)][ rB-E(rB)]②②相关系数相关系数：ρAB = ，， ρAB ∈ ∈〔〔-1,1〕〕 ρAB = 1, 完全正相关完全正相关 ρAB =-1, 完全负相关完全负相关 ρAB = 0，， 不相关不相关бABбAбB 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险（一）两种风险证券投资组合的收益与风险的关系（一）两种风险证券投资组合的收益与风险的关系证券组合权重（证券组合权重（Portfolio Weight）：）： A B XA XB （（XA + XB =1）） 1、两种风险证券投资组合期望收益率、两种风险证券投资组合期望收益率E（（rp）） ：： E（（rp））=E（（XArA + XBrB）） =XA E（（rA））+ XB E（（rB）） 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险2、两种风险证券投资组合的风险测定（、两种风险证券投资组合的风险测定（rp）） Var（（ rp ））= E [rp —E（（ rp ））] = XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB Cov（（rA ,rB）） = XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB ρABбAбB ρAB= Cov（（rA, rB））/ бAбB ）） 影响组合风险的因素包括：影响组合风险的因素包括： — 证券之间相关性证券之间相关性 — 组合中各证券本身的方差组合中各证券本身的方差(σσ2i)大小大小 — 各证券在组合中所占权重各证券在组合中所占权重 — 组合证券数目多少组合证券数目多少 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险3、两种风险证券组合线、两种风险证券组合线 （（XA + XB =1 ））E（（rp）） =XAE（（rA）） +XBE（（rB）） =XAE（（ rA ）） +（（1—XA））E（（ rB ）） Var（（ rp ））= XA2б2A + X2Bб2B +2 XA XB Cov（（rA ,rB）） = XA2б2A + （（1—X A)2б2B +2 XA （（1—X A) Cov（（rA ,rB）） = XA2б2A + (1—X A)2 б2B +2 XA (1—X A)ρABбAбB 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险①①A、、B完全正相关完全正相关 若若ρAB=1, 公式简化为公式简化为:бρ =[XA2б2A + (1-X A)2 б2B +2 XA (1-X A)ρABбAбB]1/2 =| XA бA +（（1- XA））бB |E（（ rp ）与）与XA 、、XB是正线形关系，是正线形关系， бρ与与XA 、、XB也是正线形关系也是正线形关系∴ ∴бρ与与E（（rp）是正线形关系，）是正线形关系， бρ数值最大数值最大。
三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险②②A、、B完全负相关：完全负相关：ρAB = - 1，公式简化为，公式简化为:бp ==[XA2б2A + (1-X A)2 б2B — 2 XA (1-X A)ρABбAбB]1/2 =| XA бA — （（1- XA））бB |бρ与与E（（rp）是负线形关系，）是负线形关系，бp数值最小数值最小 ③③A、、B不完全相关不完全相关 ：： -1〈〈 │ρAB│〈〈 1бρ与与E（（rp）是双曲线关系，）是双曲线关系，бp数值中性数值中性 ρAB = 0 公式简化为公式简化为: 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险бρ=[XA2бA2 +（（1—XA））2бB2 ]1/2结论结论：： （（1）相同收益下，）相同收益下，两种证券相关性越低，两种证券相关性越低， ρAB 越小，组合风险越小越小，组合风险越小 （（2））相同风险下，相同风险下，ρAB 越小，组合收益越大越小，组合收益越大E（rp）бρρAB=- 0.5ρAB = -1ρAB=0ρAB=0.5ρAB=1 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 相关系数越小，分散的效果就越强。
相关系数为相关系数越小，分散的效果就越强相关系数为-1-1时，分散效果最强时，分散效果最强 通常人们把这一现象称为通常人们把这一现象称为“风险分散效果风险分散效果”即使构成组合中处于完全正即使构成组合中处于完全正相相 关，随着放入组合中的证券数目增加风险同样可以逐渐减小，这称之为关，随着放入组合中的证券数目增加风险同样可以逐渐减小，这称之为 “风险的联营效果风险的联营效果” （二）多种风险证券组合收益风险关系（二）多种风险证券组合收益风险关系 n n Var（（rp））= ∑∑Xi Xj бij ni=1 j=1 i≠j 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险例：例：A、、B、、C、、D 四个股票四个股票XiERiбiA0.20.10.04B0.30.120.06C0.40.140.08D0.10.160.10 三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险四种股票的相关系数及协方差如下：四种股票的相关系数及协方差如下：ABCDA1 （（0.0016）） 0.8 （（ 0.00192）） -0.2 （（-0.0064）） 0.6 （（0.0024）） B0.8 （（0.00192））1 （（0.0036）） -0.2 （（-0.0096）） 0.6 （（0.0036）） C-0.2 （（-0.0064）） -0.2 （（-0.0096）） 1 （（0.0064）） -0.4 （（-0.0072）） D0.6 （（0.0024）） 0.6 （（0.0036）） -0.4 （（-0.0072）） 1 （（0.010）） 第五讲第五讲 证券投资组合理论证券投资组合理论二、风险资产的投资组合收益风险关系二、风险资产的投资组合收益风险关系三、风险资产组合的收益与风险三、风险资产组合的收益与风险{0.2×[0.2×0.0016+0.3×0.00192-0.4×0.0064+0.1×0.0024+ 0.3×[0.2×0.00192+0.3×0.0036-0.4×0.0096+0.1×0.0036 +0.4×[0.2×-0.0064-0.3×0.0096+0.4×0.0064-0.1×0.0072+ 0.1×[0.2×0.0024+0.3×0.0036-0.4×0.0072+0.1×0.01}бρ = 0.001466 1/2 =3.83% 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合1.写出投资者无差异曲线（前已论述）写出投资者无差异曲线（前已论述） 2、求风险资产组合时的有效边界、求风险资产组合时的有效边界（（1）导出有效边界三条规则）导出有效边界三条规则①①对于相同收益率，不同标准差的证券组合，投资者偏好标准差小的组合对于相同收益率，不同标准差的证券组合，投资者偏好标准差小的组合②②对于标准差对于标准差 一样的资产组合，投资者偏好收益率高的组合一样的资产组合，投资者偏好收益率高的组合③③若一种投资组合比另一种证券组合具有较高的收益率和较高若一种投资组合比另一种证券组合具有较高的收益率和较高 的标准差，则由投资的标准差，则由投资者偏好定者偏好定（（2））E（（r））——б准则准则 E（（r））бpABCEDFE（（r））——б准则准则 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 （（3）） N种种证证券券有有效效边边界界的的确确定定可可利利用用拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法求求极极值值方方法法导导出出（（或或矩矩阵阵求求解解））. .为为简简便便起起见见，，以以下下我我们们以以3个证券为例，用图解法导出有效边界。
个证券为例，用图解法导出有效边界 设设证证券券A、、B和和证证券券C组组成成一一个个证证券券组组合合，，xA+xB+xC=1，，xA、、xB、、xC为为3种种证证券券的的组组合合权权数数rA、、rB和和rC为为相相应应的的收收益益率率，，σσA、、σσB和和σσC为为相相应应的的标标准准差差，，σσAB、、σσBC和和σσAC为各证券的协方差为各证券的协方差 下下图图描描述述了了3个个证证券券的的投投资资权权数数图图，，图图中中横横坐坐标标为为xA，，纵纵坐坐标标为为xB图图中中三三角角形形内内部部表表示示组组合合中中每每种种证证券券权权数数为为正正；；边边界界线线MN线线段段上上，，C证证券券投投资资权权数数为为零零；；纵纵轴轴的的左左上上方方，，表表示示证证券券A做做空空；；横横轴轴的的下方，表示证券下方，表示证券B做空，做空，MN线段的右上方延长线表示证券线段的右上方延长线表示证券C做空 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合XAXB等收益线等收益线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 标准差相同时，不同投资比例的证券组合在组合权数标准差相同时，不同投资比例的证券组合在组合权数图上的情况。
将图上的情况将xC=1-xA-xB代入方差公式，得：代入方差公式，得： 化简得：化简得：关于关于xA和和xB的二次方程，在组合权数图上则是一个斜椭圆曲线的二次方程，在组合权数图上则是一个斜椭圆曲线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 把把等等收收益益线线和和等等方方差差椭椭圆圆都都绘绘制制在在组组合合权权数数图图上上，， 如如图图所所示示 由由等等收收益益率率公公式式可可知知，， 组组合合收收益益率率越越大大，， 等等收收益益线线与与纵纵轴轴截截距距越越处处于于横横轴轴的的下下方方，， 因因而而等等收收益益线线沿沿左左下下是是递递增增的的方方向向，， 即即E1＜＜E2…＜＜E6，， 一一般般风风险险和和收收益益率率变变动动一致，因此一致，因此σσ12＜＜σσ22＜＜σσ32＜＜σσ42 等等收收益益曲曲线线和和等等方方差差椭椭圆圆的的左左切切点点，， 表表示示收收益益一一定定时时最最小小方方差差的的组组合合点点 这这些些切切点点位位于于同同一一条条直直线线上上，， 这这条条直直线叫临界线线叫临界线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合最小方差组合权数求临界线最小方差组合权数求临界线 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 图图中中E左左边边的的等等收收益益线线和和等等方方差差椭椭圆圆的的切切点点符符合合均均值值方方差差准准则则，， 即即收收益益一一定定，， 方方差差最最小小；； 方方差差一一定定，， 收收益益最最大大。
这这些些切切点点都都是是有有效效切切点点，， 对对应应于于下下图图中中的的曲曲线线AE段段 而而E右右边边的的临临界界线线部部分分用用虚虚线线绘绘出出 尽尽管管它它们们也也由由切切点点组组成成，， 但但不不能能满足均值方差准则，满足均值方差准则， 故它们不是有效切点，故它们不是有效切点， 这些点对应于下图中的这些点对应于下图中的EF部分 ABCE有效边界线（虚线部分无意义）有效边界线（虚线部分无意义） DF 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合4）无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合无差异线与有效边界线联立方程，求切点，得出最优组合 4、最优投资组合、最优投资组合与有效边界相割切线非最优选择与有效边界相割切线非最优选择与有效边界不相切的无差异曲线属不可行与有效边界不相切的无差异曲线属不可行 图图B为一般风险规避者最优选择为一般风险规避者最优选择图图A为高度风险规避者最优选择为高度风险规避者最优选择 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合 四、风险资产最优投资组合四、风险资产最优投资组合总之，求最优投资组合，一般遵循以下步骤：总之，求最优投资组合，一般遵循以下步骤：1. 找出投资者效用函数表达式找出投资者效用函数表达式2. 确确定定投投资资组组合合中中各各风风险险资资产产的的期期望望收收益益率率、、风风险险（（标标准准差差））及协方差。
及协方差3. 求求出出N种种风风险险资资产产组组合合的的期期望望收收益益率率与与风风险险及及各各风风险险资资产产的的组组合合权权数数，，写写出出有有效效边边界界的的表表达达式式并并在在E(r)-σσ图图上上绘绘出出有有效效边边界界引引入入无无风风险险资资产产后后，，有有效效边边界界转转变变为为直直线线，，这这在以后部分介绍）在以后部分介绍）4. 通通过过建建立立拉拉格格朗朗日日函函数数求求得得投投资资者者效效用用最最大大化化时时的的最最优优投投资资组组合合，，或或通通过过找找出出投投资资者者无无差差异异曲曲线线与与有有效效边边界界的的切切点点确定最优投资组合确定最优投资组合 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合（一）无风险资产的标准差、方差、协方差均为零（一）无风险资产的标准差、方差、协方差均为零бF2=0，，бF =0，， CoviF =0（二）无风险资产与风险资产组合收益组合方差（二）无风险资产与风险资产组合收益组合方差1、无风险资产与单一风险资产（、无风险资产与单一风险资产（A）组合）组合两资产组合收益率：两资产组合收益率：E（（rp））=XA E（（rp））+ XF rf∵ ∵XF =1- XA∴ ∴E（（rp））=rf + XA[E（（rA））-rf] 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合两资产组合方差：两资产组合方差：б2P= X2Aб2A+2 XA XF CovAF+ XF2б2F∵ ∵CovAF=0 бF=0∴ ∴бP2= XA2бA2 бP = XAбA, 此式转为此式转为 XA = ,代入前式代入前式:得：得：E（（rp））= rf + ] *бPбPбA[E（（rA））- rf] /бA 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 BAC图示图示 E（rA）rfбC бA бB 斜率为斜率为 （单位风险补偿）截距为截距为rf，向右上倾斜直线表明，向右上倾斜直线表明бP越高，越高， E（（rp）越大。
两者为正相关两者为正相关 A点为点为100% 持有持有A股票，股票，F点为点为100% 持有持有无风险资产，无风险资产，C为为A股票与无风险资产股票与无风险资产F的不的不同组合，同组合，B代表卖空代表卖空F买入买入A引入无风险资产后，该线为有效边界线，引入无风险资产后，该线为有效边界线，E（rA）- rfбA 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合2、无风险资产与风险资产组合的再组合、无风险资产与风险资产组合的再组合设设A、、B 股票为风险资产组合，（更多股票组合相同），形成新组股票为风险资产组合，（更多股票组合相同），形成新组合合TE（（rT））= YA E（（rA））+ YB E（（rB）） бT = （（YA2бA2 + YB2бB2 +2 YA YB бAB ））1/2 引入无风险资产引入无风险资产F，组合收益与组合风险为：，组合收益与组合风险为：·E（（rp））=rf + бP бP = XTбT 这一组合就是对这一组合就是对F、、A、、B进行组合进行组合 E（（rT））- rf бT 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 rfTBAA、、B形成有效边界线形成有效边界线CAL (T)CAL（（B））CAL（（A）） 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 由由风风险险资资产产组组合合N N与与无无风风险险资资产产F F形形成成资资本本线线为为最最优优线线，，N N为为最最优优风风险险组组合合。
位位于于最最优优线线上上的的每每一一组组合合均均由由F F与与N N构构成成在在这这条条线线上上，，在在相相同同风风险险水水平平上上有有最最大大期期望望收收益益率率；；在在相相同同收收益益率率水水平平上上有有最最小小风风险险由由此此，，引引入入无无风风险险资资产产后后，，资资本本线线成成为为有有效效边边界界，，它它与与原原风风险险型型有有效效边边界界的的切切点点（（N N））就是最优风险资产组合就是最优风险资产组合 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合以两个以两个风险资产组风险资产组合合为为例求最例求最优优投投资组资组合合1.1.计计算算风险资产风险资产E E（（r r））、、2.2.确定最确定最优优先先风险组风险组合中多合中多风险资产组风险资产组合合权权数数确确定定最最优优先先风风险险资资产产组组合合N N实实际际上上就就是是在在 时时，，求出求出CALCAL斜率最大时的资金分配比例斜率最大时的资金分配比例 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 3.3.最优投资组合的确定最优投资组合的确定 求求F与与N组合权数（已知投资者期望效用函数组合权数（已知投资者期望效用函数 EU=E（（r））-bб2 (b(b风险厌恶系数与成反比风险厌恶系数与成反比) ) 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 案案例例：： 假假设设市市场场上上只只有有两两种种风风险险证证券券A A、、B,B,它它们们的的期期望望收收益益率率分分别别为为E(rE(rA A)=0.20.E(r)=0.20.E(rB B)=0.15,)=0.15,风风险险（（标标准准差差））分分别别为为 бA =0.45、、 Бb=0.32 ，，A A与与B B之之间间的的协协方方差差为为бAB=0.0475 ，，同同时时市市场场上上的的无无风风险险资资产产收收益益率率r rf f=0.08=0.08。
若若某某投投资资者者的的期期望望效效用用函函数数 EU=E（（r））-bб2，，且且厌厌恶恶风风险险系系数数b=4b=4，，试试确确定有效边界并求出该投资者的最优投资组合定有效边界并求出该投资者的最优投资组合 设最风险资产组合设最风险资产组合N N中证券中证券A A、、B B所占据资金比例分别为所占据资金比例分别为, , 可算出：可算出：最优风险资产组合最优风险资产组合N N的期望收益率为的期望收益率为 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合风险为风险为 从而有效边界的表达式为：从而有效边界的表达式为： 以以表表示示投投资资者者所所选选择择的的最最优优投投资资组组合合中中最最优优风风险险资资产产组组合合N N及及无无风风险险资资产产F F所占的资金比例，得：所占的资金比例，得： 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 该该投投资资者者应应将将其其资资金金的的76.42%76.42%购购买买无无风风险险资资产产，，23.58%23.58%用用于于风风险险资产投资，资产投资， 其中投资与其中投资与A A的资金比例为的资金比例为 投投资资与与B B的的资资金比例金比例为为 当当风风险险资资产产个个数数较较多多时时，，一一股股要要借借助助与与计计算算机机。
另另外外，，在在确确定定投投资资者者的的最最优优投投资资组组合合时时，，我我们们假假定定投投资资者者具具有有形形如如EU=E（（r））-bб2的的期期望望效效用用函函数数，，其其实实，，当当投投资资者者具具有有其其他他形形式式的的期期望望效效用用函函数数时时，，可可类类似似进进行分析求解，基本原理是一致的行分析求解，基本原理是一致的 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 3.资本市场线资本市场线 以以上上风风险险资资产产为为A、、B 两两个个股股票票，，如如果果将将风风险险资资产产扩扩展展到到N N个个，，以以此此消消除除非非系系统统性性风风险险，，这这时时，，风风险险资资产产可可用用某某个个最最优优组组合合（（如如某某指指数数））替替代代. . 下下图图中中，，M点点代代表表市市场场证证券券组组合合，，它它是是包包含含全全部部风风险险资资产产的的最最优优组组合合，，rf代代表表无无风风险险资资产产收收益益率率连连接接F点点和和M点点，，形形成成的的直直线线是是包包含含无无风风险险资资产产的的有有效效证证券券组组合合这这条条线线表表示示在在市市场场均均衡衡的的条条件件下下，，所所有有投投资资者者都都面面临临相相同同的的线线性性有有效效边边界界（（无无风风险险资资产产组组合合进进来来后后，，有有效效边边界界线线转转换换为为直直线线））。
这这条条直直线线叫叫做做资资本本市市场线场线(capital market line) 五、引入无风险资产再组合五、引入无风险资产再组合 资资本本市市场场线线的的截截距距为为rf，，斜斜率率等等于于市市场场证证券券组组合合期期望望收收益益率率和和无无风风险险资资产产收收益益率率之之差差除除以以它它们们的的风风险险标标准准差差σσM，因此资本市场线的代数表达式为：，因此资本市场线的代数表达式为：σ MσE（r）E（ rM）0MFrf 表示资本市场给投资者单位风险的报酬或风险的价格表示资本市场给投资者单位风险的报酬或风险的价格 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM））（（一）模型建立的假定一）模型建立的假定1、所有人均按马克威茨的理论选择组合，投资人均为风、所有人均按马克威茨的理论选择组合，投资人均为风险厌恶者险厌恶者.2、资本市场无摩擦，借贷均按无风险收益率计算、资本市场无摩擦，借贷均按无风险收益率计算.3、投资者可以自由借贷，无数量限制，不存在税收和交、投资者可以自由借贷，无数量限制，不存在税收和交易费用易费用.4、投资者的投资期限都相同、投资者的投资期限都相同.（（二）、资本资产定价模型的推导二）、资本资产定价模型的推导 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM）） 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM）） 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM）） 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM）） 六、资本资产定价模型（六、资本资产定价模型（CAPM）） 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线（一）（一）.证券市场线证券市场线CAPM模模型型认认为为，，在在市市场场均均衡衡的的状状态态下下，，证证券券期期望望收收益益率率和和风风险险之之间间存存在在着着线线性性关关系系。
在在横横轴轴为为σσiM或或ββ系系数数，，纵纵轴轴为为期期望望收收益益率率的的坐坐标标平平面面上上，，反反映映证证券券期期望望收收益益率率和和风风险险之之间间线线性性关关系系的的直直线线叫叫做做证证券券市市场场线线(the security market line，简记为，简记为SML)见下图 因为证券市场组合与自身的协方差即为其方差，所以因为证券市场组合与自身的协方差即为其方差，所以 所以，市场证券组合所以，市场证券组合M的的ββ值为值为1，， 其其他他证证券券或或证证券券组组合合的的ββ值值大大于于1或或者者小小于于1，，它它们们分分布布在在证证券券市市场场线线M的的两两侧侧当当ββ值值大大于于1时时，，投投资资者者可可以以获获得得高高于于市市场场平平均均水水平平的的期期望望收收益益率率；；当当ββ小小于于1时时，，投投资资者者只只能能得得到到低低于于市市场场平平均均水水平平的的期期望望收收益率 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线(二二)证券市场线与资本市场线区别证券市场线与资本市场线区别 第第一一，，度度量量风风险险的的标标准准不不变变。
证证券券市市场场线线中中是是以以协协方方差差或或ββ系系数数来描绘风险，而在资本市场线上却是用标准差或方差来表示风险的来描绘风险，而在资本市场线上却是用标准差或方差来表示风险的 第第二二，，资资本本市市场场线线只只描描述述了了有有效效投投资资组组合合如如何何定定价价，，而而证证券券市市场场线则说明所有风险资产线则说明所有风险资产(包括有效组合和无效组合包括有效组合和无效组合)如何均衡地定价如何均衡地定价 换换个个角角度度说说，，有有效效投投资资组组合合既既位位于于证证券券市市场场线线上上，，也也位位于于资资本本市场线上，但个别证券和无效投资组合却只能位于证券市场线上市场线上，但个别证券和无效投资组合却只能位于证券市场线上 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线 (三三) β含义及计算含义及计算 （（1））β含义含义 市场均衡时市场均衡时,在足够多的股票组合在一起时在足够多的股票组合在一起时,非系非系统性风险为零统性风险为零,投资者只得到系统性风险补偿投资者只得到系统性风险补偿. [E（（rM））—rf] ,为系统性风险补偿为系统性风险补偿 β越大越大,分配到风险补偿越多分配到风险补偿越多,收益率越高收益率越高. β=1 ,该股票的风险补偿与市场平均数相等该股票的风险补偿与市场平均数相等. β>1 , 该股票的风险补偿大于市场平均数该股票的风险补偿大于市场平均数. 0<β<1 , 该股票的风险补偿小于市场平均数该股票的风险补偿小于市场平均数. 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线(2) β与与б2 的区别的区别 б2方差方差: 反映非系统性风险反映非系统性风险; β : 反映与系统性风险反映与系统性风险; б2方差方差: 反映横向比较反映横向比较,即一个股票收益率即一个股票收益率n种种 环境中的环境中的波动状况波动状况; β : 反映某个股票对整个市场平均风险的弹性度反映某个股票对整个市场平均风险的弹性度; β高高 ，分配到的风险溢价权重高，分配到的风险溢价权重高 ，大多是成长性的，大多是成长性的,股股性活跃性活跃 ,业绩波动频繁的小盘股业绩波动频繁的小盘股. 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线β>1 的股票的股票——进攻性股票进攻性股票,高科技行业高科技行业,周期性行业周期性行业,.如网如网络络,生物技术生物技术,石油石油,汽车汽车,煤炭等行业股票煤炭等行业股票.*牛市中牛市中, β越大的股票越好越大的股票越好;熊市中熊市中,应避开进攻性股票应避开进攻性股票.β=1 的股票的股票——反应中性反应中性, 涵盖了涵盖了70%的股票的股票.β<1的股票的股票——防御性行业防御性行业,生活必需品行业的股票生活必需品行业的股票.*熊市中应选熊市中应选β小的股票小的股票;牛市中不应选防御性行业牛市中不应选防御性行业.*牛市中防御性行业狂涨牛市中防御性行业狂涨,则牛市见顶则牛市见顶;熊市中防御性行业暴熊市中防御性行业暴跌跌,熊市见底熊市见底. 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线(3) β值计算值计算β= =e.g. 计算计算β值值 :三种股票组合三种股票组合M 权重权重:XA =0.12 , XB =0.19 , XC=0.69rF=4%, 三个股票的组合收益率三个股票的组合收益率22.4% . бIMбM2CovIM бM2CovijABCA0.01460.01870.0145B0.01870.08540.0104C0.01450.01040.0285 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线解: бM2 = (∑ ∑ XiXjбij =(0.152)2бAM =0.12*0.0146+0.19*0.0187+0.69*0.145 =0.0153бBM =0.12*0.018+0.19*0.0854+0.69*0.0104 =0.0257бCM =0.0236βA=0.0153/(0.152)2 =0.66βB=1.11βC=1.02β*也可以历史数据也可以历史数据,通过回归方程通过回归方程,近似估计出近似估计出β组合组合β= ∑ Xiβi以上例数据为例以上例数据为例,组合组合βP=0.2*0.66+0.19*1.11+0.69*1.02=1.04673 3i=1 j=1ni=1 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线β与收益成正比与收益成正比 E（（rp）） βFLCMDβ〈〈1 β=1 β〉〉1E（（rp）） FLбIm〈〈бM2 бM2 бIm 〉〉 бM2бiM假设假设бIm=бM2，即，即β=1 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线（四）证券价格高估低估与均衡定价四）证券价格高估低估与均衡定价①①均衡定价均衡定价βM = = =1 , βE 〈〈 1 βF 〉〉1 落在落在SML上的点均为均衡定价。
上的点均为均衡定价SMLMEβE（r）E（（rF））E（（rM））E（（rF））rfβE=0.5βM=1βF=1.50SMLMEFE（（r））E（（rF）） E（（rM））E（（rF）） бIm〈〈бM2 бIm=бM2бIm>бM2бiMбMMбM2 бM2бM2 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线②②非均衡定价非均衡定价 SMLAMBβi βAβM βBFrrBe rArMrAerBrf在在βA 相同情况下相同情况下 rA — rAe > 0 ，表示，表示A证券证券被低估，大量被买入，收益率下降，价格上升，被低估，大量被买入，收益率下降，价格上升，直到回到直到回到SML线，达到均衡线，达到均衡在在βB相同情况下，相同情况下，rB — rBe < 0 ，表示，表示B证券证券被高估，大量被卖出，收益率上升，价格下降，被高估，大量被卖出，收益率上升，价格下降，直到回到直到回到SML线，达到均衡线，达到均衡 rA: 预期收益率预期收益率; rAe:均衡收益率均衡收益率非均衡程度测定非均衡程度测定аi系数系数аi = ri —[rf +（（ RM — rf ））βi] аP = rP —[rf +（（RM — rf ））βP] 式中式中аi为截距，为截距，βi 为斜率为斜率 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线 （五）证券特征线：（五）证券特征线：ri— rf =аi + (rM-rf ) βi ri -rfrM—rf L1 L2L3+а -а截距截距0说明：说明：аi=0 均衡定价均衡定价 аi>0 定价过低定价过低 аi<0 定价过高定价过高 最终趋向最终趋向аi=0该式表明超额收益率由该式表明超额收益率由а与市场组合超额收益率和与市场组合超额收益率和β乘积组成。
乘积组成以以 rM —rf 为横轴，为横轴， ri —rf纵轴，形成坐标，描纵轴，形成坐标，描绘两者关系为特征线绘两者关系为特征线 说明：说明：аi=0 均衡定价均衡定价 аi>0 定价过低定价过低 аi<0 定价过高定价过高最终趋向最终趋向аi=0 七、证券市场线与证券特征线七、证券市场线与证券特征线 不同不同β值（斜率）特征线值（斜率）特征线 (坐标同前坐标同前)β>1SMLβ=1β<1斜率为正，越陡收益越高斜率为正，越陡收益越高ri -rfrM—rf 八.指数模型指数模型与套利定价模型 在运用马柯威茨理论时，必须要预先获得有关组合收益率、方差和协方差等在运用马柯威茨理论时，必须要预先获得有关组合收益率、方差和协方差等 历史数据如果证券组合内的证券种类较多，计算量则相当大例如，历史数据如果证券组合内的证券种类较多，计算量则相当大例如， 在沪深在沪深300股票形成的组合中，须要估计的参数就有股票形成的组合中，须要估计的参数就有45450个。
但是在单指数模型中，个但是在单指数模型中，相应只需估计相应只需估计n n种证券的敏感系数种证券的敏感系数b bi i收益率残差方差收益率残差方差σσ2 2(ei)(ei)和市场证券组合方差和市场证券组合方差σσ2 2M M共共2n+12n+1个数据，个数据， 威威廉廉·夏夏普普提提出出指指数数模模型型的的分分析析方方法法，，简简化化了了计计算算量量，，为为实实际际运运用用提提供供了了一一个很好的方法个很好的方法 一、一、 指数模型的假定条件指数模型的假定条件 指指数数模模型型并并不不通通过过计计算算证证券券间间的的协协方方差差来来考考虑虑证证券券间间的的关关联联性性，，而而是是认认为为证证券券之之间间之之所所以以存存在在关关联联性性，，是是因因为为存存在在某某些些共共同同的的因因素素作作用用证证券券间间的的关关联联性通过一种或几种因素的敏感性而产生性通过一种或几种因素的敏感性而产生 单个证券的收益率的影响来自单个证券的收益率的影响来自3方面：宏观因素方面、微观因素方面和基方面：宏观因素方面、微观因素方面和基本收益率本收益率。
八.指数模型指数模型与套利定价模型 宏观因素对收益率的影响为宏观因素对收益率的影响为R Ri ，微观因素对证券收益率的影响，微观因素对证券收益率的影响记作记作ei，又叫作证券的非系统收益率证券的基本收益率记作，又叫作证券的非系统收益率证券的基本收益率记作ααi，表，表示证券收益率独立于市场的部分示证券收益率独立于市场的部分 ，，bi为单个证券对宏观因素的敏感系为单个证券对宏观因素的敏感系数数 ,于是得到：于是得到： ri=ααi+biRi+ei 对指数模型作如下假定：对指数模型作如下假定： 1. 证券间影响不相关，即证券间影响不相关，即cov(ei，，ej)=0影响一个企业的微观事件不影响一个企业的微观事件不影响其他企业，不同证券的非系统收益不相关影响其他企业，不同证券的非系统收益不相关 2. 宏观因素和微观因素不相关，即宏观因素和微观因素不相关，即cov(ei，，RM)=0 3. 企业未来潜在影响事件综合效果为零，即企业未来潜在影响事件综合效果为零，即E(ei)=0。
尽管未来会发尽管未来会发生一些对企业有影响的事件，但它们对企业收益率只会有随机影响，生一些对企业有影响的事件，但它们对企业收益率只会有随机影响，相当于随机误差，其期望值也就为零相当于随机误差，其期望值也就为零 八.指数模型指数模型与套利定价模型 二二. .单指数模型单指数模型 在在影影响响证证券券收收益益的的众众多多因因素素中中，，投投资资者者根根据据客客观观情情况况和和自自身身的的偏偏好好，，强强调调某某一一因因素素对对证证券券收收益益率率的的决决定定性性作作用用，，这这时时他他就就分分析析该该因因素素对对证证券券收收益益率率的的影影响响这这种种由由单单个个因因素素所所确确定定的的收收益益模模型型就就是是单单指指数数模模型型或或称称之之为为单单因因素素模模型型，，可表示为：可表示为： F因素可以是各种宏观因素，如国民生产总值、经济增长因素可以是各种宏观因素，如国民生产总值、经济增长 率和通货膨胀率等；率和通货膨胀率等；bi为证券为证券i对这种因素的敏感系数；对这种因素的敏感系数；ai为基为基 本收益率，也称作零因素；本收益率，也称作零因素；ei为随机误差项，期望值为为随机误差项，期望值为0。
八.指数模型指数模型与套利定价模型 如如果果选选择择市市场场证证券券组组合合收收益益率率RM为为宏宏观观因因素素变变动动的的综综合合反反映映，，就就可可以以得得出出1963年年夏夏普普所所创创立立的的单单指指数数模模型型(the singleindex model)，此处的，此处的F因素为因素为RM：： 通过单指数模型，可以推导出证券通过单指数模型，可以推导出证券i的期望收益率、方差和协方差的期望收益率、方差和协方差：：式式中中：： σ2 2F F为为因因素素F F的的方方差差，，叫叫因因素素风风险险(factor (factor risk)risk)；；σ2 2eiei表表示示证证券券i i的的非非因因素素风风险险(nonfactor risk)(nonfactor risk)，它是随机误差的方差；，它是随机误差的方差；b bi i，，b bj j表示证券表示证券i i和证券和证券j j对对F F因素的敏感系数因素的敏感系数 八.指数模型指数模型与套利定价模型 对证券投资组合对证券投资组合P来讲，组合的收益率为：来讲，组合的收益率为：式中：式中：同理也可以得到投资组合的风险构成：同理也可以得到投资组合的风险构成：当投资相当分散时，有理由认为非因素风险会降到很小当投资相当分散时，有理由认为非因素风险会降到很小 ，可忽略，可忽略 八.指数模型指数模型与套利定价模型 单指数模型建立单指数模型建立 年份年份证券收益率证券收益率(%)GDP增长率增长率(%)114.35.7219.26.4323.47.9415.67.059.75.1613.02.9 八.指数模型指数模型与套利定价模型 利利用用表表中中的的数数据据，，用用最最小小二二乘乘法法求求出出证证券券收收益益率率公公式式中中的的系系数数a和和b，也可以通过图形拟合出直线方程，如图所示。
也可以通过图形拟合出直线方程，如图所示 八.指数模型指数模型与套利定价模型 八.指数模型指数模型与套利定价模型 指数模型虽然不是一种资产定价的均衡模型，但它同指数模型虽然不是一种资产定价的均衡模型，但它同均衡的资本资产定价模型存在一定的联系均衡的资本资产定价模型存在一定的联系CAPM可以看可以看成是单一因素成是单一因素rM的指数模型，两模型参数之间存在以下的指数模型，两模型参数之间存在以下关系：关系：a ai i=r=rf f、、b bi i=β=βi i和和 应当指出的是，不能把一般单指数模型中的应当指出的是，不能把一般单指数模型中的bi同同CAPM中中 的的ββ系数等同，它们各有其定义背景和使用环境，系数等同，它们各有其定义背景和使用环境，ββi只是只是bi 中的一个特例，中的一个特例，rM也只是也只是F的一个特例同样，指数模型中的一个特例同样，指数模型中 系数系数ai和前面介绍的和前面介绍的αα系数是截然不同的概念，不能将它们系数是截然不同的概念，不能将它们 混淆。
混淆 八.指数模型指数模型与套利定价模型 三、三、 多指数模型多指数模型 单指数模型一般只能近似地反映证券间的关联性，要准确单指数模型一般只能近似地反映证券间的关联性，要准确反映证券收益率的多类影响因素，就必须引入多种变量这些反映证券收益率的多类影响因素，就必须引入多种变量这些变量有：实际国民生产总值增长率、利率水平、通货膨胀率、变量有：实际国民生产总值增长率、利率水平、通货膨胀率、失业率、国际收支和政府预算等失业率、国际收支和政府预算等 现实社会中，影响证券收益率的各种因素之间往往存在着千丝万缕的现实社会中，影响证券收益率的各种因素之间往往存在着千丝万缕的 关系，它们之间的协方差可能不为零但是，只要做一定的数学处理，就关系，它们之间的协方差可能不为零但是，只要做一定的数学处理，就 可以剔除因素之间的相互影响，最后可以使公式中的各因数之间不再相可以剔除因素之间的相互影响，最后可以使公式中的各因数之间不再相 关类似单指数模型也可以假定不同因素间的协方差为零，残余收益率关类似单指数模型也可以假定不同因素间的协方差为零，残余收益率ei 同各同各 因素之间的协方差为零，不同的残余收益率因素之间的协方差为零，不同的残余收益率em和和en之间的协方差也为之间的协方差也为 零。
零 八.指数模型指数模型与套利定价模型 在在作作了了以以上上假假设设后后，，可可以以求求出出证证券券的的期期望望收收益益率率、、方方差差和协方差证券和协方差证券i的期望收益率是：的期望收益率是： 公式表明，要求证券公式表明，要求证券i的期望收益率，除了要估计参数模型中的的期望收益率，除了要估计参数模型中的ai，，bi1，， bi2，，…，，bin外，还需要估计出每个因素价值的期望值外，还需要估计出每个因素价值的期望值 . 证券证券i的方差是：的方差是： 因为假设各因素之间已没有关联性，所以公式中没有出现不同因素间的协因为假设各因素之间已没有关联性，所以公式中没有出现不同因素间的协方差项 八.指数模型指数模型与套利定价模型 在按单指数模型确定收益率时，如果发现各证券收益在按单指数模型确定收益率时，如果发现各证券收益率残差间的协方差基本为零，由此而产生的误差超出了允率残差间的协方差基本为零，由此而产生的误差超出了允许的范围，则应该修正原单指数模型，引入第二种因素许的范围，则应该修正原单指数模型，引入第二种因素。
同样，当引入第二种因素后，仍不能满足误差要求，则应同样，当引入第二种因素后，仍不能满足误差要求，则应该考虑引入第三种因素，乃至更多的因素我们面临着复该考虑引入第三种因素，乃至更多的因素我们面临着复杂多变的环境，各种因素往往交互作用，互相影响，个别杂多变的环境，各种因素往往交互作用，互相影响，个别因素可能难以达到对世界精确的描述因素可能难以达到对世界精确的描述 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型四四.套利定价理论套利定价理论(APTAPT模型模型) 资本资产定价模型缺乏实证检验的支持资本资产定价模型缺乏实证检验的支持1976年，罗斯在指数模型年，罗斯在指数模型基础上发展了资本资产定价理论，提出了套利定价理论基础上发展了资本资产定价理论，提出了套利定价理论(the arbitrage pricing theory，简记为，简记为APT)，该理论是能用经验数据加以检验的该理论是能用经验数据加以检验的 （一）（一） 套利和市场均衡套利和市场均衡 套利首先是指利用同一资产套利首先是指利用同一资产(实物资产或证券实物资产或证券)在不同市场上存在的价在不同市场上存在的价格差异，通过低买高卖赚取利润的过程。
其次又指同一市场不同品种格差异，通过低买高卖赚取利润的过程其次又指同一市场不同品种间套利间套利. . 大量套利者利用不合理的定价套利就会打破原先的供需格局，使价大量套利者利用不合理的定价套利就会打破原先的供需格局，使价格发生波动，差价逐渐消失，相应的证券就在均衡价格处获得一种平格发生波动，差价逐渐消失，相应的证券就在均衡价格处获得一种平衡当某种价格水平使任何套利行为都不存在时，市场就处于一种均衡当某种价格水平使任何套利行为都不存在时，市场就处于一种均衡状态 套利定价模型就是要说明通过套利定价模型就是要说明通过套利均衡价格套利均衡价格是如何形成的是如何形成的, ,是从套是从套利者的角度出发，考察市场不存在无风险套利机会而达到均衡时各证利者的角度出发，考察市场不存在无风险套利机会而达到均衡时各证券及证券组合的定价关系相对券及证券组合的定价关系相对CAPM模型，套利定价模型没有太多模型，套利定价模型没有太多苛刻的假设条件，同实际较为吻合苛刻的假设条件，同实际较为吻合 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型同一资产在不同市场上存在的价格差异而形成套利容易理解同一资产在不同市场上存在的价格差异而形成套利容易理解. . 以下看一个以下看一个同一市场不同品种间套利的例子同一市场不同品种间套利的例子. . 各证券在不同环境下的收益率（各证券在不同环境下的收益率（%）） 高通胀高通胀 低通胀低通胀高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平概率（概率（P））0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 收益率统计表收益率统计表股票股票现价现价（元）（元）期望收益期望收益率（率（%））标准差标准差（（%）） 相关系数相关系数ABCDA102529.581.00-0.15-0.290.68B102033.91-0.151.00-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.871.000.22D1022.258.580.68-0.380.221.00 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 将将A、、B、、C组合成组合成T与股票与股票D比较比较 在不同环境下在不同环境下T与与D的收益率（的收益率（%）） 高通胀高通胀 低通胀低通胀高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平投资组合投资组合T23.332023.3336.67股票股票D15152336综合考察综合考察投资组合投资组合T股票股票D的期望收益率与标准差，显然，的期望收益率与标准差，显然，T优于优于D. E(rT)=25.83 ρTD=0.9 E(rD)=22.25 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 可作零投资组合套利可作零投资组合套利.股票股票投资额投资额（万元）（万元） 高通胀高通胀 低通胀低通胀高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平高利率水平高利率水平低利率水平低利率水平A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合零投资组合0251512 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型( (二二) ) 单因子套利定价模型单因子套利定价模型 如如果果各各证证券券收收益益率率只只受受一一个个共共同同因因子子F的的影影响响，，不不需需要要知知道道这这一一因因子子是是什什么么，，那么证券那么证券i的收益率可以表示为：的收益率可以表示为：式中：式中： ri表示证券表示证券i的未来收益率；的未来收益率； 代表证券代表证券i的期望收益率；的期望收益率；F为对各证券都有影响的共为对各证券都有影响的共同因子；同因子；bi是某证券是某证券i收益率对收益率对F因子的敏感程度，也叫风险因子因子的敏感程度，也叫风险因子 公式中各参数满足以下条件：公式中各参数满足以下条件： E(F)=0E(F)=0，，E(eE(ei i)=0 , cov(e)=0 , cov(ei i，，F)=0F)=0，， cov(ecov(ei i，，e ej j)=0)=0 套套利利定定价价模模型型和和指指数数模模型型形形式式上上相相似似，，但但它它们们实实质质是是不不同同的的。
指指数数模模型型不不是是均均衡衡模模型型，，它它反反映映证证券券实实际际收收益益的的产产生生过过程程，，而而套套利利定定价价模模型型本本质质上上是是个个均均衡衡模模型型，，它它讨讨论论当当任任何何套套利利机机会会都都消消失失时时，，市市场场均均衡衡条条件件下下的的证证券券和和证证券券组组合合的的定定价价，，在在APTAPT模模型型中中，，我我们们并并没有必要指出共同因子是什么及到底有多少共同因子没有必要指出共同因子是什么及到底有多少共同因子 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型1.充分分散投资组合的单指数套利定价模型推导充分分散投资组合的单指数套利定价模型推导充分分散投资组合的充分分散投资组合的 ，在，在n不断增大时不断增大时趋趋于零，（以于零，（以 ））这时这时, , 转换为转换为：：下图下图ββ值为值为1 1的充分分散的组合的充分分散的组合P P与单个证券与单个证券Q Q收益率与共同因子的关系图。
假设收益率与共同因子的关系图假设P P与与Q Q期望收益率为期望收益率为10%10% 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 有有另另一一个个充充分分分分散散B B组组合合仍仍为为1 1，，但但期期望望收收益益率率为为8%8%由由于于套套利利，，P P与与B B不不能能同同时时并并存存卖卖空空价价值值100100万万B B，，再再买买入入价价值值100100万万的的P P构构造造零零组组合合，，其其净收益额为净收益额为: : [(0.1+1*F)- [(0.1+1*F)-（（0.08+1*F0.08+1*F））] 100] 100万万=2=2（万元）（万元）该组合该组合ββ值为零值为零 系系统风险为统风险为零，由于都是充分分散零，由于都是充分分散组组合，非系合，非系统风险统风险消除事实实上上这这种套利不可能持久种套利不可能持久 结结论论1 1：：在在市市场场均均衡衡状状态态下下，，相相同同值值的的充充分分分分散散证证券券组组合合必必须须有有相相同同收益率，否收益率，否则则无无风险风险套利机会存在。
套利机会存在 下下图图中中C C组组合合β系系数数为为0.50.5，，期期望望收收益益率率0.060.06，，位位于于连连结结线线下下方方C C提提供供风险补偿风险补偿率低于率低于P.P. 如果以如果以1/2 P1/2 P与与1/2 r1/2 rf f构成构成D D组组合，合，D D的的β值值与与ErErD D为为：： 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 可可见见：：D D与与C C有有相相同同β值值，，但但期期望望收收益益率率高高于于C C，，无无风风险险套套利存在在市场均衡下，所有组合必须位于直线，该直线为：利存在在市场均衡下，所有组合必须位于直线，该直线为： 这这就就是是充充分分分分散散投投资资组组合合的的单单指指数数套套利利定定价价模模型型. 代代表表单位风险报酬风险因子价格）单位风险报酬风险因子价格） 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型001010P的收益率的收益率Q的收益率的收益率FF组合组合P及单个证券及单个证券Q的收益率与共同因子的关系的收益率与共同因子的关系 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型PB0108收益率收益率 收益率收益率期望收益率期望收益率Fβ0.51010764PDC 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型ABEDCFErzErz*βEr均衡状态下单个证券均衡状态下单个证券Er与与β不可能呈非线性关系不可能呈非线性关系2.单个证券的单指数套利定价模型推导单个证券的单指数套利定价模型推导 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 市市场场均均衡衡时时，，任任何何单单个个证证券券与与分分散散组组合合的的系系统统风风险险都都能能被被补补偿偿，，并具有相同风险率并具有相同风险率. . 上上图图中假中假设设各各证证券券风险补偿风险补偿不等（非不等（非线线性关系）性关系），， 这这时时可可卖卖空空补补偿偿率率低低的的并并投投资资于于补补偿偿率率高高的的证证券券. .卖卖空空D,C，，投投资资于于A,B. . 在在 时，时， 形成了另一零形成了另一零β 组组合（已充分分散合（已充分分散风险风险））. . 构构造造一一个个E(rE(rz z* *) )，，既既无无系系统统性性风风险险又又无无系系统统风风险险的的组组合合，，显显然然后后一一组组合期望收益率高，合期望收益率高，产产生套利机会，生套利机会，卖卖空空Z Z买买入入Z*获获利利 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 随随着着不不断断卖卖空空与与买买入入，，风风险险补补偿偿率率低低的的证证券券价价格格随随卖卖空空的的增增加加，，价价格格下下降降收收益益率率上上升升，，买买入入的的证证券券收收益益率率随随价价格上升而收益率下降，随后各证券风险补偿率一致格上升而收益率下降，随后各证券风险补偿率一致 在在市市场场均均衡衡时时，，无无论论单单个个证证券券还还是是证证券券组组合合，，期期望望收收益率与益率与β值之间有相同线性关系值之间有相同线性关系. . 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型(三三)多多因子套利定价模型因子套利定价模型( (以两因子为例以两因子为例) ) 1. 1.充分分散充分分散组组合的双因子套利定价模型合的双因子套利定价模型 充分分散充分分散组组合的收益率合的收益率 充分分散充分分散组组合合总风险总风险全部是系全部是系统风险统风险首先，相同首先，相同β值值的充分分散的充分分散证证券券组组合合应应有相同收益率有相同收益率 如如期期望望收收益益率率不不同同，，可可卖卖空空低低的的购购入入高高的的构构成成零零β值值的的零零投投资组资组合套利。
合套利 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 其其次次，，充充分分分分散散证证券券组组合合期期望望收收益益率率与与其其β之之间间存存在性关系线性关系. . 如果影响共同因子有如果影响共同因子有n n个个 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型2.多多因子套利定价模型推导因子套利定价模型推导 我我们们先先引引入入“纯纯因因子子”组组合合的的概概念念所所谓谓“纯纯因因子子”组组合合，，是是指指对对某某个个共共同同因因子子的的敏敏感感度度为为1 1，，而而对对其其他他共共同同因因子子的的敏敏感感度度为为零零的的充充分分分分散散证证券券组组合合构构造造纯纯因因子子组组合合是是能能实实现现的的，，因因为为可可供供选选择择的的证证券券数数众众多多而而共共同同因因子子的的个个数数相相对对来来说说少少得得多多比比如如，，在在两两因因子子模模型型的的情情况况下下，，可以通可以通过过求解如下方程（求解如下方程（n n足足够够大）：大）：得到解得到解 以此为权重构成以此为权重构成一充分分散投资组合一充分分散投资组合A，则，则A对共同因子对共同因子F1F1敏感度敏感度 , ,而对共同因子而对共同因子F2F2的敏感度的敏感度 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 从而从而A就是一个就是一个“纯因子纯因子”F1的充分分散组合，它位于图中的的充分分散组合，它位于图中的A点。
点使用同样的方法，可以构造一个使用同样的方法，可以构造一个“纯因子纯因子”F2的充分分散证券组合的充分分散证券组合 B , 它位于图中的它位于图中的B点 现现在假在假设设有一充分分散有一充分分散证证券券组组合合W W，，它不位于平面上它不位于平面上 W W的的风险风险因子（即关于共同因子的敏感度）分因子（即关于共同因子的敏感度）分别为别为 与与 ，期望收益率，期望收益率为为E E（（rwrw））. .下面我下面我们们分析分析说说明明这这种情况在市种情况在市场场均衡状均衡状态态下是不可能存在下是不可能存在的 利用前面所构造的利用前面所构造的“纯因子纯因子”组合组合A A与与B B，我们可以构造出一个与，我们可以构造出一个与W W有相同风险因子但期望收益率大于有相同风险因子但期望收益率大于E E（（rwrw）的证券组合以权重为）的证券组合以权重为 的资金投资于证券组合的资金投资于证券组合A A，权重为，权重为 的资金投资证券的资金投资证券组合组合B B，权重为，权重为 的资金投资于无风险资产的资金投资于无风险资产r rf f , , 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型构构成成一一投投资资组组合合D D，，则则D D的的风风险险因因子子等等于于参参与与组组合合的的A A、、B B、、r rf f的风险因子的加权平均：的风险因子的加权平均： 由于由于; ;因此有因此有; ;同理可见，同理可见，这这样样，，投投资资组组合合D D与与W W就就具具有有相相同同的的风风险险因因子子。
但但D D的的期期望望收收益率益率为为：： 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 这时，这时，D位于图的平面上由于位于图的平面上由于D的期望收益率大于的期望收益率大于W，这样就产生了无风险套利机会，与市场均衡状态不存在，这样就产生了无风险套利机会，与市场均衡状态不存在无风险套利机会相矛盾，由此可见，在市场均衡状态下，无风险套利机会相矛盾，由此可见，在市场均衡状态下，任意分散证券组合的期望收益率与值必存性关系任意分散证券组合的期望收益率与值必存性关系. .即即满足：满足： 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型BAW Dβ2β1110βWIβ W2E(R)rf 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 （四）（四）APT模型和模型和CAPM模型的比较模型的比较 套套利利定定价价模模型型与与资资本本资资产产定定价价模模型型都都是是研研究究资资产产期期望望收收益益率率在在市市场场均均衡衡状状态态下下如如何何决决定定证证券券价价格格问问题题的的它它们们之间存在着一定的联系，也有明显的差别之间存在着一定的联系，也有明显的差别 1. 模型的假设条件不同模型的假设条件不同 CAPM假假定定条条件件较较多多。
它它假假定定投投资资者者仅仅以以收收益益率率和和标标准准差差(方方差差)作作为为分分析析的的基基础础，，并并认认为为证证券券收收益益率率同同市市场场证证券券组组合合的的收收益益率率相相关关另另外外，，CAPM还还假假定定市市场场是是有有效效的的，，所所有有投投资资者者有有相相同同的的预预期期，，所所以以最最终终资资产产在在市市场场均均衡衡时时被被合合理理地地定定价价APT只只是是假假定定收收益益产产生生是是个个因因素素模模型型，，它它没没有有要要求求投投资资者者一一定定要要按按收收益益—风风险险准准则则来来选选择择投投资资方方案案APT只只是是讨讨论论资资产产在在市市场场上上不不存存在在无无风风险险套套利利机机会会时时如如何何定定价价，，甚甚至至APT模型对共同因子到底是什么也没有加以明确指定模型对共同因子到底是什么也没有加以明确指定 八八.指数模型指数模型与套利定价模型与套利定价模型 2.形成均衡状态的机理不同形成均衡状态的机理不同 CAPM模模型型中中，，所所有有投投资资者者面面临临不不合合理理的的定定价价时时，，行行为为是是一一致致的的，，都都会会按按相相同同的的方方法法、、准准则则改改变变投投资资策策略略，，调调整整投投资资组组合合，，但但这这种种调调整整仍仍在在原原有有的的有有效效边边界界上上进进行行。
市市场场在在所所有有投投资资者者共共同同作作用用下下最最后后又又重重新新回回到均衡状态到均衡状态 而而APT模模型型，，并并没没有有强强调调所所有有的的投投资资者者都都改改变变策策略略，，且且行行为为准准则则相相同同，，它它只只是是说说明明面面临临不不合合理理的的定定价价，，只只要要存存在在着着套套利利机机会会和和套套利利行行为为，，不管是不是所有的投资者都参与套利过程，市场也会恢复到平衡状态不管是不是所有的投资者都参与套利过程，市场也会恢复到平衡状态 3.3.定价范围及精度不同定价范围及精度不同 CAPMCAPM是是从从它它的的假假定定条条件件经经逻逻辑辑推推理理得得到到的的，，它它提提供供了了关关于于所所有有的的证证券券及及证证券券组组合合的的期期望望收收益益率率一一风风险险关关系系的的明明确确描描述述，，只只要要模模型型条条件件满满足足以以此此确确定定的的任任何何证证券券或或证证券券组组合合的的均均衡衡价价格格都都是是准准确确的的而而APTAPT是是从从不不存存在在无无风风险险套套利利的的角角度度推推出出的的，，由由于于市市场场中中有有可可能能存存在在少少数数证证券券定定价价不不合合理理而而整整个个市市场场处处于于均均衡衡之之中中，，所所以以APTAPT提提供供的的均均衡衡定定价价关关系系有有可可能能对对少数证券不成立少数证券不成立. . 。
