高教五版高数(经济类)空间曲面及其方程多元函数随堂讲义.ppt

2018年11月12日星期一,1,高等数学多媒体课件,华南农业大学理学院数学系,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2018年11月12日星期一,2,第六章 多元函数微积分,第一部分 空间解析几何,第二部分 多元函数微分学,第三部分 二重积分,2018年11月12日星期一,3,主 要 内 容,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第二节 偏导数 全微分,第三节 复合函数和隐函数的偏导数,第四节 二元函数的极值,第五节 二重积分,第六节 二重积分的应用,第七节 经济应用Ⅵ,2018年11月12日星期一,4,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第六章,四、多元函数,,一、空间直角坐标系,二、空间曲面与方程的概念,三、常见的空间曲面及其方程,五、二元函数的极限与连续性,2018年11月12日星期一,5,,,,,,,,,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o ,,,坐标面,卦限(八个),zox面,1. 空间直角坐标系的基本概念,2018年11月12日星期一,6,向径,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,,,,,,,,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0) ;,,,,在直角坐标系下,2018年11月12日星期一,7,坐标轴 :,,,,坐标面 :,2018年11月12日星期一,8,2. 空间中两点之间的距离,,于是空间两点间的距离公式为：,,特别地,2018年11月12日星期一,9,,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,,为顶点,,例1 求证以,2018年11月12日星期一,10,3、向量及其运算,表示法:,向量的模 :,向量的大小,,向量:,(又称矢量).,,既有大小, 又有方向的量称为向量,向径 (矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,,零向量:,模为 0 的向量,,有向线段 M1 M2 ,,或 a ,,,,,,2018年11月12日星期一,11,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,,则称此 k,个向量共面 .,2018年11月12日星期一,12,,,,,,,,,,,,,,(1) 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,,,,,,运算规律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,,,,,,,,2018年11月12日星期一,13,,,,,,,,,,,,,2018年11月12日星期一,14,,,,,,三角不等式,,,,,(2) 向量的减法,2018年11月12日星期一,15, 是一个数 ,,规定 :,可见,总之:,运算律 :,结合律,分配律,因此,,(3) 数与向量的乘积,2018年11月12日星期一,16,设 a 为非零向量 , 则,,,( 为唯一实数),, 取 ＝±,,且,再证数  的唯一性 .,则,,,,取正号, 反向时取负号,,,,,,定理1,2018年11月12日星期一,17,则,,,例1 设 M 为,解:,,,,,,,,,2018年11月12日星期一,18,,在空间直角坐标系下,,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,,,,,,,,,,的坐标为,,,,,(4) 向量的坐标表示,2018年11月12日星期一,19,(5)利用坐标作向量的线性运算,设,则,,,,,,平行向量对应坐标成比例:,2018年11月12日星期一,20,在AB直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,,,,,,,,,,,及实数,得,即,,,,,,例3 已知两点,2018年11月12日星期一,21,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,,于是得,中点公式:,说明: 由,2018年11月12日星期一,22,内容小结,2. 向量的概念及其线性运算,1. 空间直角坐标系,3. 利用坐标变量作向量的线性运算,2018年11月12日星期一,23,二、空间曲面与方程的概念,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,2018年11月12日星期一,24,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,两个基本问题 :,(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,,求曲面方程.,(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状,( 必要时需作图 ).,定义1,2018年11月12日星期一,25,故所求方程为,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,例1 求动点到定点,2018年11月12日星期一,26,解: 配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ),都可通过配方研究它的图形.,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,例2 研究方程,2018年11月12日星期一,27,解,,整理得,2018年11月12日星期一,28,三、空间常见的空间曲面及其方程,常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转面和二次曲面等. 空间曲线，特别是直线，在空间解析几何中非常重要. 下面，我们对这些图形作简单介绍.,2018年11月12日星期一,29,1. 平面及其方程,第六章,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2018年11月12日星期一,30,,,①,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,,称①式为平面的点法式方程,,求该平面的方程.,法向量.,量,,,,则有,故,,,2018年11月12日星期一,31,,,,2018年11月12日星期一,32,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程②与此点法式方程等价,,②,,的平面,,因此方程②的图形是,法向量为,方程.,(General Equation of a Plane),2018年11月12日星期一,33,特殊情形,• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;,• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;,• A x+C z+D = 0 表示,• A x+B y+D = 0 表示,• C z + D = 0 表示,• A x + D =0 表示,• B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,2018年11月12日星期一,34,解:,因平面通过 x 轴 ,,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例2 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.,例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,2018年11月12日星期一,35,解 设所求的平面的方程为,,,,得所求方程为,,,平面的截距式方程,2018年11月12日星期一,36,内容小结,1. 平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,2018年11月12日星期一,37,2. 直线,第六章,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程,二、空间直线的参数方程,2018年11月12日星期一,38,,,,,因此其一般式方程,直线可视为两平面交线，,,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,2018年11月12日星期一,39,(Symmetric Expression),1. 对称式方程（点向式方程),,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,2018年11月12日星期一,40,,设,得参数式方程 :,,3. 参数式方程,(Parametric Form ),2018年11月12日星期一,41,例7 把直线L的一般方程,,化为对称式方程和参数方程.,解,,2018年11月12日星期一,42,即有,,2018年11月12日星期一,43,因此，直线L的对称式方程为：,,令,,则得直线的参数方程为,2018年11月12日星期一,44,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,2018年11月12日星期一,45,3、柱面,引例 分析方程,表示怎样,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上,表示圆C,,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,,平行 z 轴的直线 l ,,表示圆柱面,,在圆C上任取一点,,,,其上所有点的坐标都满足此方程,,的曲面 ?,2018年11月12日星期一,46,,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,,表示抛物柱面,,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,,z 轴的平面.,,表示母线平行于,,,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线, l 叫做母线.,,,定义,2018年11月12日星期一,47,柱面,,柱面,,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)=0.,母线,柱面,,准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.,母线,一般地,在三维空间,2018年11月12日星期一,48,,定义 一条平面曲线,4、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.,例如 :,,,2018年11月12日星期一,49,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,,,则有,则有,该点转到,,,,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,2018年11月12日星期一,50,,求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐,标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成,该变量与第三变量平方和的正负平方根.,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2018年11月12日星期一,51,的圆锥面方程.,解: 在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,,两边平方,,,例8 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,2018年11月12日星期一,52,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,例9 求坐标面 xoz 上的双曲线,(旋转双叶双曲面）,(旋转单叶双曲面）,2018年11月12日星期一,53,5、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍 .,研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0 ),2018年11月12。