选修4-5-第二节--证明不等式的基本方法课件.ppt

第二节 证明不等式的基本方法1.1.比较法证明不等式可分为比较法证明不等式可分为_比较法和比较法和_比较法两种比较法两种 求差比较法求差比较法求商比较法求商比较法理论依据理论依据abab_aba0, b0, _b0, b0a-b0a-b=0a-b=0ababababa-ba-b x-y.( )x+2yx-y.( )（2 2）已知）已知ab-1,ab-1,则则 ( )( )（3 3）设）设 (ba0)(ba0)，则，则st.( )st.( )（4 4）证明）证明 可用比较法证明可用比较法证明.( ).( )【解析解析】（1 1）错误）错误. .若若x-y0 x-y0，则有，则有x+2yx-y.x+2yb-1,a+1b+10,.ab-1,a+1b+10,（3 3）错误）错误. ba0,a-b0, . ba0,a-b0, st. sba,cba,证明：证明：a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2aababa,b-a0,c-b0,c-a0,cba,b-a0,c-b0,c-a0,abab2 2+bc+bc2 2+ca+ca2 2aa2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2a,a,即即a a2 2b+bb+b2 2c+cc+c2 2aaba0,y0,x0,y0,求证：求证：【思路点拨思路点拨】待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明, ,可考虑用分析法证明可考虑用分析法证明. .两边六次方，消去分数指数幂，化为整两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可式不等式后，再进行变形，整理证明即可. .【规范解答规范解答】要证明要证明只需证只需证(x(x2 2+y+y2 2) )3 3(x(x3 3+y+y3 3) )2 2，即证即证x x6 6+3x+3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y4 4+y+y6 6xx6 6+2x+2x3 3y y3 3+y+y6 6，即证即证3x3x4 4y y2 2+3x+3x2 2y y4 42x2x3 3y y3 3, ,x0,y0,xx0,y0,x2 2y y2 20.0.即证即证3x3x2 2+3y+3y2 22xy,3x2xy,3x2 2+3y+3y2 2xx2 2+y+y2 22xy,2xy,3x3x2 2+3y+3y2 22xy2xy成立，成立，【拓展提升拓展提升】1.1.综合法与分析法的逻辑关系综合法与分析法的逻辑关系（1 1）用综合法证明不等式是）用综合法证明不等式是“由因导果由因导果”, ,分析法证明不等分析法证明不等式是式是“执果索因执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，它们是两种思路截然相反的证明方法. .（2 2）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，）综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤. .（3 3）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分）分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. .2.2.分析法的应用分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和平均值不等式没有直当所证明的不等式不能使用比较法，且和平均值不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. .【变式训练变式训练】已知已知a0,b0,2ca+b,a0,b0,2ca+b,求证：求证：【证明证明】要证：要证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：(a-c)(a-c)2 2cc2 2-ab,-ab,只需证：只需证：a a2 2+c+c2 2-2acc-2aca2aca2 2+ab.+ab.a0,a0,只需证只需证2ca+b,2ca+b,由题设，上式显然成立由题设，上式显然成立. .故故考向考向 4 4 用反证法证明不等式用反证法证明不等式【典例典例4 4】若若a a3 3+b+b3 3=2=2，求证，求证:a+b2.:a+b2.【思路点拨思路点拨】直接证明直接证明a+b2a+b2比较困难，可考虑从反面入手，比较困难，可考虑从反面入手，运用反证法，导出矛盾，从而证得结论运用反证法，导出矛盾，从而证得结论. .【规范解答】【规范解答】方法一方法一: :假设假设a+ba+b2,2,而而但取等号的条件为但取等号的条件为a=b=0,a=b=0,显然不可能显然不可能, ,aa2 2-ab+b-ab+b2 20.0.则则a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2) )2(a2(a2 2-ab+b-ab+b2 2),),而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2-ab+b-ab+b2 21.1.1+ab1+aba a2 2+b+b2 22ab.2ab.从而从而abab1.1.aa2 2+b+b2 21+ab1+ab2. (a+b)2. (a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab2+2ab2+2ab4.4.a+ba+b2.2.这与假设矛盾，故这与假设矛盾，故a+b2.a+b2.方法二方法二: :假设假设a+ba+b2 2，则，则a a2-b,2-b,故故2=a2=a3 3+b+b3 3(2-b)(2-b)3 3+b+b3 3，即即2 28-12b+6b8-12b+6b2 2, ,即即(b-1)(b-1)2 20 0，这不可能，这不可能，从而从而a+b2.a+b2.方法三方法三: :假设假设a+ba+b2,2,则则(a+b)(a+b)3 3=a=a3 3+b+b3 3+3ab(a+b)+3ab(a+b)8.8.由由a a3 3+b+b3 3=2,=2,得得3ab(a+b)3ab(a+b)6.6.故故ab(a+b)ab(a+b)2.2.又又a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=2.)=2.ab(a+b)ab(a+b)(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2).).aa2 2-ab+b-ab+b2 2ab,ab,即即(a-b)(a-b)2 20.0.这不可能，故这不可能，故a+b2.a+b2.【拓展提升拓展提升】1.1.适宜用反证法证明的数学命题适宜用反证法证明的数学命题(1)(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题结论本身是以否定形式出现的一类命题. .(2)(2)关于唯一性、存在性的命题关于唯一性、存在性的命题. .(3)(3)结论以结论以“至多至多”、“至少至少”等形式出现的命题等形式出现的命题. .(4)(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题. .2.2.反证法常见推出的矛盾反证法常见推出的矛盾（1 1）通过推证，得出与假设矛盾的结论）通过推证，得出与假设矛盾的结论. .（2 2）通过推证，得出与已知矛盾的结论）通过推证，得出与已知矛盾的结论. .（3 3）通过推证，得出自相矛盾的结论）通过推证，得出自相矛盾的结论. .【变式训练变式训练】用反证法证明下列结论：用反证法证明下列结论：已知已知0 0a a1 1，则，则【证明证明】假设假设通分得通分得0 0a a1,1+3a1,1+3a9a(1-a).9a(1-a).整理得（整理得（3a-13a-1）2 20.0.这与平方数不小于这与平方数不小于0 0矛盾矛盾. .假设不成立，则假设不成立，则。