弹性力学的基本理论.ppt

机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室第一章第一章 弹性力学基础弹性力学基础u 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容 §§1-1 1-1 弹性力学的研究内容及基本方法弹性力学的研究内容及基本方法 弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等作用而发生的弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等作用而发生的应力应力和和应变应变，以及与应变有关的，以及与应变有关的位移位移u 弹性力学的任务弹性力学的任务 与材料力学、结构力学的任务一样，弹性力学的任务是分与材料力学、结构力学的任务一样，弹性力学的任务是分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室课程课程研究对象研究对象研究的主要内容研究的主要内容弹性力学弹性力学弹性体弹性体梁、柱、坝体、板、壳等受力体的应力、应变和位移的精确分析梁、柱、坝体、板、壳等受力体的应力、应变和位移的精确分析材料力学材料力学杆状构件杆状构件梁、柱等杆件在拉、压、弯、扭、剪状态下的应力和位移梁、柱等杆件在拉、压、弯、扭、剪状态下的应力和位移理论力学理论力学刚体刚体刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）分析刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）分析结构力学结构力学杆系结构杆系结构桁架、刚架等杆系结构的约束力、内力与位移的计算桁架、刚架等杆系结构的约束力、内力与位移的计算塑性力学塑性力学弹塑性体弹塑性体结构的弹塑性分析结构的弹塑性分析表表1 1 不同力学课程主要研究对象和内容的比不同力学课程主要研究对象和内容的比较较机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 弹性力学的基本假设与基本定律弹性力学的基本假设与基本定律v 连续性假设连续性假设v 完全弹性假设完全弹性假设v 无初应力假设无初应力假设 Q 基本假设基本假设v 匀质和各向同性假设匀质和各向同性假设v 小变形假设小变形假设机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室Q基本定律基本定律v 牛顿定律牛顿定律v 几何连续性定律几何连续性定律v 物性定律物性定律 ⇨⇨ 应力和应变之间的关系应力和应变之间的关系 ( ( 物理方程物理方程 ) )² 动量平衡原理动量平衡原理 ⇨⇨ 平衡平衡 ( ( 运动运动 ) )微分方程微分方程² 动量矩平衡原理动量矩平衡原理 ⇨⇨ 应力张量的对称性应力张量的对称性 ² 作用与反作用定律作用与反作用定律 ⇨⇨ ⇨⇨ 位移和变形的关系位移和变形的关系 ( ( 几何方程几何方程 ) )⇨⇨ 位移边界条件位移边界条件机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法 从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。

最后利用边界条件确定解中的常数按照方程中保留的未知量，求解方法可分为按照方程中保留的未知量，求解方法可分为² 应力法（以应力法（以应力应力为未知量）为未知量）²位移法（以位移法（以位移位移为未知量）为未知量）²混合法（同时以混合法（同时以应力和位移应力和位移为未知量）为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：数值方法：有限元法，有限元法，有限差分法，边界元法等有限差分法，边界元法等机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 学习弹性力学的目的弹性力学的目的Ø 理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本方程、基本解法方程、基本解法Ø 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工程服务Ø 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分法、差分法和有限单元法的理解法、差分法和有限单元法的理解 Ø 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。

为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础 机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 弹性力学的发展史弹性力学的发展史自学机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念v 外力外力²体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力²表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力可以是集中力机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内产生抵抗变形的力，称为内力产生抵抗变形的力，称为内力F F1 1F F2 2ⅡⅡⅠⅠF F1 1 — Ⅱ Ⅱ部分物体对部分物体对ⅠⅠ部分物体的作用力部分物体的作用力F F2 2 — Ⅰ Ⅰ部分物体对部分物体对ⅡⅡ部分物体的作用力部分物体的作用力F F1 1 和和F F2 2 大小相等，方向相反大小相等，方向相反v 内力、应力及应力张量内力、应力及应力张量截面单位面积上的内力称为应力。

截面单位面积上的内力称为应力机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室v 应力及应力张量（续）应力及应力张量（续） t 称为作用在称为作用在 P 点处以点处以 n 为外法线为外法线的截面上的应力向量的截面上的应力向量 应力向量应力向量 t 不仅依赖于不仅依赖于 P 点的坐标，点的坐标，而且还依赖于截面的法线方向而且还依赖于截面的法线方向 n 在物体内的同一点在物体内的同一点 P，不同截面上的，不同截面上的应力向量是不同的应力向量是不同的 如果已知过某点三个相互垂直截面上如果已知过某点三个相互垂直截面上的三个应力向量，则过该点任何其他方向的三个应力向量，则过该点任何其他方向截面上的应力向量均可求出即这三个相截面上的应力向量均可求出即这三个相互垂直的应力向量完全确定了该点的应力互垂直的应力向量完全确定了该点的应力状态机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 正应力用正应力用  表示为了表明这个正应力表示为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个坐标角码剪的作用面和作用方向，加上一个坐标角码。

剪应力用应力用  表示，并加上两个坐标角码，前一个表示，并加上两个坐标角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴 如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负相反，轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负方向为正，沿坐标轴正方向为负应力的表示及正负号的规定应力的表示及正负号的规定正应力正应力 －－ 垂直于作用垂直于作用面的分量面的分量剪应力剪应力 －－ 在作用面内在作用面内的切向分量的切向分量机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室剪应力互等定理：剪应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。

交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）证明：证明： a a、、b b分别为前后两个面分别为前后两个面的中心连线的中心连线abab，并以之为矩，并以之为矩轴，列出力矩平衡方程，得到轴，列出力矩平衡方程，得到同样，可以列出另两个力矩平衡方程得出同样，可以列出另两个力矩平衡方程得出机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室应力张量应力张量 是对称的二阶张量是对称的二阶张量 过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应力张量唯一地确定即一点的应力状态是用该点的应力张量唯一地确定即一点的应力状态是用该点的应力张量表示的力张量表示的机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室等效应力等效应力— Von－－Mises应力应力机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室v应变应变 正应变：线段每单位长度的伸缩，用正应变：线段每单位长度的伸缩，用 表表示伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 剪应变：线段之间直角的改变，用剪应变：线段之间直角的改变，用 表示。

表示直角变小时为正，反之为负直角变小时为正，反之为负 如果如果 这这6 6个量在个量在P P点是点是已知的，则该点的变形可以完全确定已知的，则该点的变形可以完全确定v位移位移 物体内任意一点的位移，用它在物体内任意一点的位移，用它在 x、、y、、z 三三个坐标轴上的投影个坐标轴上的投影 u、、v、、w 来表示以沿坐标来表示以沿坐标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 弹性力学问题的分类弹性力学问题的分类 ①①杆件杆件 长度远大于横向尺寸的构件几何要素为横截面与轴线长度远大于横向尺寸的构件几何要素为横截面与轴线②②板壳板壳 厚度方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件厚度方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件③③块体块体 长、宽、高三个方向尺寸为同一量级的构件长、宽、高三个方向尺寸为同一量级的构件 §§1-2 1-2 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室①① 空间问题的数学描述空间问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数个坐标参数x、、y、、z有关；有关； 15个未知函数个未知函数 — 6个应力分量：个应力分量： 6 6个应变分量个应变分量: : 3 3个位移分量：个位移分量：u、、v、、w，， 一般都是三个坐标参数一般都是三个坐标参数 x、、y、、z 的函数；的函数； 基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。

维数可相应减少u 各类问题的基本方程及基本未知量各类问题的基本方程及基本未知量 机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室② 平面问题的数学描述平面问题的数学描述 已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐已知的几何参数和载荷（表面力和体积力）只与两个坐标，例如标，例如x、、y有关，而与有关，而与z无关；无关； 15个未知函数中只存在有个未知函数中只存在有oxy平面内的分量，且只是平面内的分量，且只是x、、y的函数，其余分量或不存在，或可以用的函数，其余分量或不存在，或可以用oxy平面内的分量表示；平面内的分量表示； 基本方程式是二维的基本方程式是二维的机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为承受的是某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题近似的平面问题² 平面应力问题平面应力问题ü几何形状特征：几何形状特征：物体在一个坐标方向物体在一个坐标方向（例如（例如 z）的几何尺寸远远小于其他两个）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。

坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板ü载荷特征载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变面且沿厚度不变机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室²平面应变问题平面应变问题ü几何形状特征几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很轴）方向的长度很长，且所有垂直于长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿移约束条件或支承条件沿z方向也相同方向也相同ü 载荷特征载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随轴，且分布规律不随z变化o机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各由于对称（任一横截面都可以看作是对称面），所有各点都只会沿点都只会沿x和和y方向移动，而不会有方向移动，而不会有z z方向的位移，即方向的位移，即 。

因为所有各点的位移矢量都平行于因为所有各点的位移矢量都平行于oxy面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题面，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑：在弹性力学里分析问题，要从三个方面来考虑： 静力学方面静力学方面、、几何学方面几何学方面和和物理学方面物理学方面 首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导首先考虑平面问题的静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题出应力分量与体积力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程的平衡微分方程一、平衡微分方程一、平衡微分方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 连续性假设连续性假设u 小变形假设小变形假设略去二阶以及二阶以上的微量略去二阶以及二阶以上的微量 假设假设AD面处的正应力为面处的正应力为σσx x，由于，由于BC面相对于面相对于AD面面x坐标有坐标有dx的增量，应力也将有相应的增量，的增量，应力也将有相应的增量，BC面处面处的正应力可以用泰勒级数表示为的正应力可以用泰勒级数表示为机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程。

根据微元体处于平衡的条件，可以得到三个平衡微分方程一）作用于体心（一）作用于体心M M的合力矩为零，即的合力矩为零，即略去微量，整理，得出略去微量，整理，得出证明了剪应力互等定理证明了剪应力互等定理机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室（二）（二）x x方向的合力为零，即方向的合力为零，即整理后，得整理后，得（三）（三）y y方向的合力为零，即方向的合力为零，即类似于上式，可得类似于上式，可得平面问题的平衡微分方程平面问题的平衡微分方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室x方向方向PA的正应变的正应变y方向方向PB的正应变的正应变几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系几何方程表明了应变分量与位移分量之间的关系二、几何方程二、几何方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 PA与与PB所夹直角的改变，即剪应变所夹直角的改变，即剪应变 由两部分组成：由两部分组成：x方向线素方向线素PA向向y方向的转角，记为方向的转角，记为 ，和，和 y方向线素方向线素PB向向x方向的转角，记为方向的转角，记为 ，即，即由上图可知，由上图可知，在小变形下，在小变形下，，所以，所以同理，同理，所以所以机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式综合以上所列各式，得出平面问题的几何方程式 要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的要保证物体的位移是连续的，则应变分量之间必须满足一定的条件，即变形协调方程，或相容方程。

条件，即变形协调方程，或相容方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，应变分量与应力分量之间的关系，即物理方程，也称为本构方程也称为本构方程 在完全弹性的各向同性体内，在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系应变分量与应力分量之间的关系由虎克定律导出由虎克定律导出 E 是弹性模量，是弹性模量，G 是剪切弹是剪切弹性模量，性模量，  是侧向收缩系数，又是侧向收缩系数，又称为泊松比称为泊松比三、物理方程三、物理方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 位移边界条件位移边界条件u 应力边界条件应力边界条件 设平面弹性体在设平面弹性体在 Su Su 边界上给定边界上给定位移位移 和和 ，它们是边界坐标的，它们是边界坐标的已知函数则在已知函数则在 Su Su 边界上，位移分边界上，位移分量必须等于该点的给定位移，即量必须等于该点的给定位移，即 设平面弹性体在设平面弹性体在 边界边界 上给定表面力分量上给定表面力分量 和和 ，，它们是边界坐标的已知函数。

则在边界它们是边界坐标的已知函数则在边界 上，应力分量与给上，应力分量与给定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出定表面力之间的关系，可由边界上微元体的平衡条件得出§§ 1-3 1-3 边界条件边界条件机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 在物体的边界上，取一微元三角形在物体的边界上，取一微元三角形ABC，其斜边，其斜边BC与物体的边界面重合与物体的边界面重合N表示边界的外法线方向，表示边界的外法线方向，N的方向余弦为的方向余弦为cos  = l，，sin   = m，则，则dx = mds,dy = lds由微元体平衡条件由微元体平衡条件 ，得，得略去高阶小量，整理后得略去高阶小量，整理后得同理，由同理，由 ，得，得由由 略去高阶小量后，得略去高阶小量后，得机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室所以，平面问题的应力边界条件所以，平面问题的应力边界条件在在 上上当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化：当边界面垂直于坐标轴时，应力边界条件将简化：² 边界垂直于边界垂直于x 轴，轴，l= 1, m= 0² 边界垂直于边界垂直于y 轴，轴， l= 0 , m= 1在在 上上在在 上上机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室u 混合边界条件混合边界条件 物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件。

另一部分具有已知表面力，因而具有应力边界条件按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：ü 位移边界问题位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su Su 边界边界ü 应力边界问题应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是：在边界面上全部给定表面力，即全部是 边界这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系这时，外力（包括体力和面力）应是平衡力系ü 混合边界问题：混合边界问题：既有既有Su 边界，又有边界，又有 边界二者可以分边界二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室试列出下图所示弹性体的边界条件试列出下图所示弹性体的边界条件q1q2ρgyaOxyx=ax=0y=0y=bb机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室§§1-4 1-4 求解平面问题的基本方法求解平面问题的基本方法 在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解按位移求解，，按应按应力求解力求解和和混合求解混合求解。

按位移求解按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量出应变分量，从而用物理方程求出应力分量 按应力求解按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量出应变分量，从而用几何方程求出位移分量 在在混合求解混合求解时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函时，同时以某些位移分量和应力分量为基本未知函数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这数，由一些只包含这些基本未知函数的微分方程和边界条件求出这些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数些基本未知函数以后，再用适当的方程求出其它的未知函数机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室弹性力学的一些普遍原理弹性力学的一些普遍原理l圣维南原理圣维南原理l叠加原理叠加原理 弹性和小变形条件下，同一物体上若干组外力分别作用下的叠加，等于这若干组外力同时作用于该物体上。

l解的唯一性定律解的唯一性定律 利用应变能定律可以证明，受已知体力作用的弹性体，其表面或者面力已知，或者位移已知，或者一部分面力已知而另外一部分位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一的 把物体一小部分上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，只影响近处的应力分布，而不影响远处的应力该原理又称为局部性原理换言之，若一小部分边界作用有平衡力系（即主矢量和主矩为零），则此平衡力系只在近处产生显著应力，而对远处的影响可以忽略不计机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室表表2 2 平面问题基本方程平面问题基本方程名名 称称基本方程表达式基本方程表达式基本方程基本方程平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程物理方程物理方程平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题基本未知量基本未知量注：注：机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室表表3 3 平面问题的三类边界条件平面问题的三类边界条件位移边界条件位移边界条件应力边界条件应力边界条件混合边界条件混合边界条件在边界在边界 上上在边界在边界 上上 或或 ，在边界，在边界 上上 或或 在边界在边界 上上机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室弹性力学的主要解法弹性力学的主要解法l解析法解析法 应用数学分析方法求解微分方程，得出精确的函数解。

l变分法（能量法）变分法（能量法） 根据能量极值原理，导出变分方程，求解得出近似解答l差分法差分法 将微分方程和边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解l有限单元法有限单元法 将连续体变换为离散体结构，再将变分原理应用于离散化结构，将微分方程化为线性代数方程组，用计算机求解机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室l 位移法－－按位移求解位移法－－按位移求解在平面应力问题中，物理方程是在平面应力问题中，物理方程是求得应力分量求得应力分量位移法，应力法－－直接解题法位移法，应力法－－直接解题法机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室将几何方程将几何方程 代入，得代入，得再将上式代入平衡微分方程再将上式代入平衡微分方程简化后，得到用位移表示的平衡微分方程简化后，得到用位移表示的平衡微分方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室代入应力边界条件代入应力边界条件简化后，得到用位移表示的应力边界条件简化后，得到用位移表示的应力边界条件 对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将对于平面应变问题，须在上面的各个方程中将 E E 换为换为 ，将，将   换为换为机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室如图所示悬挂板，在如图所示悬挂板，在o o点固定，下端自由，材料点固定，下端自由，材料比重为比重为 ，试求该板的应力分量和位移分量。

试求该板的应力分量和位移分量一维问题一维问题v=0, u=v=0, u=u(xu(x), ), 泊松比泊松比μμ＝＝0 0 g g代入用位移表示的平衡微分方程代入用位移表示的平衡微分方程解出解出利用边界条件利用边界条件得出得出所以所以机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 将平面问题几何方程中将平面问题几何方程中 x x对对 y y的二阶导数和的二阶导数和 y y对对x x的的 二阶导数相加，得到二阶导数相加，得到l 应力法－－按应力求解应力法－－按应力求解— 变形协调方程或相容方程变形协调方程或相容方程 对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到对于平面应力问题，将物理方程代入变形协调方程，得到 利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之利用物理方程将变形协调方程中的应变分量消去，使之只包含应力分量（基本未知函数）只包含应力分量（基本未知函数）机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不利用平衡微分方程，将上式简化为只包含正应力而不包含剪应力。

将平衡微分方程写成如下形式包含剪应力将平衡微分方程写成如下形式 将前一方程对将前一方程对x x求导，后一方程对求导，后一方程对y y求导，然后相加，并注意求导，然后相加，并注意得得代入，简化后，得到代入，简化后，得到平面应力问题平面应力问题的相容方程的相容方程将将   换为换为 ，可得到，可得到平面应变问题平面应变问题的相容方程的相容方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室l 小结小结ü 按位移求解平面应力问题按位移求解平面应力问题位移分量须满足位移分量须满足Q 边界条件边界条件在在 上上在在 Su Su 上上Q 平衡微分方程平衡微分方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 对于按位移求解平面应变问题，须在上面的平衡微分对于按位移求解平面应变问题，须在上面的平衡微分方程和边界条件中将方程和边界条件中将 E E 换为换为 ，将，将   换为换为ü 按位移求解平面应变问题按位移求解平面应变问题求出位移分量后，用几何方程求得应变分量求出位移分量后，用几何方程求得应变分量然后用右式求得应力分量。

然后用右式求得应力分量机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室ü 按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题应力分量须满足应力分量须满足Q 边界条件边界条件在在 上上Q 平衡微分方程平衡微分方程Q 相容方程相容方程机自学院安全断裂分析研究室机自学院安全断裂分析研究室 对于按应力求解平面应变问题，须在上面的相容方程对于按应力求解平面应变问题，须在上面的相容方程中将中将  换为换为 ü 按应力求解平面应变问题按应力求解平面应变问题求出应力分量后，用物理方程求得应变分量求出应力分量后，用物理方程求得应变分量然后对几何方程积分求得位移分量，并使其满足位移边界条件然后对几何方程积分求得位移分量，并使其满足位移边界条件在在 Su Su 上上。