中学数学的最值问题.doc

第 1 页 共 12 页ab 2一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如 x∈[m，n],则 f（m），与 f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值2）求二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在[m,n]上的最值时，先判定对称轴 x= - 是否属于[m,n]，若 x=- ∈[m,n],则 f(m) , f(n) ,f(- 中较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则 f(m)与 f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数 f(x)2ax2+bx+c 的定义域为R，当 a>0 时，有最小值 ymn= ,岂 a0∴f(x)在[1，+∞]上是增函数∴f(x)在区间[1，+∞]上的最小值是f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法（1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx≤1 -1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值例 4，已知 R0 b>0 ∴(a-b)2>0 0≤sin2x≤1∴当 sinx=±1,即 x= + (k∈z)时 ymax=2b2a 当 sinx=0,即 x= (k∈z)时，ymin= +ab(2)利用三角函数的单调性如果 f(x)在[α,β]上是增函数，则 f(x)在[α，β]上有 f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果 f(x)在[α,β]上是减函数，则 f(x)在[α,β]上有最大值 f(x)，最小值 f(β).例 6，在 0≤x≤ 的条件下，求 y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x 的最大值和最小值。

解：用二倍角公式及变形公式有：y= -2sinx-3=2(cos2x-sinx)-1=2(cos2xcos -sin2xsin )-12=2cos(2x+ )-12∵0≤x≤ ∴ ≤2x+ ≤ 由余弦函数的单调性知：cos(2x+ )在[0， ]上是减函数，故岂x=0 时有最大值 ，当 x= 时有最小值-1cos(2x+ )在[ ， ]上是增函数，故当 x= 时，有最小值-1,2k 22k222cos1x 22cos1x4 442 4 4 454 832283483 2832 22第 4 页 共 12 页当 x= 时有最大值- 综上 当 x=0 时 ,ymax=2× -1=12当 x= 时 ,ymin=2x(-1)-1=2-122（3）用换元法求三角函数的最值利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，例 7，求 f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x 的最大值和最小值。

解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x =(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令 t=sinxcosx=sin2x 则-≤t≤21 21 21∴f(t)=1+2t-t2=-(t-t)2+2 (-≤t≤)21 21当 t=,即 x=kπ+(k∈z)时,f(x)max=f(t)max= 21 4 47当 t=- ,即 x= kπ+(kπ∈z)时,f(x)min=-2143 41∴f(x)max= f(x)min=-47 41三、用均值定理求最值1、均值定理的构成的注意事项二元均值不等式：≥（a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号）2ba ab三元均值不等式：≥（a>0,b>0，c>0,当且仅当 a=b=c 时3cba 3abc2283第 5 页 共 12 页取等号） n 元均值不等式：≥(a1＞0,a2＞0…an＞0，当且naaanL21 nnaaaL21仅当 a1=a2=…=an时取不等号)在运用均值不等式求最值时应注意以下三点：i>函数解析式中各项均为正数。

ii>函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值iii>含变数的各项均相等时才能取得最值2、均值定理在求函数最值中的应用例 8、解答下列各题（1）求函数 y=x2+(x>0) 的最小值44 x（2）求函数 y=2x2+(x>0)的最小值 x4（3）求函数 y=6x2-3x3(00 时，则当2baab且仅当 a=b 时，a+b 有最小值，若 a+b 为常数 n>0，则当且仅当 a=bm2时，有最大值，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”2n解：（1）∵y=x2+=++≥=344 x22x 22x 44 x34 224223xxx∴当且仅当=，即 x=(∵x>0)时，ymin=322x 44 x2(2)∵x>0 ∴2x2>0 >0x2∴y=2x2+=2x2++≥=6x4 x2 x2322223xxx∴当且仅当 2x2=,即 x=1 时，ymin=6x2第 6 页 共 12 页(3)∵y=6x2-2x3=2x2(3-x)∵00 >02x∴y=8··(3-x)≤8×=82x 2x33)3(22xxx当且仅当=3-x,即 x=2 时，ymax=82x(4)∵00 1-x2>0 ∴x(1-x2)>0∵y2=x2·(1-x2)2=·2x2(1-x2)(1-x2) 21≤==33)1()1(2 21222 xxx274当且仅当 2x2=1-x2,即 x=时，y2有最大值。

33 274∴当 x=时，ymax=33 932（5）y=xxxx cossin2sin81cos2122=cotx+4tanx∵00 tanx>02∴y=cotx+4tanx≥=4xxcottan42当且仅当 4tanx=cotx 即 x=aintan时，ymin=4213、运用均值定理解应用题例 9：学校食堂定期从某粮店以每吨 2000 元价格购进大米，每次购进大米需支付运输费 100 元，已知食堂每天需用大米 1 吨，贮存大米的费用为每吨每天 2 元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？第 7 页 共 12 页（2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于 20 吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由解：（1）设每隔 x 天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米 x 吨，从而库存总费用为 2[x+(x-1)+……+2+1]=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为 y,则y1=[x(x+1)+100]+2000=x++2001≥2+2001=2021x1 x100 xx100当且仅当 x= 即 x=10 时取等号。

x100∴每隔 10 天购出一项，才能使每天所付费用最少2）设能接受优惠条件，则至少每隔 20 天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为 y2 元，则y2=[t(t+1)+100]+2000×95%=t++1901t1 t100由于 t=10 不在函数定义域内，教不能使用均值定理令 f(t)=t++1901 (t≥20) t100设 t1 ,t2∈[20 ,+∞)且 t1>t2则 f(t2)-f(t1)=t2-t1+=(t2-t1)(1-)12100100 tt12100 tt=∵t2>t1≥20 ∴t2－t1>0 t2t1-100>0 t2t1>0∴f(t2)-f(t1)>0 即 f(t2)>f(t1)∴f(t)在[20，+∞]上是增函数∴当 x=20 时，y2取得最小值 1926 元而 1926＜2021，故该食堂可接受优惠条件四、运用线性规划求最值121212)100)(( tttttt第 8 页 共 12 页运用线性规划求最值就是求线性目标函数性约束条件下的最优解，从而求出最值，无论此类问题是以什么实际问题提出，其解题格式步骤基本不变：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数。

2）由二元一次不等式表示出平面区域（即可行域）（3）在可行域内求目标函数的最优解，从而求出最值（求是优解时，主要由图形得出，故应准确作图）例 10、 （2005 年福建）非负实数 x、y 满足则 x+3y 的03042yxyx最大值为__________解：约束条件所围成的区域， 如图所示，将目标函数 z=x+3y 从左向右平移，最后经过的点是（0，3）∴x+3y 的最大值为 0+3×3=9例 11、 （2004 年江西）设实数 x,y 满足则的最大值是______________.xy解：画出约速条件所围成的区域，如图所示，03204202xyxyx第 9 页 共 12 页令 =k，则 K 的最大值即为过原点且过可行域内的一点的直线xy中，斜率的最大值∴由图形知，直线过点 A（1，）时 Kmax=23 23例 2，已知 试求（x+1）2+(y+1)2的最大值、最小值，及取得最大、最小值时 x、y 的值解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，其区域的顶点 A（2，1），B（3，4），C（1，3）而（X+1）2+（y+1）2表示可行域内的动点 M（x , y）与定点 P（-1，-1）的距离的平方，过点 P 作 AC 的垂线，垂足不在可行域内，由图可知，只有当 x=2 ,y=1 时， （x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最小值为 13，当x=3.y=4 时， （x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最大值为 41。

五、运用构造求最值构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决1、构造距离解题例 13、求函数 y=+522 xx的最小值222 xx解：原函数可变形为：y=052053052yxyxyx第 10 页 共 12 页2222) 10() 1()20() 1(xx∴函数 y 的值可看作点 P（x ,o）到点 A（1，2）与点 B（-1，1）的距离之和，而点 P（x ,0）为 x 轴上的点即在 x 轴上取点 P 使|PA|+|PB|为最小如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B′（-1，-1）连结 AB′交 x 轴于点 P，则 PA+PB=AB′∴ymin=AB′=13) 12() 11 (222、构造向量例 14、已知：a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=1其中 a、b、c、x、y、z 均为实数，求 ax+by+cz 的最大值与最小值解：构造向量 a=(a、b、c)、b=（x、y、z）由题设引知：|a|2=1， |b|2=1设＜a ，b ＞=2，则 α∈[o，π]且 又∵1cos∴-1≤ax+by+cz≤1即 ax+by+cz 的最大值为 1，最小值为-13、构建圆锥曲线例 15：已知 ABC 的周长 C=16cm BC=6cm求 ABC 面积的最大值解：BC 的长为定值，点 A 到点 B 与 C 的距离之和也为定值，故点A 在以 B、C 为焦点、焦距 2C=6cm，长轴长 2a=10cm 椭圆上，czbyaxbacosbaba第 11 页 共 12 页c=3，a=5，b=4由-byb 。