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有关板式橡胶支座及其模型多轴变形的试验研究：2 建模摘要：板式橡胶支座在多轴载荷作用下的数学模型是在所附论文实验报告数据的基础上提出来的首先,人们提出了单轴模型在该模型中,通过增加基于位移的各向同性硬化规则及平行非线性弹性弹簧，扩展弹塑性模型此外,用解析方法推导出了该模型等效刚度、阻尼比,这个方法对设计模型很有用第二, 通过考虑构件双轴纯剪切变形推导出了二维的弹塑性模型，从而简化三维本构关系然后,通过与一维的情况中类似的途径得到支座的二维模型，以此来扩展此模型该模型很好地再现了实验结果第三,为了确认提出的模型预测地震响应的能力, 进行了三轴混合结构的地震响应实验在与实验结果比较后，人们发现这个模型的模拟数据可以准确的预测试验的结果DOL:10.1061 / (土木) 0733-9445 (2004) 130:8(1133)CE 数据库关键词：基础隔震；支座；粘弹塑性；弹性体；滞回模型；橡胶；层板背景：在本文中,在二轴和三轴加载条件下的板式橡胶支座滞回模型是根据所配套论文中描述的实验结果建立的首先, 通过扩展 Ozdemir 的弹塑性模型（Ozdemir1973）建立支座的一维模型与双轴荷载试验结果相比，评估该推荐模型的准确性。

此外,用解析方法导出了该模型的等效刚度和阻尼比，这在基础隔震结构设计中得到响应近似值是非常有用的第二，以Ozdemir 模型的三维本构规则为基础，从理论上导出支座的二维模型（Graesser and Cozzarelli 1989, 1991） 通过将模拟数据与实验结果比较，证明二维模型的结果是准确的最后, 为了显示该模型预测地震响应的能力，进行了一个混合地震反应实验通过试验观察，人们发现该模型能准确地模拟实验中的地震响应一维模型：支座的单轴滞回模型是根据实验的结果研发的在这项研究中,该模型是所谓的单轴模型,代表的是支座在恒定的竖直荷载作用下单向水平行为（双轴荷载状态）基本弹塑性模型：对于耗能设备，Ozdemir （1973）提出了单轴状态下与速度有关的（粘塑性）和与速度无关的（粘弹性）现象的非弹性模型在原文中，他通过引入弹性刚度和屈服强度的降解规律将粘弹性模型进行了延伸在本研究模型中,无降解的粘弹性模型被认为是基本的支座模型Ozdemir模型的数学方程描述为：其中 F 是恢复力，U 是位移，S 是反力，Yt 和 Ut 分别是屈服力和屈服位移 和 n 这两个参量分别表示为与动力硬化准则有关参量和从弹性范围转变到线性范围转折点。

当 n 的取值趋近于 0 时，会再次产生转折点如果弹性刚度定义为 K ，曲屈服后刚度的近似值与 K 的关系如下：这种模型的优点是它从弹性状态转变成塑性状态时会再次出现转折点另外，通过数值计算方法求解微分方程，屈服条件和卸载条件能够简单的自动确定Wen （1976）也研发了这种模型（Bouc-Wen model），并且这种模型在极限状态下与Ozdemir 模型等效Sivaselvan and Reinhorn（2000）通过引入降解规律将Bouc-Wen模型进行了延伸，并通过使用空间状态的方法将其应用于结构的框架系统的动力学分析中去Ozdemir模型的延伸并联弹性弹簧为了使模型中振幅小于平均剪应变 150%处包含恢复力的演变的方向，人们引入了一个与弹塑性弹簧并联的非弹性弹簧这种使用弹塑性弹簧的运动硬化规律做法也是近似的然而, 在这个模型中运动硬化的影响是被消除了，而并非是引入了这个弹簧，因为在点的运动硬化模型中，方程（1）中的参量 之间是相互耦合的，从而要将弹簧拉伸到非线性状态和确定参量是很难的这个非线性弹簧的力-位移关系为：其中 F1和 U 分别是力和位移；Kt,a,b 是参量在方程（3）中，第一部分代表再次产生的力的线性变化，而第二部分表示非线性变化，这个变化在实验中剪应变小于 50%时可以观察到。

最后，为了从方程（3）中消除运动硬化规律，当 值趋近于 0 时，可以得到：硬化的建模在双轴荷载试验中得到的恢复力表明，随着振幅的增加且大于平均剪应变的150%时，弹簧的剪切刚度和滞回曲线吸收的能量变的越大以后，这种现象称为硬化为了用数学表达式表达硬化现象，滞回曲线面积的增量可由下面的屈服力和位移之间的相关关系近似得到：其中 Y0 是初始屈服力；UH 和 P 是参量其次，为了表示剪切刚度的增量，人们引入了另一个与弹塑性弹簧并联的非线性的弹性弹簧这个弹簧的数学方程为其中F3和U分别表示弹簧的力和位移；K2和r是参量本文中，这种弹性弹簧称为硬化弹簧历史过程相关性的建模由双轴加载试验的结果，人们发现弹簧屈服之后，滞回圈的形状和弹簧刚度在每一振幅处是不同的为了对这个现象建立模型，我们认为方程(3)中的刚度Kt和方程(4)中的屈服位移Ut取决于最大位移值，这个最大位移值是在过去的试验中用下面的方式得到的其中 Umax 是过去实验测得的最大位移；Kt，U0， 和 Us是参量一维模型总结人们提出了板式橡胶支座的恢复力的数学模型这个模型包含一个弹塑性弹簧和两个非线性弹簧，如图1描述的这个模型的最终表达式为：其中 U 是位移；F 是模型的合恢复力；Fi 是每一个弹簧的力。

其它都为参量：UH 是初始硬化的位移；Y0 是初始屈服力；U0 是初始屈服位移；K1 是非线性弹性弹簧的初始刚度； 是控制刚度降解演变过程的参量； 是完全降解之后的刚度与 K1的比值；n 是控制由弹性状态到塑性状态的转折点的参量；p 和 r 是描述硬化曲线的参量；K2 是描述硬化弹簧相对于其它弹簧硬化程度的比例常数a 是在小变形范围内非线性弹性弹簧行为的力的取值；b 是小变形范围内控制非线性弹性弹簧的行为的参量；Us 是控制弹塑性弹簧弹性刚度降解的参量这 13 个参量是比 0 大得多的真实值参量的确定上面提出的模型含有13个参量确定这些参量可以尽可能精确的重新得到在双轴加载试验中支座的恢复力为了这个目的，人们使用最小面积法来确定最多的参量，并使误差最小为Eerr，表示如下：其中 是速度；Fexp 和 Fcmp 分别表示由双轴加载试验得到的和由提出的模型得到的支座的恢复力自然地，E 表示由试验和模型得到的滞回曲线附加面积的差值用数值估算方法使 Eerr 最小化过程中，人们使用单纯形法，它是一种与导数无关并且能稳定的找到总体的最小值点的最优化方法（Press et al. 1988）每一个支座确定出的参量用表格 1 表示出来。

在这个表格中， 和 K2 甚至在相同种类的支座中呈现出很大的变化 的变化表明在完全不同的变化率时支座发生刚度降解，即使它们具有相同种类的橡胶成分另一方面，K2 与高次方密切相关，因此，n 和 UH 的微小变化也会导致 K2 很大的改变应该注意的是，当支座与标准试件具有相同的橡胶成分并且尺寸成比例时，就可以得到类似的参量，这些参量是根据它们的尺寸进行调整得到的然而，当支座有不同的橡胶成分或者尺寸不成比例时，在适当的双轴加载条件的实验数据需要参量的进行校准为了估算参量已经确定的模型的精确度，模型的模拟数据与实验结果的比较如图2所示由图可以清楚地看到所提出的一维模型精确地重新说明了了支座的力学性质，如恢复力的变化方向，硬化和滞回曲线形状的振幅相关性此外，人们发现这种模型易弯曲，，因为它能应用到三种支座中，一维模型的等效线性化本节中，所提出的模型的等效刚度和阻尼比是在模型的简化解的基础上导出的等效刚度根据一种广泛使用的等效线性化方法--几何学刚度法（Chopra 1995）,等效刚度定义为：其中 Um 是前面试验测得的最大位移；Fm 是在 Um 处的恢复力在这个导出式中， Um 被认为是足够大的且满足 ，并且小于在设计中与板式橡胶支座的限制位移相等的平均剪应变的 250%（本文情况下，小于 87.5mm），（Japan Road Association 1998）。

模型中三个弹簧的力用 表示，其中下标 i 是与图 1 中弹簧的数量相应的接下来，导出式的近似值是基于表 1 中的参量的得到的非线性弹性弹簧由方程（8b），非线性弹性弹簧在U=Um处的力描述为：方程使用了 Umax=Um 这个条件根据表 1，由于满足 ， 这两个条件，且 的值与 1 相比不是极其小的，在下面公式中近似认为是有效的 最后，方程（3）非线性弹性弹簧的力可以近似表达如下：弹塑性弹簧在弹塑性弹簧中，通过代入n=1分析得到简化解答由于Um与Ut相比足够大，则弹簧的力在n取任意值时可以认为是处于塑性状态因此，n取任意值时的F2的解答可以近似于n=1时的解答首先，方程（8）可以写成下面的形式：和其次，由未变形状态（U=0）到 U=Um 处的单调荷载可以认为是在 条件下的弹塑性弹簧这种情况下，方程（14）描述为：当 P 只取整数值时，在初始条件 F2=0 下，加载曲线的简化的形式如下 其中 Ci 是实数范围内的常量，U 是加载曲线在 范围内的任意位移涉及到的表 1 中的参量 Um 有如下关系：因此，方程（18）导出下面两个近似表达式：最后，将上面的近似表达式代入方程（17），在U=Um处的弹塑性弹簧的力推导为： 硬化弹簧由于硬化弹簧是弹性的，在U=Um处我们可以很容易的得到硬化弹簧的力为：模型的等效刚度：由上面的结果，模型在U=Um处的合力可以近似表达为：因此，等效刚度Keq可以由方程（10）计算得到： 此外，当模型的硬化行为的影响消除后，当 时，等效刚度可以简化成下面的形式： 上面的方程与等效屈服力为（a+Y0 ）、最终刚度为 的双线性模型的等效刚度是类似的。

不论是在实际设计中，还是在模型参量的物理意义理解时，方程（23）和（24）都很有帮助等效阻尼比应用几何刚度方法，滞回曲线在 Um 处的等效阻尼比 可按如下计算：其中 是滞回能量损失且等于滞回曲线的面积；We 是位移为 Um 时的弹性应变能，定义如下：方程（8）提出的模型中弹塑性弹簧只有滞回能量损失因此这种弹塑性弹簧的能量损失可以按下面来计算在振幅为 Um 的滞回曲线中，滞回曲线从 到 的那部分曲线称为卸载曲线，用 Fu 表示，而滞回曲线从 到 的那部分曲线称为二次加载曲线，在本文中用 Fr 表示滞回曲线能量损失用 Fu、Fr 表示为： 因此 的计算需要 Fu 和 Fr 的解析解为了简便，用 n=1 时的解答卸载曲线从点 开始的卸载曲线中，满足条件 ，方程（8c）可以从新写为下面的形式：为了获得上面方程的解析解，包含在 Yt 中的参数 p 只能取整数值在对方程（28）积分，并结合初始条件 后，就可以得到下面的解答和其中 是实数范围内的一系列常数；U 是卸载曲线中 范围内的任意位移值二次加载曲线从点 开始的二次加载曲线，满足条件 >0 和一般微分方程，就像方程（16）中推导的那样。

其次，在初始条件 下，用与方程（29）情况相同的途径解出方程，得到的解答如下 和其中 是实数范围内的一系列常数；U 是二次加载曲线在 范围内的任意位移模型的等效阻尼比单个滞回曲线在振幅 Um 处的能量损失 可以通过将方程（29）和（31）中的 Fu 和 Fr代入方程（27）中计算得到：其中将方程（19）代入积分后的方程此外，当 时，可以获得无硬化影响的能量损失如下：注意方程（34）是屈服力为 Y0 和屈服位移为 的完全弹塑性的双线性模型产生的能量损失由于这个事实，我们可以看到方程（33）是包含硬化影响的 的一般形式方程（33）、（34）与方程（23）、（24）结合在一起对于理解一些参量的物理意义是有帮助的最后，将方程（33）、（23）代入方程（25）。