具时滞物价瑞利方程周期扰动hopf分支.pdf

学校代码：! 监盟 分类号：盟研究生学号：2 Q Q l 2 Q 婴!密级：玉 ⑦东牡峄菇戈季 硕士学位论文Y8 8 9 7 2 0具时滞的物价瑞利方程的周期扰动 H o p f 分支T h eP e r i O d i c a l l yP e r t u r b e dH O p fB i f h r c a t i o n ●l o rp r i c eR e y l e i g hE q u a t i o nw i t hd e l a y作者：曹忠威指导教师：学科专业：研究方向：学位类型：潘家齐教授应用数学动力系统学历硕士东北师范大学学位评定委员会2 0 0 6 年5 月A b s t r a c tI nt h i sp a p e rp e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dH o p fb i f u r c a t i o nt ot h eP r i c eR e y l e i g he q u a t i o nw i t ht i m ed e l a yi ss t u d i e di nd e t a i l ．T h a ti s ，乞h ei n f l u e n c eo fs m 出lp e r i o d i cp e r t u 小a t i o n so ns y s t e me x h i b i t i n gH o p fb i f u r c a t i o Ⅱi ss t u d i e d ．I np a r t i c u l a r ，t h ee x c i t a t i o nf r e q u e Ⅱc ya n dt h ec r i t i c 以n a t u r a lf r e q u e n c yo fH o p fb i f u r c a t i o ni nt h ec a s e so fh a r m o n i cr e s o -n a n c e ，s u b h a r m o n i cr e s o n a n c e ，u l t r a h a r m o n i cr e s o n a n c e ，a n du l t r a s u b h a r m o n i cr e s o n a n c ei sd i s c u s 8 e d ．I ti ss h o w nt h a ti ns o m ep a r a m e t e rr e g i o n st h es y s t e m se x h i b i th a r m o n i cs o l u t i o nb j f u r c a t i o n ，s u b h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o n ，u l t r a h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c 扣t i o n ，u l t r a s u b h a r m o n i cs o l u t i o nb i f u r c a t i o na n dq u a s i —p e r i o d i cs o l u t i o n ．F _ I l r t h e r m o r e ，t h es t a b i l i t yo fb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n si sd i s c u s s e d ．K e yw o r d s ：p r i c eR e y l e i 曲e q u a t i o n ，t i m ed e l a y ，H o p fb i f u r c a t i o n ，m e t h o do fa v e r a g i n 禹c e n t e rm a i n f o l d ，n o r m a lf o r m s ，h a r m o n i cs o I u t i o n ，s u b h a r m o n i cs o l u t i o n ，u l t r a h a r m o n i cs o _1 u t i o n ，u l t r a s u b h a r m o n i cs o l u t i o n ，q u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o nI I独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意学位论文作者签名：垒垒蠢日期：五D 6 、哂、迓学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：垦} 』皂醯指导教师签名：旌一鲎日期‘瞄：丛：丛日期：诬：丛：丛学位论文作者毕业后去向工作单位：通讯地址：：埕≤童堑型2 邮编：盘垡垃§1 引言物价的变化可以用微分方程来建模，好处是数学处理上比较方便，可以更为准确的反映物价变化的实际过程，反映物价变化的深层次规律性．2 0 世纪以来，随着人类社会经济的飞速发展，价格振荡现象引起了越来越多人的关注，并建立了一些价格的微分方程模型．周期扰动H 叩f 分支的研究开始于上世纪八十年代，首先以常微分方程为研究对象，所考虑的问题是；当一个非线性自治系统正经历着H 0 p f 分支时，给它加上小的外力周期扰动，研究此时系统的轨道产生鄂些新的变化．显然，这个问题在实际应用上还是在数学理论上都是很有意义的，因而引起不少学者的广泛注意，见文【l 】[ 2 】【8 ] 【9 1 ．本文主要研究具时滞的物价瑞利方程的周期扰动H 0 p f 分支，考虑的系统是笔磬山州+ 剐¨T ) 掣十础_ r ) 卅山i n u t + c ⋯t )( 1 1 )由文献1 3 1 我们知道，( 1 ．1 ) 可以写成如下形式：{ ∞) = 神) + 仰) 十；瞅壮x( 1 。

4 ) 化为j ±o ) 2V ( t ) + ；矿( 旬+ ；卢z 2 ( t ) + 7 t )( 1 ．6 )I 雪( 亡)= 一d z O —r )此时系统( 1 ．5 ) 和( 1 ．6 ) 以r 和7 为分支参数，在，y = 加( r ) 时存在H 0 p f 分支．本文主要研究系统( 1 ．3 ) 和( 1 ．4 ) 在经历H o p f 分支时，加上周期扰动所起的作用，即e ≠o 的情况．在预备知识中给出了有关调和解、次调和解、超调和解、超次调和解和拟周期解的定义．在第三节中表明，在某些参数区域中，系统( 1 ．1 ) 存在调和解、次调和解、超调和解和超次调和解分支，并讨论了分支解的稳定性以及拟周期解的存在性，所使用的主要方法是c - 空间分解法和积分平均法．2㈠H ( 一鑫蓑享1 ) 调和共振㈦+ 心蔫’) ( 2 ．t ，考虑点( v ) = ( 再，o ) ，显然它是P 的不动点，对应着( 2 ．1 ) 的频率为u 的周期解．由( 2 ．4 ) 和( 2 ．6 ) 可求得这个周期解为r { 引∞2 肌0 8 “( 2 ．8 ) I 口( t ) = 一孔s i n “如果在。

一y 平面上看这个解，在经历时间t = 2 ”加，它恰好转了一圈．如果在窝一Ⅳ一口空间来看，这个解可以被看作z 一掣平面上的解沿口方向延伸成的圆柱表面上的一条螺线．由于口是周期的，所以这个圆柱的两端可被连接成为一个环面，解轨线就在这个环面上旋转．这个环面可由角口和％来表示，p 叫做经角，如是轨线在z 一口平面转过的角度，叫做纬角．懈( 2 ．8 ) 在闭合前在环面上转过了一个经圈和一个纬圈，这样的解叫做调和解．2 ) m 阶次调和共振假设u = 竹1 蛳，m > 1 ，m 是整数．考虑∑上除( 9 ) = 口，o ) 外的所有点，由( 2 ．4 ) 和( 2 ．7 ) 知它们都是P 的m 周期点，因此它们所对应的解在闭合前转了m 个经圈．在一F平面上看，此时z ( t ) 和可p ) 的频率为u ／m ，因此经过时间t = 2 丌加，解在一y 平面上转了2 ”／m ．所以这些点对应的周期解闭合前在环面上转过了m 个经圈和一个纬圈，这样的解叫做次调和解．3 ) n 阶超调和共振假设n u = 蛳，扎> l ，n 是整数．仍考虑∑上除( z ，Ⅳ) = ( 再，o ) 外的所有点，由( 2 ．4 )和( 2 ．7 ) 知它们都是P 不动点．在。

一F 平面上看，此时霉( t ) 和Ⅳ( t ) 的频率为舢，因此经过时间t = 2 ”加，解在z 一Ⅳ平面上转了2 n ”，所以这些点对应的周期解闭合前在环面上转过了一个经圈和n 个纬圈，这样的解叫做超调和解．4 ) m ，n 阶超次调和共振假设n u = m 蛳，m ，n > 1 ，m ，n 是互质的整数．由( 2 ．4 ) 和( 2 ．7 ) 可知此时∑上除( g ) = ( 互，o ) 外的所有点都是P 的m 周期点．与上面同样的道理，这些点对应的周期解闭合前在环面上转过了m 个经圈和n 个纬圈，这样的解叫做超次调和解．5 ) 拟周期共振4假设盖= 无理数，那么对于∑平面上除( z ，g ) = ( _ t o ) 外的所有点，每个点都对应的轨道将稠密的填满∑上的一个圆，它对应着一Ⅳ一口空间的一个不变二环面．这些点所对应的解将在环面上无限次旋转，走过环面上的每一点，这样的解叫做拟周期解．5于是(3．1．3)的特征方程为^ 2 一吖A + a e 一’^ = O( 3 ．1 ．4 )这里a 为固定的正常数，，y o由文献【1 8 1 ，我们有下面结论；引理3 ．1 ．41O，，yo，一r伽(r))竹(r)=竺岩㈦，2⋯n由文献[14】中定理2可知，y=％(r)存在反函数，y=啄1(r)自=0，1，2⋯(3．1．5)推论3．1．1对于任意给定的7o，1=饥(r))≈=O，1，2⋯为Hopf分支曲线，对任意(n1)e仇，由前述结论可知，无论以7或r为分支参x这里J ( 们是D i r a c6 一函数，7 ∽一属，= ㈦= 憾叠圳使用【4 】中的表示方法，我们可以把方程( 1 ．2 ) 写成( 差) 孔= A ( E ，p ) 置+ E 蕊7 ( t ，凰，E ，p ^ )( 3 _ 2 ．3 )j 白= x o ( 口)一= O—r o ，所以当矗> o 时，分支发生口 o 时，分支发生声> o 方向( 上临：黔，且分支周期解是稳定的．这里于是平均方程( 3 ．3 ．6 ) 在Q o ，如) 附近的分支周期解为≯是任意常数．汹。

恂{ 【- 警揶神仆蛊风o s 毋) + 0 ( e 3 )圣= 等¨砘弼阶警( 丢痂Ⅷ】，峋～‰’矗⋯∈= 如+ ￡os i n 圣+ o ( E 3 )这个周期解描述了系统( 3 ．3 ．3 ) 的一个拟周期解．1 7参考文献【1 1 丁同仁，非线性振动的若干问题，数学年刊，1 9 8 7 ，1 ．7 ．1 2 】N a m a d l c h i v a y a ，N ．s r i ，a n dA r i a f a t n a m ，s T ．，P e r i d i c a l l yP e r t u r e dH o p fB i f h。