2014研究生试题答案.doc

太原科技大学硕士研究生2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷题号一二三四五六总 分分数一、填空题（每空4分，共32分）1、设是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___2、解线性方程组 的Jacobi迭代格式（分量形式）为，其相应的迭代矩阵为3、方程的牛顿法的迭代格式为____________，其收敛的阶为 2 4、已知数的近似值0.937具有三位有效数字，则的相对误差限是解：x10.937， 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为6、设，则__4____.二、（本题满分15分）证明方程在区间[1,2]有唯一实根，构造一种收敛的迭代格式使对任何初值[1,2]都收敛，并说明收敛理由和收敛的阶解：（1）证明方程在区间[1,2]有唯一实根.------5分设，，而且，所以在区间[1,2]有唯一实根2）构造迭代格式----------5分改写原方程为等价方程，建立迭代格式… （3）说明收敛理由------4分由于，满足1<<2,而且=，故对[1,2]都收敛4）说明收敛的阶1分=，故为线性收敛或者说收敛的阶为1.三、（本题满分15分）构造过节点的牛顿差商表，并选取合适的节点分别构造二次、三次牛顿插值多项式以计算和。

解：列出差商表，如下：一阶差商二阶差商三阶差商-2170112219--------------------- 5分把，，代入二阶牛顿插值多项式得:----------------------------------------------4分故 ----------------------------1分由三阶牛顿插值多项式：将和代入上式，得：-------------------------------------4分故-------------------------------1分四、（本题满分15分）设，求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算的一个复化求积公式考查知识点：根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解解：时，左边==右边; ----------------------1 时，左边==右边时，左边==右边；时，左边==右边时，左边=右边;故而所给求积公式具有3次代数精度2 2）将作等分，记-----------------------1分------------------------------1分而--------------------2分由此可得复化公式）=----------------4分五、（本题满分13分）应用数值积分的有关理论建立常微分方程初值问题：的Adams二步显式公式： 证明：记-----------------------------1分将原方程两边在区间上积分得-----------------------------------3分以为插值节点作的一次插值多项式，，-----------3分代入前式，-------------------------------------6分将用代替，将换成=，则命题得证。

六、（本题满分10分）（从下列两题中选择一道题完成）1、求关于的最佳平方逼近多项式解解需修改 内积记，利用内积定义有，-------------------------0.5分，，，，， ，-------------------------------1分，------------------------------1分-----------------------------1分法方程为：-------------------------------3分得到f(x)的最佳平方逼多项式为-----------1分2、使电流通过的电阻，用伏特表测量电阻两端的电压，得到如下数据：12468101.83.78.212.015.820.2 试用最小二乘法建立电流与电压之间的经验公式 解：（1）确定的形式将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取 （2）建立法方程组2，------------------------2--------------------------------2法方程： ----------------3分（3）求经验公式 解所得法方程组得 故所求经验公式为：--------------1分  第 15页 共 6 页 。