第三章311空间向量及其加减﹑数乘运算.ppt

第三章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算3．1．1 空间向量及其加减﹑数乘运算1．掌握空间向量相关的概念、几何表示法、字母表示法．2．了解共线(平行)向量、共面向量的定义．3．掌握空间向量的加减、数乘运算及运算律，共线向量、共面向量的表示法．4．理解共线、共面向量定理及其推论，并能利用它们证明空间向量的共线、共面问题．1．空间向量．在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量．向量的__________叫做向量的长度或模．大小 方向 大小 2．向量的表示法(如图 3－1－1)．(1)几何表示法：用______________表示.(2)字母表示法：用一个字母表示．如图 3 －1 －1 ，此向量的起点是 A ，终点是 B ，可记作________，也可记作________，其模记为________或________．图 3－1－1有向线段 a |a| 是________．当有向线段的起点A与终点B重合时，AB＝0.3．零向量．长度为______的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向→4．单位向量．模长为________的向量．5．相反向量．与向量 a 的______相等而__________相反的向量，称为 a的相反向量，记作－a.0 任意的 1长度 方向 6．相等向量．__________相同且________相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．图 3－1－2方向 模 OB＝____________＝__________；CA＝____________＝__________.7．类似于平面向量，定义空间向量的加减运算(如图 3－1－2)．→→a＋b a－b 8．空间向量的加法运算律．(1)交换律：_________________.(2)结合律：___________________.9．向量的数乘．实数λ与向量 a 的积仍然是一个向量，记作______，称为向量的数乘．长度是_____________．当λ>0 时，λa 与向量a的方向________；当λ<0 时，λa 与向量 a 的方向________；当λ＝0时，λa＝________.a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) λa |λ|·|a| 相同 相反 0 11．共线向量．如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________________，则这些向量叫做共线向量或__________．12．共线向量定理．对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使__________，称此为共线向量定理．注意：b≠0 不可丢掉，否则实数λ就不一定存在．(1)分配律：__________________.(2)结合律：__________________.10．数乘运算律．λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a平行或重合平行向量 a＝λb13．共面向量．________________________叫做共面向量．空间任意两个向量______________．14．共面向理定理．如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是：_______________________________________.称此为共面向量定理．平行于同一平面的向量 总是共面的存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb【要点1】正确理解空间向量的概念．【剖析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正数或 0，是可以进行比较大小的．由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的，比如可以说|a|>|b|，但不能说 a>b.(2)在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量等概念与平面向量中相对应的概念完全一致．【要点2】向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是什么？【剖析】对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．【要点3】空间向量的数乘运算．【剖析】空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据定义来判断它的方向和大小．向量 a 的模可以扩大(当|λ|>1时)，也可以缩小(当|λ|<1 时)；向量 a 的方向可以不改变(当λ>0时)，也可以改变(当λ<0 时)．实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如λ＋a，λ－a 是没有意义的．【要点4】共线向量与共面向量．【剖析】对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)，共线向量定理可分解为以下两个命题：①a∥b⇒存在唯一实数λ使 a＝λb；②存在唯一实数λ，使得 a＝λb⇒a∥b.对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．三个非零向量 a，b，c，其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数 l，m，n，使 la＋mb＋nc＝0.题型1 空间向量的线性运算例1：如图 3－1－3，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有()A．1 个C．3 个B．2 个D．4 个图 3－1－3思维突破：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可以转化成加法，也可以按减法法则进行运算．答案：DACD＝7a－2b，则一定共线的三点是(题型2 共线问题→)A．A，B，DC．B，C，DB．A，B，CD．A，C，D思维突破：证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两个向量中，一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘形式．答案：A(1)OB＋OM＝3OP－OA；(2)OP＝4OA－OB－OM.题型3 共面问题例3：对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列条件下，点 P 是否与点 A，B，M 一定共面？→ → → →→ → → →思维突破：要证明四点共面，可以根据共面向量定理证明其中任意两个点所构成的向量共面，从而得到四点共面．【变式与拓展】A．有相同起点的向量C．共面向量B．等长的向量D．不共面向量C。