一元函数的积分学及其应用.ppt

第一章 一元函数的积分学及其应用第一节第一节 一元函数的积分一元函数的积分第二节第二节 积分的应用积分的应用一元函数的积分学及其应用第一节 一元函数的积分一、不定积分一、不定积分二、定积分二、定积分三、广义积分三、广义积分一元函数的积分学及其应用一、不定积分1. 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 定义定义1 设函数设函数f 与与F 在区间在区间I上有定义，若上有定义，若则称则称F为为f 在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数n问题： （（1）什么条件下，一个函数的原函数存在？）什么条件下，一个函数的原函数存在？ ( 2 )如果如果f (x)有原函数，一共有多少个？有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的概念一元函数的积分学及其应用任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量①②一元函数的积分学及其应用 定理定理1 1（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果函数如果函数f f（（x x））在某个区间上连续，那么在某个区间上连续，那么f f（（x x）在该区间上一定）在该区间上一定存在原函数存在原函数. . 简单理解：连续函数一定有原函数简单理解：连续函数一定有原函数 定理定理2 2 如果函数如果函数F F（（x x）是函数）是函数f f（（x x）的一个）的一个原函数，则原函数，则F F（（x x））+C+C（（C C为任意数）是为任意数）是f f（（x x）的全）的全部原函数部原函数. . 一元函数的积分学及其应用 如果如果F（（x）是）是f（（x）的一个原函数，则）的一个原函数，则F（（x）所对应）所对应的曲线称为函数的曲线称为函数f（（x）的一条积分曲线，将这条积分曲线）的一条积分曲线，将这条积分曲线沿轴方向上下任意平行移动，就得到沿轴方向上下任意平行移动，就得到F（（x））+C，即为积分，即为积分曲线族．在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，曲线族．在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线，这些切线都是相互平行的．这些切线都是相互平行的． f（（x）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分）的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分曲线族．这些积分曲线在横坐标相同的点曲线族．这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互平处的切线相互平行行2)不定积分的几何意义一元函数的积分学及其应用性质性质1 1 设函数设函数 及及 的原函数存在，则的原函数存在，则性质性质2 2 设函数设函数 的原函数存在，的原函数存在， 为非零常数，则为非零常数，则性质性质3 3性质性质4 43)不定积分的性质一元函数的积分学及其应用2. 不定积分直接积分法不定积分直接积分法不定积分的基本公式一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。

关键在于对被积函数直接求出不定积分的方法关键在于对被积函数进行恒等变形进行恒等变形直接积分法一元函数的积分学及其应用3. 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法（凑微分法）一元函数的积分学及其应用（凑微分）（凑微分）一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用2)第二类换元积分法（变量代换法）一元函数的积分学及其应用例例1 1 求求解解 令令一元函数的积分学及其应用例例2 2 求求解解 令令一元函数的积分学及其应用 说明说明以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令一元函数的积分学及其应用常用的基本公式表常用的基本公式表一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用4. 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式分部积分公式一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用例例2 2 求积分求积分解解注意循环形式注意循环形式一元函数的积分学及其应用5. 简单有理函数的积分法简单有理函数的积分法两个多项式的商表示的函数称为有理函数两个多项式的商表示的函数称为有理函数. .其中其中 都是非负整数；都是非负整数； 及及 都是实数，并且都是实数，并且 . .假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法利用多项式除法, ,假分式可以化成一个多项式和一个真分假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和式之和. .一元函数的积分学及其应用1)简单分式的积分法一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用一元函数的积分学及其应用2)化有理真分式为简单分式一元函数的积分学及其应用3)有理函数的积分法一元函数的积分学及其应用二、定积分1.定积分的概念和性质定积分的概念和性质 •曲边梯形曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 1）定积分问题举例 一元函数的积分学及其应用观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形 当小矩形的宽度减少时 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？一元函数的积分学及其应用求曲边梯形的面积 (1)分割 ax0< x1< x2< < xn1< xn b Dxixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1

不存在或发散一元函数的积分学及其应用 类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上上的广义积分的广义积分 注注 广义积分广义积分 收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散分之一发散，则左端的广义积分发散 一元函数的积分学及其应用2. 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 设函数设函数 在区间在区间 上连续，而上连续，而 取取 ，如果极限，如果极限 存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在区间在区间 上的广义积分记作上的广义积分记作 即即此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散。

不存在或发散一元函数的积分学及其应用。