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Ø从积分和式到求积公式从积分和式到求积公式Ø插值型求积公式插值型求积公式Ø求积公式的代数精度求积公式的代数精度Ø复合梯形公式复合梯形公式ØMATLAB求积分命令求积分命令第五章 数值积分与数值微分椭圆周长计算椭圆周长计算:x =a cos t y =b sin t0≤ t ≤2椭圆积分椭圆积分x = a sinφ cosθy = b sinφ sinθz = c cos φ D= {(θ，，φ) |0 ≤ θ ≤ 2π, , 0 ≤ φ ≤ π } 思考题思考题: 椭球面的面积计算椭球面的面积计算1.椭球面积的积分表达式？椭球面积的积分表达式？2.对二重积分的计算问题？对二重积分的计算问题？3.三维体积的离散数据计算？三维体积的离散数据计算？积分和式的计算积分和式的计算: f (x)∈∈C[a, b]单增单增, 令令 h = (b – a)/n, xk = a + kh, (k = 0,1,2,···,n)近似计算近似计算ab f(x) 4.8612e+004 4.8660e+004 4.8683e+004 4.8695e+004 4.8701e+004 4.8704e+004 4.8706e+004 4.8707e+004 4.8707e+004 4.8803e+004 4.8755e+004 4.8731e+004 4.8719e+004 4.8713e+004 4.8710e+004 4.8709e+004 4.8708e+004 4.8708e+004 4.8708e+004ac=人造卫星的轨道长度计算人造卫星的轨道长度计算数值求积公式的一般形式数值求积公式的一般形式(机械求积公式机械求积公式)R[f ] 为数值求积公式余项为数值求积公式余项, x0, x1, ···, xn为为求积求积结点结点; A0, A1, ···, An为为求积系数求积系数. 矩形公式矩形公式: 取取A0 =(b – a )特别地，特别地， 时分别称为左矩公式，中时分别称为左矩公式，中矩公式，右矩公式。

矩公式，右矩公式梯形公式梯形公式: 取取A0 =A1 =(b – a )/2abSimpson 公式公式取取A0 = A3 =(b – a )/6，， A1 =2(b – a )/3，，插值型求积公式插值型求积公式: 在在 [a，，b]上取上取a≤ x0 < x1 < x2 < …… < xn≤b 作作Lagrange插值插值令令插值求积法插值求积法插值型求积公式的余项插值型求积公式的余项 例例2 梯形公式的误差余项梯形公式的误差余项即即例例3取取 x0 =a, x1 =0.5(a+b), x2 = b ,则则 h=0.5(b – a )A0= (b-a)/6A1=2(b-a)/3A2= (b-a)/6著名的著名的 Simpson 公式公式定义定义: 若一个求积公式对若一个求积公式对f(x)= xi(i=0,1,...,m)能精确成立，但对能精确成立，但对f(x)= xm+1不精确成立，则称不精确成立，则称该公式具有该公式具有m次代数精度次代数精度令机械求积公式对令机械求积公式对f(x)= xi(i=0,1,...,n)精确成精确成立，那么得线性方程组立，那么得线性方程组当节点当节点xk (k=0,1,...,n)给定且互异时，系数给定且互异时，系数Ak可由上式确定。

可由上式确定定理定理：：(n+1)个节点的求积公式为插值型的充个节点的求积公式为插值型的充要条件是该公式至少有要条件是该公式至少有n次代数精度次代数精度.例例4 确定公式确定公式 使代数精度尽可能高使代数精度尽可能高.类似有类似有: Simpson公式具有公式具有3阶代数精度阶代数精度 梯形公式梯形公式代数精度为代数精度为1例例. 矩形公式矩形公式 代数精度为代数精度为0解解: 取取f(x)= 1, x, x2 令求积公式准确成立令求积公式准确成立 A1 = 0求积公式求积公式具有至少具有至少2阶代数精度阶代数精度容易验证容易验证, 对对f (x) = x3 求积公式式不能准确求积公式式不能准确成立成立. 因此这一公式只具有因此这一公式只具有2次代数精度次代数精度 取等距结点取等距结点xj = a + jh时时,插值型求积公式称插值型求积公式称为为Newton-Cotes公式公式 定理定理: 当当n为偶数时为偶数时, n阶阶Newton-Cotes公式至公式至少有少有(n+1)阶代数精确度阶代数精确度 Newton-Cotes公式代数精度至少为公式代数精度至少为n复合梯形求积公式复合梯形求积公式 将积分区间将积分区间[a,b] n 等分等分.令令h=(b-a)/n . xj=a+jh取取递推，得递推，得给定允许误差界给定允许误差界ε>0,当当时，结束计算并以时，结束计算并以T2n作为定积分的近似值作为定积分的近似值. f=inline('sqrt((7782.5*sin(x)).^2+59621550*cos(x).^2)');t=0.25*pi*(f(0)+f(pi/2));n=1;h=pi/2;e=1;k=0; s=0.5*(t+h*sum(f(.5*h:h:pi/2))); e=abs(s-t);t=s; n=2*n;h=h/2;k=k+1end4*tans=4.8707e+004, (循环次数循环次数k= 2)复合梯形公式计算复合梯形公式计算将程序第二行改为将程序第二行改为t=0.5*pi*f(pi/2)用积分部分用积分部分和式和式计算计算,循环次数循环次数k=13f=inline('sqrt((7782.5*sin(x)).^2+59621550*cos(x).^2)');T=4*quad(f, 0, pi/2)Ans=4.8707e+004MATLAB求定积分命令求定积分命令quad(‘fun’, a, b)高阶求积分命令高阶求积分命令q = quad8('fun',a,b)重积分计算命令重积分计算命令dblquad('fun',inmin,inmax,outmin,outmax) 。