和倍差倍及和差问题.doc

小学奥数：和倍、差倍及和差问题（适合四至六年级学生自学）第一讲和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系， 求大小两个数的应用题为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径例1•甲班和乙班共有图书 160本甲班的图书本数是乙班的 3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析：设乙班的图书本数为 1倍数，则甲班图书为 3倍数，那么甲班和乙班图书本数的和是 4倍数4倍数的数量是160本，可以求出1倍数，即乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数用下图表示它3傾厂 八 、＞ LGO们的关系： 1解：160“ （3+1 ）= 40 （本）”，”， 乙班40 3 = 120 （本）或 160-40= 120 （本）”,,，”” 甲班答：甲班有图书120本，乙班有图书 40本这道应用题答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是 160本：再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍如果与条件相符，表明这题作对了注意验算决不是把原式再算一遍验算：120+40 = 160 （本）120 "40= 3 （倍）例2•甲班有图书120本，乙班有图书 30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 2倍?分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。

从已知条件中得出，不管甲班给乙班多 少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变 _的量最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总 丨 丨I和相当于乙班现有图书的 3倍依 - -倬电据例1解和倍问题的方法，先求出 31 f 纵乙班现有图书多少本，再与原有图 | | |书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（如上图所示）解：（30+120） （2+1 ） = 150亠3 -=50 （本），,,,,，乙班现有图书50-30= 20 （本）答：甲班给乙班 20本图书后，甲班图书是乙班图书的 2倍验算：（120 — 20） " （ 30+20 ）= 2 （倍） （120 — 20） + （ 30+20 ）= 150 （本）例3•光明小学有学生 760人，其中男生比女生的 3倍少40人，男、女生各有多少人？分析：把女生人数看作 1倍数， 则男生人数加上40是3倍数，那么全校人数加上 40就是4倍数（见 .「 $ 人 、、 \I 1 * .图） n I ■解：（760+40） “ （ 3+1 ）= 200 I I （人）”,，女生200 3- 40= 560 （人）或 760- 200 = 560 （人），”，”，”， 男生答：男生有560人，女生有200人。

验算：560+200 = 760 （人）（560+40） “ 200= 3 （倍）552棵桃树比梨树的 2倍多12棵，苹果树比梨树少 20棵，求例4•果园里有桃树、梨树、苹果树共 桃树、梨树和苹果树各有多少棵？分析：把梨树看作 1倍数，则（桃树—12）是2倍数，（苹果树+20） 是1倍数那么（552 — 12+20 ）就 是（2+1+1 ）倍数，可以求出1倍数如图）解：（552— 12+20） “ （2+1+1）=560亠4= 140 （棵）”梨树140 2+12 = 292（棵）,,,,,,,,,, 桃树140— 20= 120（棵）”，”,，”， 苹果树答：桃树、梨树、苹果树分别是 292棵、140棵和120棵例5.549是甲、乙、丙、丁 4个数的和如果甲数加上 2，乙数减少2,丙数乘以2，丁数除以2以后,则4个数相等求4个数各是多少？分析：右图可以看出，丙数取小由于丙数乘以 2和丁数除以 2 相等 也就是丙数的 2P倍数 A ^yv/1'少、j I n j j I i-i ? 1_-4 x1 1 J倍和丁数的半相等，即丁数相当于丙数的4倍乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙1 ji 口1 i1 1的2倍。

根据这些倍数关系，可以先求出丙数，LJ2再分别求出其他各数■ 7%解：(549+2 — 2) 一：一 (2+2+1+4 )=549 9i i4 二 <■*(=61,,,,丙数（ 1倍数）1 IIi j—■61 2 — 2=120,,,,,,,,,,,,,,,, 甲数61 2+2 = 124,,,,,,,,,,,,,,,,乙数61 4= 244,,,,,,,,,,,,,,,,,丁数答：甲、乙、丙、丁分别是 120、124、 61、244验算：120+124+61+244 = 549120+2=122 124— 2=12261 2 = 122 244 "2= 122小结：禾U用关键字“是”和“比”设 1倍数解题什么方便一般是设“是”或“比”后面的量为 1倍数如例1中“甲班的图书本数是乙班的 3倍”，“是”后面的量是乙班的图书本数，因些设乙班的图书本 数为1倍数；例2中“甲班的图书是乙班图书的 2倍”,设乙班图书本数为 1倍数；例3中“男生比女生 的3倍少40人”,“比”后面的量是女生人数，因些设女生人数为 1倍数；例4中“桃树比梨树的2倍多12棵”，设梨树为1倍数后面将会学到的差倍问题也是利用关键字“是”和“比”设 1倍数。

和倍问题习题1. 小明和小强共有图书 120本，小强的图书本数是小明的 2倍，他们两人各有图书多少本？2. 果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的 3倍多20棵，两种树各种了多少棵?3. 一个长方形，周长是 30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积4. 甲水池有水2600立方米，乙水池有水 1200立方米，如果甲水池里的水以每分钟 23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池中的水是甲水池的 4倍？5. 甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶 油的2倍？6. 有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长 7米，第二条比第三条长 8米，问3条绳子各长多少米？和倍问题习题解答1. 小明的本数：120" （2+1 ）= 40 （本）小强的本数：20 2= 80 （本）2. 杏树：（340- 20） -■■ （ 3+1 ）= 80 （棵）桃树：80 3+20= 260 （棵）3. 宽：（30亠2） " （2+1 ）= 5 （厘米）长：5 2 = 10 （厘米）面积：10 5= 50 （平方厘米）4. 乙两水池共有水：2600+1200 = 3800 （立方米）。

甲水池剩下的水：3800亠（4+1 ）= 760 （立方米）甲水池流入乙水池中的水： 2600 — 760= 1840 （立方米）经过的时间（分钟）：1840-：-23= 80 （分钟）5. 乙两桶油总重量：470+190 = 660 （千克）当甲桶油是乙桶油 2倍时，乙桶油是：660" （2+1 ）= 220（千克）由甲桶倒入乙桶中的油： 220 — 190 = 30 （千克）6. 变化后的绳子总长：95— 7+8 = 96 （米）第二条绳子长：96" （1+1 + 1） = 32 （米）第一条绳长：32+7 =39 （米）第三条绳子长：32 — 8 = 24 （米）第二讲差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析问题具体、形象，使我们能比较顺利地解 答些类应用题下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到 1倍数，再画图确定解题方法被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍数，然后求出另一个数，最后答题和验算例1.甲班的图书本数比乙班多 80本，甲班的图书本数是乙班的 3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析：如右图：把乙班的图书本数看作1倍数，则甲班的图书本数是 3倍数， -那么甲班的图书本数比乙班多 2倍数。

又 知“甲班的图书比乙班多 80本”，即2倍数与80本相对应，可以理解为 2倍数 | | |是80,这样可以算出1倍数是多少本最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本解：80“（ 3— 1）= 40 （本）”，”， 乙班40 3 = 120 （本）或 40+80 = 120 （本）,,,, 甲班 答：甲班有图书120本，乙班有图书 40本验算：120 — 40= 80 （本）120 "40= 3 （倍）例2.菜站运来的白菜是萝卜的 3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析：这样想：根据“菜站运来的白菜是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量 -看作1倍数；“卖出白菜1800千克，萝卜 300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相 ；等”，说明运来的白菜比萝卜多 1800 — 300 ' . . ' =1500 （千克）从右图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的 3— 1 = 2 （倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克解：（1800 — 300） “ （3 — 1）= 750 （千克）”,，萝卜 750X3= 2250 （千克）,,,,,,,,,,,, 白菜答：菜站运来白菜 2250千克，萝卜750千克。

验算：2250 — 1800= 450 （千克）”,，（白菜剩下部分）750 — 300= 450 （千克），,,,，（萝卜剩下部分）例3•有两根同样长的绳子， 第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的 3倍,两根绳子原来各长多少米？分析：如图所示，两根绳子原 来的长度一样长，但是从第一根截 去12米，第二根绳子又接上 14米 后，第二根的长度是第一根的 3倍应该把变化后的第一根长度看作 1倍数，而12+14= 26 （米），正好是 2倍数所以，当从第一根截去 12米后剩下的长度可以求出来了，那 么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了解：（12+14）：- （3 — 1）= 13 （米），”，（ 1倍数，即第一根截去 12米剩下的长度）13+12 = 25 （米）,,,,,,,,,,, （两根绳子原来的长度）答：两根绳子原来各长 25米自己进行验算，看答案是否正确另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系用除法求出 1倍数，再求其它数量解题规律：差“倍数的差=1倍数例4•三（1）班与三（2）班原有图书数一样多。

后来，三（ 1）班又买来新书 74本，三（2）本从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多 少本？i它分析：如图所示：两个班原有图书 一样多后来三（1）班又买新书74本， 即增加了 74本；三（2）班从本班原有 图书中取出96本送给一年级同学，则图 书减少了 96本结果是一个班增加，另 一个班减少，这样两个班图书就相差 96+74 = 170 （本），也就是三（1）班比 三（2）。