三角形证明题集锦.ppt

八年级数学（上）几何证明练习题八年级数学（上）几何证明练习题1、已知：在、已知：在⊿⊿ABC中，中，∠∠A=90度，度，AB=AC，在，在BC上任取一点上任取一点P，作，作PQ∥∥AB交交AC于于Q，作，作PR∥∥CA交交BA于于R，，D是是BC的中点，求证：的中点，求证：⊿⊿RDQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形 2、、已知：在已知：在⊿ ⊿ABC中，中，∠ ∠A=900，，AB=AC，，D是是AC的中点，的中点，AE⊥ ⊥BD，，AE延长线交延长线交BC于于F，求证：，求证：∠ ∠ADB=∠ ∠FDC3、、已知：在已知：在⊿ ⊿ABC中中BD、、CE是高，在是高，在BD、、CE或其延长线上分别截取或其延长线上分别截取BM=AC、、CN=AB，，求证：求证：MA⊥ ⊥NA4、、已知：如图已知：如图(1)，在，在△△ABC中，中，BP、、CP分别平分分别平分∠ ∠ABC和和∠ ∠ACB，，DE过点过点P交交AB于于D，交，交AC于于E，且，且DE∥ ∥BC．求证：．求证：DE－－DB=EC．．5、在、在Rt△△ABC中，中，AB＝＝AC，，∠∠BAC=90°，，O为为BC的中点。

的中点1)写出点写出点O到到△△ABC的三个顶点的三个顶点A、、B、、C的距离的大小关系的距离的大小关系(不要求证明不要求证明)；；(2)如果点如果点M、、N分别段分别段AB、、AC上移动，在移动中保持上移动，在移动中保持AN＝＝BM，请判断，请判断△△OMN的形的形状，并证明你的结论状，并证明你的结论ABCOMN6、如图，、如图，△△ABC为等边三角形，延长为等边三角形，延长BC到到D，延长，延长BA到到E，，AE=BD，，连结连结EC、、ED，求证：，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形、如图，等腰三角形ABC中，中，AB＝＝AC，，∠ ∠A＝＝90°，，BD平分平分∠ ∠ABC，，DE⊥ ⊥BC且且BC＝＝10，求，求△△DCE的周长几何证明习题答案几何证明习题答案1. 连接接AD,由由△△ABC为为等腰直角三角形等腰直角三角形可得可得AD垂直垂直AC,且且AD=BD,∠ ∠DAQ=∠ ∠DBR=45度度,又由平行关系得又由平行关系得,四边形四边形RPQA为矩为矩形形,所以所以AQ=RP,△△BRP也是等腰直角三角行也是等腰直角三角行,即即BR=PR,所以所以AQ=BR由由边角角边,△△BRD全等于全等于△△AQD,所以所以∠ ∠BDR=∠ ∠ADQ,DR=DQ,∠ ∠RDQ=∠ ∠RDA+∠ ∠ADQ=∠ ∠RDA+∠ ∠BDR=90度度,所以所以△△RDQ是等腰是等腰RT△△。

2. 作作AG平分平分∠ ∠BAC交交BD于于G∵∠∵∠BAC=90° ∴∠∴∠CAG= ∠ ∠BAG=45°∵∠∵∠BAC=90° AC=AB ∴∠∴∠C=∠ ∠ABC=45°∴∠∴∠C=∠ ∠BAG ∵ ∵AE⊥ ⊥BD ∴∠∴∠ABE+∠ ∠BAE=90° ∵∠∵∠CAF+∠ ∠BAE=90° ∠ ∠CAF=∠ ∠ABE∵ ∵ AC=AB ∴△∴△ACF ≌△≌△BAG∴ ∴CF=AG ∵∠∵∠C=∠ ∠DAG =45° CD=AD∴△∴△CDF ≌△≌△ADG ∴∠∴∠CDF=∠ ∠ADB 3. 易易证△△ABM≌△≌△NAC．．∠ ∠NAM＝＝∠ ∠NAE＋＋∠ ∠BAM＝＝∠ ∠NAE＋＋ANE＝＝90°4.∵ ∵BP CD分别平分角分别平分角∠ ∠ABC和和∠ ∠ACB∴ ∴∠ ∠DBP=∠ ∠PBC∠ ∠ECP=∠ ∠PCB∵ ∵DE∥ ∥BC∴ ∴∠ ∠DPB=∠ ∠PBC∠ ∠EPC=∠ ∠ PCB∴ ∴DP=DP EP=EC ∴ ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴ ∴DE-DB=EC5.（（1）因）因为直角三角形的斜直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以中点是三角形的外心，所以 O到到△△ABC的三个顶点的三个顶点A、、B、、C距离相等；距离相等；（（2））△△OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形。

证明：明：连接接OA，如图，，如图，∵ ∵AC=AB，，∠ ∠BAC=90°，， ∴ ∴OA=OB，，OA平分平分∠ ∠BAC，，∠ ∠B=45°，，∴∠∴∠NAO=45°，， ∴∠∴∠NAO=∠ ∠B，，在在△△NAO和和△△MBO 中，中， AN=BM ，，∠ ∠NAO=∠ ∠B ，，AO=BO ，，∴△∴△NAO≌ ≌ △△MBO，， ∴ ∴ON=OM，，∠ ∠AON=∠ ∠BOM，，∵ ∵AC=AB，，O是是BC的中点，的中点， ∴ ∴AO⊥ ⊥BC，，即即∠ ∠BOM+∠ ∠AOM=90°，， ∴∠∴∠AON+∠ ∠AOM=90°，，即即∠ ∠NOM=90°，， ∴△∴△OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形．． 6. 延延长CD到到F，使，使DF=BC，，连结EF ∵ ∵AE=BD ∴ ∴AE=CF ∵ ∵△△ABC为正三角形正三角形 ∴ ∴BE=BF ∠ ∠B=60° ∴ ∴△△EBF为=等等边三三角形角形 ∴ ∴角角F=60° EF=EB 在在△△EBC和和△△EFD中中 EB=EF（已（已证）） ∠ ∠B=∠ ∠F（已（已证）） BC=DF（已作）（已作） ∴ ∴△△EBC≌ ≌△△EFD（（SAS）） ∴ ∴EC=ED 7. ∵ ∵DE⊥ ⊥BC∴ ∴∠ ∠DEB=90∵ ∵BD平分平分∠ ∠ABC在直角三角形在直角三角形ABD和直角三角形和直角三角形DBE中中 ∠ ∠A=∠ ∠DEB BD=BD ∠ ∠ABD=∠ ∠DBE∴ ∴直角三角形直角三角形ABD全等直角三角形全等直角三角形DBE ∴ ∴BE=AB AD=DE ∵ ∵AB=AC∴ ∴BE+CE=AC+CE △△DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10例例1（（6分题）：如图，已知分题）：如图，已知∠ ∠B=∠ ∠C=90°，，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分∠ ∠ADC。

1）若连接）若连接AM，则，则AM是否平分是否平分∠ ∠BAD？请你证明你的结论请你证明你的结论2））DM与与AM有怎样的位置关系？请说明理由有怎样的位置关系？请说明理由3）求证：）求证：AD＝＝AB+CD练练2（（6分题）分题） ：如图，：如图，AB∥∥CD，，DE平分平分∠∠ADC，，AE平分平分∠∠BAD，求证：，求证：AD=AB+CD例例3（（6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知∠∠B=∠∠C=90°，，M是是BC的中点，的中点，DM平分平分∠∠ADC求证：AD＝＝AB+CD 练练4（（6分题）分题） ：如图，已知在：如图，已知在△△ABC中，中，AB=CD，，∠∠BDA=∠∠BAD，，AE为为△△ABD的的BD边上边上的中线，求证：的中线，求证：AC=2AE练练2 （（6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知AB∥ ∥CD，，AD与与BC相交于相交于F，，BE平分平分∠ ∠ABC，，E为为AD的中点，的中点，问：问：AB、、BC和和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简写成简写成“等角对等边等角对等边”）。

例例3（（9分题）：如图，已知在有公共顶点的分题）：如图，已知在有公共顶点的△△OAB和和△△OCD中，中，OA=OB，，OC=OD，且，且∠∠AOB=∠∠COD1）求证：）求证：CA=BD（（2）若将）若将△△OCD绕点绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、、C、、D在同一条直线上时，问（在同一条直线上时，问（1））中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由练练4 （（9分压轴题）分压轴题） ：如图：如图①①，，OP是是∠∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题称轴的全等三角形请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（（1）如图）如图②②，在，在△△ABC中，中，∠∠ACB是直角，是直角，∠∠B=60°，，AD、、CE分别是分别是∠∠BAC、、∠∠BCA的平分线，的平分线，AD、、CE相交于点相交于点F请你写出出FE与与FD之间的数量关系之间的数量关系。

2）如图）如图③③，在，在△△ABC中，如果中，如果∠∠ACB不是直角，而（不是直角，而（1）中的其它）中的其它条件不变请问：你在（条件不变请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由3）你还能得出什么结论？请给出证明你还能得出什么结论？请给出证明 ①① ②② ③③练练5（（9分题）：已知，如图分题）：已知，如图①①，在，在△△ABC中，中，AD平分平分∠∠BAC，，DE⊥⊥AB与与E，，DF⊥⊥AC与与F1）求证：）求证：AD⊥⊥EF（（2）如图）如图②②、、③③，当有一动点，当有一动点G在在AD所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时所在的直线上运动，其余条件不变，那么，这时EF⊥⊥AD的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由的结论是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

①① ②② ③③练练6（（9分压轴题）：如图分压轴题）：如图①①，一个等腰直角三角尺，一个等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形的两条直角边与正方形ABCD的两的两条边分别重合在一起现正方形条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺保持不动，将三角尺GEF绕斜边绕斜边EF的中点（点的中点（点O也也是是BD的中点）顺时针方向旋转的中点）顺时针方向旋转1）如图）如图②②，当，当EF与与AB相交于点相交于点O，，GF与与BD相交于点相交于点N时，通过观察或测量时，通过观察或测量BM、、FN的长度，猜想的长度，猜想BM、、FN满足的数量关系，并证明你的猜想满足的数量关系，并证明你的猜想2）将三角尺）将三角尺GEF旋转到如图旋转到如图③③所示的位置时，线段所示的位置时，线段FE的延长线与的延长线与AB的延长线相交于点的延长线相交于点M，线段，线段BD的延长线与的延长线与GF的延长线相交于点的延长线相交于点N，此时（，此时（1）中的猜想还成立吗？若成立，）中的猜想还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由请给出证明；若不成立，请说明理由。

①① ②② ③③例例7（（6分题）分题） ：如图，要在燃气管道：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A、、B两镇供气两镇供气1）泵站）泵站C修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（修建在什么地方，可使所用的燃气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）（2）请你在）请你在（（1）的基础上，过）的基础上，过A点作点作AD⊥⊥l，并连接，并连接DB，求证：，求证：AD+DB＞＞AC+CB练练8 （（6分题）分题） ：如图，已知牧马营地：如图，已知牧马营地M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）草，最后回到营地，试着设计出最短的牧马路线（不写做法，保留作图痕迹）练练9 （（6分题）分题） ：如图，：如图，E、、F为为△△ABC的边的边AB、、AC上的两个定点，在上的两个定点，在BC上求作一点上求作一点D，，使使△△DEF的周长最短。

的周长最短例例10（（6分题）分题） ：如图，已知在：如图，已知在△△ABC中，中，DE垂直平分垂直平分BC，若，若△△ABC的周长为的周长为10，，BC=4，求，求△△ACE的周长练练11（（6分题）分题） ：如图，在：如图，在△△ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC，，AC=5，，△△ABD的周长为的周长为13，求，求△△ABC的周长练练12 （（6分题）分题） ：如图，等腰三角形：如图，等腰三角形ABC的周长为的周长为21，底边，底边BC=5，，DE垂直平分垂直平分AB，，求求△△BEC的周长例例13 （（6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知△△ABC，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出△△ABC关于直线关于直线l的对称图形的对称图形练练14（（6分题）分题） ：如图，已知：如图，已知△△ABC，请你用尺规作图画出，请你用尺规作图画出△△ABC关于直线关于直线l的的对称图形对称图形例例15（（7分题）：已知，分题）：已知，△△ABC和和△△ECD均为等边三角形，且均为等边三角形，且B、、C、、D三点在同一条直线三点在同一条直线上，求证：上，求证：（（1））BE=AD（（2））FG∥∥BD练练16 （（7分题）分题） ：已知：已知△△ABC和和△△ECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：AD=BE练练17 （（7分题）分题） ：如图，已知：如图，已知△△ABC和和△△ECD均为等边三角形，求证：均为等边三角形，求证：BE=AD练练18 （（7分题）分题） ：如图，已知四边形：如图，已知四边形ABCD和和ECFG均为正方形，求证均为正方形，求证：：（（1））DF=BE（（2））DF⊥⊥BE练练19 （（7分题）分题） ：如图，已知：如图，已知△△ADC和和△△BDE均为等腰直角三角形，求证：均为等腰直角三角形，求证：（（1））BC=AE（（2））BC⊥⊥AE练练20 （（7分题）分题） ：已知：已知△△ABC和和△△EDC均为等腰直角三角形，求证均为等腰直角三角形，求证（（1））AE=BD。

2））AE⊥⊥BD学法指津学法指津•角平分线加平行线构建等腰三角形角平分线加平行线构建等腰三角形•学习本课内容，要综合运用学习本课内容，要综合运用“等腰等腰三角形三线合一三角形三线合一”、、“等边对等角等边对等角”、、“等角对等边等角对等边”及及“等边三角等边三角形三条边相等、三个内角相等且三形三条边相等、三个内角相等且三个内角都是个内角都是60°”等定理，才能做出等定理，才能做出复杂图形题目复杂图形题目学法指津学法指津•全等三角形的复杂图形解题思路与基本图全等三角形的复杂图形解题思路与基本图形的解题思路一致解答复杂图形，要把形的解题思路一致解答复杂图形，要把复杂图形分解成基本图形进行解答，就会复杂图形分解成基本图形进行解答，就会觉得非常简单了觉得非常简单了•图形越复杂，条件越多，做起来越简单，图形越复杂，条件越多，做起来越简单，因为不用做辅助线；图形越简单，条件越因为不用做辅助线；图形越简单，条件越少，做起来越难，往往要通过画辅助线来少，做起来越难，往往要通过画辅助线来创造条件解决创造条件解决•解决复杂图形题目时，一般把已知条件在解决复杂图形题目时，一般把已知条件在图中描出来或标出来，这样有利于整理条图中描出来或标出来，这样有利于整理条件。

件小结小结 证明两条线段相等或角相等，如证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换用辅助线进行等量代换。