8-6--欧式空间的正交变换和对称变换ppt课件(全).ppt

欧式空间的正交变换与对称变换欧式空间的正交变换与对称变换 定义定义 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 定理定理 n 维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例例 设 是欧氏空间V的标准正交基，且 证明证明：当T是正交矩阵时, 是标准正交基.  正交变换的定义正交变换的定义定义定义1 欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任意 都有例例1 在 里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换. 线性变换是 例例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于每一向量 ，令对于H的镜面反射 与它对应. 是 的一个正交变换. 例例3 3 欧氏空间欧氏空间V V的一个线性变换是正交变换的充要的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变条件是使任意两个向量的距离保持不变, ,即对一切即对一切, , 都有都有. . 正交变换的等价条件正交变换的等价条件 定理定理8.3.18.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换σ是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ， . 证明证明 条件的充分性是明显的. 因为（1）中 取ξ=η，就得到 ，从而 .反过来，设σ是一个正交变换，那么对于ξ,η∈ V，我们有 然而由于比较上面两个等式就得到：定理定理 设设V V 是一个是一个n n维欧氏空间，维欧氏空间，σσ是是V V 的一个线的一个线性变换，如果性变换，如果σσ是正交变换，那么是正交变换，那么σσ把把V V 的任意一的任意一个标准正交基仍旧变成个标准正交基仍旧变成V V 的一个标准正交基；反过的一个标准正交基；反过来，如果来，如果σσ把把V V 的某一标准正交基仍旧变成的某一标准正交基仍旧变成V V的一的一个标准正交基，那么个标准正交基，那么σσ是是V V 的一个正交变换的一个正交变换. .定定理理 n n 维维欧欧氏氏空空间间V V的的一一个个正正交交变变换换σσ关关于于V V的的任任意意标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是一一个个正正交交矩矩阵阵；；反反过过来来，，如如果果V V的的一一个个线线性性变变换换关关于于某某一一标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是正正交交 矩矩 阵阵 ，， 那那 么么σσ 是是 一一 个个 正正 交交 变变 换换. .例例5 5 在欧氏空间 中,规定线性变换σ为:证明: σ是正交变换.例例6 6 将 的每一向量旋转一个角ψ的正交变换（参看例1）关于 的任意标准正交基的矩阵是又令σ是例2中的正交变换.在平面H 内取两个正交的单位向量 ，再取一个垂直于H 的单位向量 ,那么 是 的一个标准正交基. σ关于这个基的矩阵是 以上两个矩阵都是正交矩阵.  的正交变换的类型的正交变换的类型设σ是 的一个正交变换，σ关于 的一个规范正交基 的矩阵是那么U 是一个正交矩阵. 于是（（2 2）） 由第一个等式，存在一个角α，使a = cos α，c = ±sinα由于cos α cos α = = cos(±α)cos(±α)，，± ± sin αsin α= = sinsin（（±±αα））因此可以令a a = = cos φcos φ，，c = sin φc = sin φ这里φφ =αα或 –αα . 同理，由（4）的第二个等式，存在一个角ψ使b b = = cosψcosψ，，d d = = sinψsinψ将a, b, c, d代入（4）的第三个等式得CosCosφφcoscosψ ψ + sin+ sinφφsinsinψψ = 0 = 0或cos(cos(φφ+ +ψψ) = 0) = 0最后等式表明，φ －ψ是π/ 2的一个奇数倍. 由此得所以或  在前一情形中，σ是将 的每一向量旋转角φ的旋转； 这样， 的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射. 如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基.坐标的向量. 这时σ是直线的反射. 在后一情形，σ将 中以（x, y）为坐标的变量变成以(xcosφ+ysinφ, xsinφ–ycosφ) 为而σ关于基 的矩阵有形状 　　现在设σ是 的一个正交变换. σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r . 令 是σ的属于本征值r 的一个本征向量，并且 是一个单位向量. 再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么σ关于这个基的矩阵有形状由于U 是正交矩阵，我们有 于是 由U的正交性推出，矩阵 是一个二阶正交矩阵. 由上面的讨论，存在一个解φ使 在前一情形： 在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我的正交变换的讨论，我们可以取们可以取 的一个规范正交基 使σ关于这个基的矩阵是  如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，σ关于 的矩阵是 如果左上角的元素是 – 1 ，那么σ关于基 的矩阵是 这样， 的任意正交变换σ关于某一正交基 的矩阵是下列的三种类型之一：　　在第一种情形,σ是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,σ是对于平面 的反射；第三种情形,σ是前两种变换的合成. 思考题思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合 练习练习 设V是一个欧氏空间, 是一个非零向量,对于 , 规定V的一个变换 证明:τ是V的一个正交变换,且 ι是单位变换.  对称变换的定义对称变换的定义 定义定义1 设σ是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式成立，那么就称σ是一个对称变换.例例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?  对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系定理定理 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果σ关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么σ是一个对称变换. 证证 设σ关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。

那么同样的计算可得 因为 所以 即σ是一个对称变换  对称变换的性质对称变换的性质 定理定理 实对称矩阵的特征根都是实数.证证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令λ是A 在复数域内一个特征根于是存在不全为零的复数 使得（（2）） 令的共轭复数 用矩阵 左乘（2）的两边得即: （（3）） 等式（3）两端取轭复数，注意 是实数得（（4）） 又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，λ是实数 定理定理 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交. 证证 设σ是n维欧氏空间的一个对称变换，λ，μ是σ的本征值，且λ ≠ μ令α和β分别是属于λ和μ的本征向量：σ（α）= λ α，σ（β）= μ β我们有 λ<α, β> = < λ α, β> = < σ (α), β> = < α, σ (β)> = <α, μβ> = μ<α, β>因为λ ≠ μ, 所以必须<α, β> = 0. 定理定理 设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得σ关于这个基的矩阵是对角形式.定理定理 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.为了求出为了求出U U, ,我们可以用以下方法我们可以用以下方法. .首先由于首先由于U U是正交矩是正交矩阵阵, ,所以因此所以因此 与与A A相似相似. .于是可以利用于是可以利用7.67.6所给的所给的步骤求出一个可逆矩阵步骤求出一个可逆矩阵T,T,使得使得 是对角形式是对角形式, ,这样这样求出的矩阵求出的矩阵T T一般来说还不是正交矩阵一般来说还不是正交矩阵, ,然而注意到然而注意到T T的的列向量都是列向量都是A A的特征向量的特征向量, ,A A的属于不同特征根的特征向的属于不同特征根的特征向量彼此正交量彼此正交, ,因此只要再对因此只要再对T T中属于中属于A A的同一特征根的列的同一特征根的列向量施行正交化手续向量施行正交化手续, ,就得到就得到 的一个规范正交组的一个规范正交组, ,以以这样的规范正交组作列这样的规范正交组作列, ,就得到一个满足要求的正交矩就得到一个满足要求的正交矩阵阵U.U.例例2 2 设找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。

第一步，先求A的全部特征根.我们有 所以A的特征根是2，2，8.第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系 再 把正交化，得 对于特征根8,求出属于它的一个单位特征向量第三步，以 为列，作一个矩阵那么U是正交矩阵，并且 例例3 设σ是n维欧氏氏空间V的一个线性变换,证明: σ为对称变换的充分必要条件是σ有n个两两正交的特征向量. 。