不等式恒成立问题.doc

学习好资料 欢迎下载不等式恒成立问题不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型， 涉及数学中各部分知识， 但主要是函数中的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题， 最常考的一种题型是： 已知不等式恒成立，求参数的取值范围，解决这类问题的基本方法是相同的， 首选方法是利用分离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时， 一般选择函数的方法，通常利用函数的最值解决在正式求解之前先解决两个问题：1怎么判断是恒成立问题？恒成立问题一般都有很明显的关键词，比如任意、所有、全、都、总、恒、均等2、如何区分主元和参数？恒成立问题一般会出现这样一句话： “对某个未知数在某个区间范围内恒成立” ，那么这个未知数就是主元，剩下的未知数就是参数函数性质法1、一次函数型给定一次函数 y = f (x) = kx • b( k = 0),若 y =可得上述结论等价于^f(m)>0」(n) >0同理，若在［m,n］内恒有f (x) <0 ,则有」(m) <0」(n) <0例 对于满足0岂p岂4的一切实数，不等式 x2 px 4x ^3恒成立，试求x的取值 范围.分析：习惯上把x当作自变量，记函数 y = x2 • ( p - 4)x • 3 - p，于是问题转化为： 当0,4 1时，y・0恒成立，求x的取值范围•解决这个等价的问题需要应用二次函数以 及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.解:设函数f ( p) =(x -1) p (x2 -4x 3)，显然x = 1，则f ( p)是p的一次函数，要使f ( p) .0恒成立，当且仅当 f (0) . 0，且f(4) 0时，解得 x的取值范围 是(,-1) (3,：：)-点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于 p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色.例 设函数f(x)=x3，若0 ••—时，f (ms in扪• f(1—m) .0恒成立，则实数 m的取值2范围 答案：(一：：,1]变式练习1、对于满足p兰2的所有实数p,求使不等式x2 + px+1>p+2x恒成立的x的取值范围。

2、 对任意a - [-1,1]，不等式x2，(a-4)x，4-2a 0恒成立，求x的取值范围解：令 f (a) =(x -2)a • x2 -4x • 4，则原问题转化为 f (a) • 0恒成立(a • [-1,1])当x=2时，可得f(a)=0，不合题意当x^2时，应有丿f(1)>°解之得xcl或x>3」(-1) >0故x的取值范围为(-：：,1) (3, •：：)3、 若函数 f(x)= x3 + 3x 对任意的 [ — 2, 2], f(mx- 2) + f(x)<0 恒成立，则 x€ 解析：由题意可知f(x)为奇函数，且在定义域内为增函数，-■f(mx— 2) + f(x)<0 可变形为 f(mx— 2)X2，可得 Xi +X2 >2，故 2xi 卡2 >4 >0 ,又 a 乞4，故 2Xi 'X2 a，即 2Xi 沁—a 0，所以 f (xj - f(x?)・0 , 即卩 f (Xi) . f (X2),故函数f (x)在[i,=)上是增函数. i0分(3)由 f(2x) [f(x)]2= 22x - 2^x ■ 22x 2a - 2^xa2u 2 "(a2 -a) 2a ：：0 i2 分i设 t =2^x，由 x [0,i]，可得 t [—,i]，由存在 [0,i]使得 f(2x) ・[f(x)]2 , 4i 2可得存在 t- [ ,i]，使得(a2「a)t 2a :: 0 , i4 分4i i令 g(t) =(a2 -a)t 2a ：：0，故有 g(—) (a2 -a) 2a ::: 0 或 g(i) = (a2 -a) 2a ：： 0 ,4 4可得-7 ： a :::0 •即所求a的取值范围是(-7,0). i6分函数性质法二次函数型设 f (x)二 ax2 bx c(a = 0),①f(x) -0在x・R上恒成立二a .0且—0; f(x) :: 0在x，R上恒成立二 a ：：0 且：：：0。

②若二次函数f(x)二ax2 bx(@=0).0 (或:::0)在指定区间上恒成立， 可以利用韦 达定理以及根的分布等知识求解2 2例 已知关于x的不等式(m・4m-5)x —4(m-1)x・3 ■ 0对一切实数x恒成立，求实 数m的取值范围.分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论. 解：(1)当m2 • 4m -5 = 0时，即m = 1或m 5 ,显然m = 1时，符合条件， 不符合条件；2(2)当m - 4m -5 = 0时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得■ ■ 2，解得 1 ：： m . 19 •m 4m -5 0,2 2.■: =16(m -1) -12(m 4m —5) ：：0综合(1)(2)得，实数m的取值范围为1,19 •例 已知函数f (x) = x2 • ax • 3-a，若x 1-2,2 1时，f(x)_0恒成立，求a的取值范解:令f (x)在I-2,2］上的最小值为g(a).7g(a)二 f (一2) = 7-3a_0 . a --又：a 423(1)当-—::-2，即 a 4 时，2.a不存在.(2) 当 _2 乞-—<2，即 一4^a 乞4 时，g(a)二 f(a)=-邑— a 3_02 2 4-6_a_2 又；"-4_a_4.—4Ea^2(3) 当2，即 a ：' -4 时，g (a)二 f (2) = 7 La _ 02a _ -7 又;a " —4 : - 7 笛 a >4综上所述，-7^a乞2.【此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与其相反的，轴动区间定】 提高练习(2012.长宁理.22)设函数f(X)二ax-(k-1)a^(a • 0且a = 1)是定义域为 R的奇函数.(1 )求k值；(2)若f (1) ：0，试判断函数单调性并求使不等式 f (x2 • tx) • f (4 - x) ：：： 0恒成立的t的取值范围； 解：(1 )T f(x)是定义域为R的奇函数,••• f (0)=0,••• 1 _(k -1) =0 ,k = 2.(2) f(x)=ax_a 公(a 0 且 a"),1Qf(1) ：：0,. a— ：0,又 a ■ 0,且 a",. 0 .. a :: 1aQ ax单调递减，a -单调递增，故f (x)在R上单调递减. 不等式化为2f (x tx) ：： f (x - 4)2 2.x tx x-4,即 x (t -1)x 4 0 恒成立，.■: =(t -1)2 -16 ::: 0 ,解得 3： t ：： 5 .函数性质法函数最值法若所给函数能直接求出最值，则有:f(x) 0恒成立f (x)min 0 (注：若f (x)的最小值不存在，则 f (x) 0恒成立f (x)的下界大于0 )； f(X 0：：恒成立匕f (x)max ::: 0 (注：若f (x)的最大值不存在，则f(x) < 0恒成立二f (x)的上界小于0)。

注】当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可 能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解由此看出，本类问题实质上是一类求函数 的最值问题2013理12)设a为实常数，y = f(x)是定义在R上的奇函数，当x：：：0时，2f(x)二9x — 7若f(x) -a 1对一切X-0成立，则a的取值范围为x分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端， 从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围，则有 (下面的■为参数为例)利用分离参数法来确定不等式 f x, ■ -0, ( D,-为实参数)恒成立中参数 ■的取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，即化为 g ■ - f x (或g • < f x )恒成立的形式；(2)求f x在x D上的最大(或最小)值;(3)解不等式g ［；. ］ ：：： f(X)max(或g，乞f Xmin),得，的取值范围适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出例(2006理，12)三个同学对问题"关于 x的不等式x2+25 + x3 _5x2 Z ax在［1,12］上 恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于 x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则a的取值范围为解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映、 2 3 2设 f(x)=x +25 + x -5x ,g(x)=ax・甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设 f (x )=x2 +25 + x3 _5x2 ,g (x ) = ax其解法相当于解下面的问题：对于 Xi “ Ll,121,禺「11,121,若f x,g x2恒成立，求a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目 1,121, f x _g x恒成立,求a的取值范围的要求不一致。

因而，甲的解题思路不能解决本题按照丙的解题思路需作出函数 f (x) = x2+25+|x3-5X2的图象和g(x)=ax的图象然而，函数f x的图象并不容易作出f { X \由乙的解题思路 ，本题化为 a在〔1,12〕上恒成立，等价于 x 1,12时，x鼻 _a 成立IL X -min由。