第五章 波函数与薛定谔方程.doc

第五章 波函数与薛定 谔方程§5 - 1 波函数的统计诠释一 概率波（1） 电子双缝衍射和概率波( a )( b )图 5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样643● 入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图 5- 1 ( b )所给出的衍射图样● 单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短 时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长 ，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性● 实验上所显示出来的电子的波动性，644是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果● 实验的衍射图样代表了电子在空间 r 点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数正是为描写粒子的这种行为而)(r引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波● 在量子力学中，波函数 是最重)(r要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态● 在经典物理学中并不存在与波函数对应的物理量在经典概念下，)(r当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所 发 生的是周期变化645的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的 干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。

2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用 描述， 则 衍射图样的强)(r度分布用 的模方描述)(r(5. *21)其中： *( r )是  ( r )的复共轭衍射波强度   ( r ) 2 是刻画 电子出现在 r 点附近的概率大小的一个量，即(5. 2)zyx2)(646表示在 r 点处的体积元 中找到粒子的zyx概率这就是 波函数的概率 诠释 量子力学的基本原理之一结论：波函数  ( r )： 是刻画粒子在空间概率分布的概率波， 称为概率波幅 或概率幅ρ(r)=   ( r ) 2：描写粒子在空间的概率密度分布，即 在 r 点处附近单位体积元中找到粒子的概率二 波函数的性 质在一般情况下，  作为可以接受的波函数，从物理上往往要求  是有限、连续和单值的 1 ) 统计诠释对波函数提出的要求647● 在空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值一般情况下，这意味着要求 取有限值，)(r但并不排除在空间某些孤立奇点处   . ()r例如，即使 是 的孤立奇点，V 0 是包围0r)(r0 点 在内的任何有限体0V0r 积， 则按统计诠释 ，只要有限值 (5. 032d)(Vr3) 就是物理上可接受的，其中 . 如取zyxrd3r0 = 0，V0 是半径为 r 的小球，则式(5. 3)相当于要求：当 r  0 时， . 0)(23r648(5. 4)如果在 r  0 时,波函数具有 的形式，sr/1则要求 . 2/3s● 波函数的归一化条件波函数 描述的粒子在空间各点的概率的总和为 1 , d)(32toalr(5. 5)这时的波函数为归一化的波函数。

如果某波函数 尚未归一化)(rA, )0(d32则有 , 1)(1r(5. 6)式中的 称为波函数 的归一化因子A1)(rA649归一化的波函数对应的概率密度是相对概率而非绝对概率，亦即在所指定空 间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数● 波函数有一个常数因子的不确定性重要的是相对概率分布如果 C 是常数(可以是复数 )，则  ( r )和 C ( r )所描述的相对概率分布是完全相同的因为在空间任意两点 r1 和 r2处，总有. 221)()(rrC(5. 7)这就是说，C  ( r )与  ( r )所描写的是同一个概率波在这一点上，概率波与经典波有着本 质的差别一个 经典波的波幅若增大一倍，则650相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态经典波根本 谈不上归一化，而概率波却可以进行 归一化● 波函数相位的不确定性如果  ( r )是归一化的波函数， ( r ) ＝  ( r ) （对于任意的实常数ie）● 单值 2)(r保证概率密度在任意时刻 t 都是确定的 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的要求具体的物理情况,对波函数  提出要求： 是 连续的。

1、 波函数 及其各阶导数的连续性)(r问题651在势场 中运动的单粒子所遵从的薛)(rV定谔方程为. (一维),(),(d2),(i txVtxmtx在一维情况下，当 势函数 是 x 的连续函数时，按照薛定 谔方程，波函数的二阶导数是存在的， 这就要求波函数 及其一)("x)(x阶导数 是 x 的连续函数即使是在有限)('的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数 及其一阶导数 仍是 x 的连)(x)('续函数应该 从薛定谔方程出 发，根据 势场的性质来决定波函数 及其各阶导数)(rV)(r的连续性问题例 2、波函数 的束缚态边 条件)(r在金属和原子中的电子等许多实际情况下，粒子的运动被限制在一定的空 间范围内，或者说，粒子处652于束缚态对 于束缚态就要求波函数  ( r )在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件总之，从物理上讲， 态函数  ( r )应当是位置 r 的连续函数，否则就会在不连续点上发生解释上的不确定性 3 ) 初值条件和边界条件从物理上看，仅有运 动方程还不足以确定物体的运 动：运动方程＋起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一个微分方程有无穷多个解，表现在其通解中含有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界情况等则是确定这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解 + 初值条件 + 边界条件量子力学的定解问题: 求一个微分方程653的解满足一定初值条件和边界条件的问题。

三 概率的基本概念及运算( 1 ) 随机事件的概率概率:反映随机事件 发生可能性的大小当观测次数 N 趋于无穷时 ，事件 A 发生的概率 . (5. PNAlim8)( 2 ) 互斥事件概率的加法定理两个随机事件在一次观测中不可能同时发生设 A 和 B 是两个互斥事件，在 N 次观测中，事件 A 出 现 NA 次，事件 B 出现 NB 次，则事件 A 或者事件 B 出现 的概率为,AlimPPN654(5. 9)即两个互斥事件中任意一个出现的概率等于两个事件出现的概率之和. 概率的归一化条件(全部互斥事件出 现的概率为 1) , 1iP(5.10)它表明，在一次观测中，全部互斥事件中总有一个是要发生的 3 ) 独立事件概率的乘法定理设 A 和 B 是两个独立事件，在 N 次观测中，事件 A 出 现 NA 次，事件 B 出现 NB 次，则事件 A 和事件 B 同时出 现(记为 A  B )的概率. BABlimli PNPN(5. 11)655( 4 ) 随机变量的概率分布 统计平均值和涨落一个变量以一定的概率取各种可能值设离散型随机变量 X 的可能取值为，如果在 N 次同样 的实验或观测中，nx,,21测得随机变量 X 取上述各 值的次数分别为，则 随机变量 X 的统计平均值为nN,,21. iiPxNlm(5. 12)对于连续型的随机变量 Y，其统计平均值为, yYd)((5. 13)上述积分遍及 Y 的取值范围 。

],[21y随机变量 X 的涨落或均方偏差(为了描述随机变量X 在其统计平均值656上下起伏的平均幅度) X22222 22 2222(()() = ()()i ii iii i iii i ii ixXxXxPPxxXX (5. 14)§5 - 2 力学量的统计不确定性一 不确定性原理海森伯提出的不确定性原理（uncertainty principle）：如果测量一个粒子的位置的不确定范围是x， 则同时测量其动量也有一个不确定范围p x，两者的乘积不可能小于 ，即2/≥ . xp(5. 15)657为不确定关系(uncertainty relation)● 电子和其他物质粒子的衍射实验已经表明，粒子束所通过的 圆孔或单缝越窄小， 则所产生的衍射图样的中心极大区就越大 说明：测量粒子的位置的精确度越高，测量粒子的动量的精确度就越低● 一维自由空间中运动的粒子，如果具有完全确定的动量 px (即平面波)，则在任意给定的时刻 t，粒子在空间的每一点 x 上的概率密度都相同 说 明： 如果粒子的动量 px 完全确定，它的位置 x 就完全不确定。

● 比较：在经典力学中，一个粒子的658位置和动量是可以同时确定的，而且一旦知道了某一时刻粒子的位置和动量， 则在一般情况下，任意时刻粒子的位置和动量原则上都可以精确地预言不确定关系(uncertainty relation)对能量和时间：体系处于某一状态，如果 时间 有一段 t 不确定， 则能量也有一个 E 不确定有关系≥ . tE2(5. 16)● 粒子的平均寿命： 一个粒子在能量状态 E 附近的停留时间 t● 粒子的能级宽度： 在t 时间内粒子的能量状态不完全确定，它有一659个弥散E≥ t2/● 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的，即只有当 时，才有 .t 0E● 量子力学对认识论的启示：不可能做具有绝对确定性的断言，而只能做具有某种可能性的断言对于微观粒子，我们 只能给出在空 间一定范围内找到粒子的概率，而不能确定哪一个粒子一定在什么地方二 动量分布概率( 1 ) 动量空间中的波函数 )(p● 经典力学描述物质运动状态的力学量：坐标、动660量、角动量、动能和势能决定论的方式起作用● 量子力学波函数 以概率论的方式描述微观粒子的运动状态。

尽管波函数本身不是力学量，但各种力学量的取值及其变化却取决于波函数例、If  ＝ （一 单色平面波），/ ierpC该粒子在空间各处的概率密度＝  ( r ) 2 ＝ C 2，相应的粒子动量＝ （确定）./hp例、 在一般情况下，波函数 是一个由许多单色平面波叠加而成的波包，相应的动量也有一个分布可将  ( r )作傅里叶展开，661其正、逆变换 式分别为：, p3/i2/3de)()(1) rpr(5. 17), r3/i2/3de)()(1)prp(5. 18)其中： ； zyxpdd3＝波函数 按平面波 展) (p)(r/ ierp开的波幅；＝ 中含有平面波 的份2)() (r/ irp额，i.e.,粒子处 在平面波态的概率（或者说粒子动量 p/ ierp的概率）与 成比例;2)(p= 粒子动量在 范围p32d)()d+,(p的概率. 662● 和 是一个量子态在不同表象) (r) p中的表示( 和 是同一个量子 态的两种不同描(r) p述方式)一旦 给定， 就完全确定了， 反之亦然。

( 2 ) 狄拉克  分布函数0.,(xx(5. 19).  1d)(d)(xx663(5. 20)例 1、 长为 l 的细杆，质量为 1. 设密度均匀，即1/, x。