一个高精度数值积分公式.pdf

牛5卷第4期年12月计算物理Vol.5,No.4C HIN E S EJO U R NA LOFCOMPU TATIO EA 工JPH Y S ICSDee ember.1 9 8s、壬于/片.~ 申申申片.壬于、研究简报~ ,~ ~ ~ ,/一个高精度数值积分公式吴新元(南京大学 )19 8了年12月8日生}父到摘要本文讨论了一个具有高精度的求积公 式丁), (·)、/一(一)(7, (·)+1 6、(一誉乡))+:、()+(,,一)(,/(〔Z卜,产(的))/3 E〔j ’j其 中二〔,〕一蕊韶、(6)(;),武;<乃及其复合公 式伽·,“一(卜·,雌‘,(·+2,“)+7落,、(一卜2*人)、一6溶1, (洲一、、)这里一(“一,(f‘(抓了,一f‘“,)/272)/3 ·+厂·〔,〕二:〔,卜一撇赢冲6)(),·<:<“而h一(b 一)/2,,它具有辛普生公 式的一切优点,但精确度比辛普生公 式高2阶欲值试验表明,这是一个非常有效的求积公式,4 7 45卷一、引言众所 周知,计算定 积分的辛普生公式 是 最常 用的数值积分方法它的特点是精 确度比较高,没有系 数和求积基 点的舍入误差,且可以使用递推公式。

前一次在积分区间分 点 上计算的结 果,在后一 次一计算 中还可以使用,这就使得 计算 的实际速度加快了但 是辛普生公式的代数精 确度仅仅 是3阶利用被 积函数 的导数使 求积公式提 高精 确度的想 法 早就有人提到(见}土〕,〔2〕)不过,要 以增加复杂 性和对 被积函数提 出更高的要求为代价,因此这类方法很难将到推广,也 很少 引人注目然而巧 妙 地利 用这个 思想却可以较少的工作 量获得 较高的代数精确度这正是本文将介 绍的一 个数值积分公式这个公式继承了辛普生公式的上述优点,而代数精 确度提!、石了2阶数值试验 表明这是 一个一卜 分有效的求积公式二、公式的推导考虑 如下形式 的求积公式{{了(/’““一 h艺刀、f、+/ l2互?f:十爪户(1)其中,h=(b 一a )/2;f、=j (二扩公式(t)的余项现 确定公式(1)中的系数/· ’厂劣’〕=0,川=0,1,2,⋯,;. l ’、=f ’(x);二二a+i l l;0,1 ,2.而刀汀〕为求积刀,,丫,(i二1,2) 使 得它的代数精 确度尽可能地 商为此令:.通过 计算不难 定 出7,.16八=厅,=.,,万,-一,一la’10:L、一、洛,:,:一11。

1一于是我们得 到求积 公式.{’, - / ( x)“一念一〔;了十‘6了1+了厂2〕+云汀‘一f广 :〕又2)转代数 精确度为5阶根据 广义皮亚诺(pe an o)定 理〔“ 〕,取e (劝-f‘“’(叮)(x一二)“(x一二,)匕(二一*:)“可得 余项二,:一刃〔·卜‘{:·(/) d x一耘”7‘(“’(右,(3)求积公式(2)从表面 上看需要 用到被 积函数的 导数值,但是它的特殊 形 式启示 我们,..日.. 月 . . 口 . 团 . ‘ 门. ‘‘J‘.‘ -洲‘一闷 ,~“一一.冲 .臼. 曰.. ‘J . ... .若用三 叔 (x厂,rl,戈玄)Hcrmi t目击值构造求不’公 式,亦可导 出公式 (2)4期吴新元:一个高精度数值积分 公式475它特别 适合于使用复合形 式,此时 公式 中所含 的区间〔a,劫内的 导数项 可 以相互抵消,从而使得公式(2)的实际计算量大 大减少,与复合辛普生公式相比,在形式 上只增加’了被积函数在 积分区间端点 的导数值f’(a )与/’(乙)以下 我们总是假定被积函数f (二) 在积分区间端点的导数是存在的三、复合公 式将积 分区间〔a,的分成n个 相等的小区间,并没h一(b 一a)/2:则分点为义、二a+fh,苦=0,1,2,⋯,祝对每个小区间〔、:一:,、2‘〕应用公 式(2),则有j(劝d . x .二艺讯〔叭一+‘叭了一+叭‘〕十伶,、、一2一、、、〕}扁IJ一一Z4b一a3 0灯{‘万‘Zf十7万,‘之‘+, 6万,‘巳、飞,(b 一a)“:,,,、一‘丁十刃后 而 开一t、J、aj一J、o)J一去(7,:+:,:+ 16‘。

) +L,V(b一a)“60,;2〔j’(力一/’(b)〕(4)其 中;_些二 夕__芍,.艺一22自J忿了一义礴,J-旱一乡21一(“)九”勺曰广b一“,::〕的一个黎 曼.尹艺一月2劣厂| |叹,它们都是 相应于〔口,份 的 分割叮二,二:一,〔_丫:,(Riemao n)和,由定 积分 定义知,”飞, ,*二11,Jl,,22或了·者界收 敛丁:积分{},(/)d/’J的组合(4)也 收敛 到{{,(/复合公式(4)收敛又假设,(6杭内连续,则 我们容 易导出复合求积公式(4)的余项 为二:〔、〕一赢脚〔6)( t ),·<;<在〔a,(6)数值试验算定积 分四‘一J{0 5义Zx.注此处证 明复合求积公式(4)的 收敛性时拼;月悠到佘项E〔f〕,即不需要假设八x) 在〔a,的上具有6阶连续导数,而只要假设f(二)在〔a,b〕上连续,47G计算物理5卷要求误差不超过sx10一‘解因为If‘“’(雪)1二!e o s引《1,所 以,由不等式、、、若6、、<一l了f得)1.取n二},计算结果为I士0.84147 24208这个结果在Mc68机上采用双精度运算得到五、附记在〔4〕中利 ) j j样条函数方法也 导 出了形如本文中公式(2)的求积公式价(二’、:。

2夕,+::〕+价夕产一,产:〕人一,训””但这个公式 的代数精确度与辛普生公式相同,比本文 导出的求积公式(2)的代数精确度低了2阶应 当指出,在四节的例子中,达到同样的精确度时,定步长复合辛普生公式确定出)6,计算函数值n次(见〔3〕)而本文给出的复合求积公 式(4)确定 出)1,计算函数值(包括f‘(a)及f‘(b) )仅需5次,还不到辛普生公式的一半如果f‘()和f产(b)容易得到,那么在程序中可直接作为输入 量,尤其适合于周期函数在一个周 期_L的积 分4“公式(4)可 以平行推广到二重积分的情形,但本文不 拟作讨 论参考文献〔f〕Obree扮Koff.N.,NeueQuadra亡urFormeln’,Abh,preus s.Akad.Wis s.Math.Nat.KI,,(10 4’)).〔2〕H.月.纳水松著,函数构造论(下册 ),科学出版社(195 9).〔3〕刘德岁_,心景姗,于泳江,李 广元编FORT RAN算法语言汇编,第一册,国防工业出辉 平以1匀乌).〔4〕一性兵月姆友详编,数值通 近.人民教育出版社(1078)〔5)邓建巾,葛仁杰,程正兴著,计算方法,西安交通大学出版社(1985),p16。

4期吴新元:一个高精度数值积分 公式4 7 7A HIG日EROR DE RACC U R ACYNUM E R !CALQUAD R ATURER ULEWuXin一yu an(Naj公ngUnfoer :‘矛少)Abstra etT hisPaperdiseussesthefollowingquadratu rerulew ithhigherdegre eofa CC U raCy户,,、,.、,_,,、._,/a+b、_,,,、.,,J了L%) d%气”一“八了八“少十‘6J、一『一少十丫八”)十 L”一‘,八J ’ 气“少一J’又”夕刀/3 十E〔f〕WhereE〔f〕二f‘“’(舀),a<睿