中考数学一轮复习讲义[一次函数].pdf

中考数学一轮复习讲义14一次函数小结 1 概述主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握小结 2 学习重难点【重点】 理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系【难点】 1根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题2理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系小结 3 学法指导1注意从运动变化和联系对应的角度认识函数2借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想3注重数形结合思想在函数学习中的应用4加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用5结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力知识网络结构图专题总结及应用一次函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么 x 是自变量， y 是 x 的函数函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法变量与函数一次函数正比例函数定义：形如ykx(k0)的函数性质：当 k0 时， y 随 x 的增大而增大，当k0 时，y随 x 的增大而减小一次函数定义：形如ykxb(k，b 是常数， k0)的函数性质：当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，当k0 时，y 随 x 的增大而减小待定系数法求函数关系式函数与方程 (组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式就转化为方程 (组)：当函数值是一个范围时，函数关系式就转化为不等式；两直线的交点坐标就是二元一次方程组的解一次函数的实际应用一、知识性专题专题 1 函数自变量的取值范围【专题解读】一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论例 1 函数21xy中，自变量x 的取值范围是( ) Ax0 Bx1 Cx2 Dx 2 分析由 x 20，得 x 2故选 D例 2 函数xxy21中，自变量x 的取值范围是( ) Ax 1 B 1x 2 C 1x2 Dx2 分析由, 01,02xx得, 1, 2xx即 1x2故选 C专题 2 一次函数的定义【专题解读】一次函数一般形如ykxb，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可例 3 在一次函数y(m3)xm1x3 中，符 x0，则 m 的值为分析由于 x0，所以当m10，即 m1 时，函数关系式为yx1当 m3 0，即 m3 时，函数关系式为yx 3；当 m 11，即 m2 时，函数关系式为y(m2)x3，当 m2 时， m20，此时函数不是一次函数所以m1 或 m3故填 1 或 3专题 3一次函数的图象及性质【专题解读】一次函数 ykxb 的图象为一条直线， 与坐标轴的交点分别为0,kb，(0，b)它的倾斜程度由k 决定， b 决定该直线与y 轴交点的位置例 4 已知一次函数的图象经过(2，5)和( 1， 1)两点(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式分析已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式解：(1)图象如图14104 所示(2)设函数解析式为ykx b，则, 1, 52bkbk解得, 1,2bk所以函数解析式为y2x1二、规律方法专题专题 4一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系【专题解读】可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程 (组 )的解也可确定一次函数表达武例 5如图 14105 所示，已知函数y3xb 和 yax3 的图象交于点P(2， 5)，则根据图象可得不等式3xbax3 的解集是分析由图象知当x 2 时， y3xb 对应的 y 值大于 yax3 对应的 y 值，或者y3xb 的图象在x 2 时位于 yax3 的图象上方故填x 2专题 5一次函数的应用【专题解读】在应用一次函数解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题例 6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2 小时油箱中余油28 升，耕地3 小时油箱中余油22 升(1)写出油箱中余油量Q(升)与工作时间t(小时 )之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3 小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时? 分析由两组对应量可求出函数关系式，再画出图象(在自变量取值范围内)解：(1)设函数关系式为Qktb(k 0)由题意可知,322,228bkbk.40, 6bk余没量Q 与时间 t 之间的函数关系式是Q 6t40406t 0， t320自变量t 的取值范围是0t320(2)当 t0 时， Q40；当 t320时， Q0得到点 (0， 40)，(320，0)连接两点， 得出函数 Q 6t 40(0t320)的图象， 如图 14106 所示(3)当 Q0 时， t320，那么3203323(小时 )拖拉机还能耕地323小时，即3 小时 40 分规律方法运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题，如利润最大、成本最小、话费最省、最佳设计方案等问题，我们应善于总结规律，达到灵活运用的目的三、思想方法专题专题 6函数思想【专题解读】函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题例 7利用图象解二元一次方程组.5,22yxyx分析方程组中的两个方程均为关于x， y的二元一次方程， 可以转化为y 关于 x 的函数由得 y2x2，由得 y x5，实质上是两个y 关于 x 的一次函数，在平面直角坐标系中画出它们的图象，可确定它们的交点坐标，即可求出方程组的解解：由得y2x2，由得 y x5在平面直角坐标系中画出一次函数y2x2，y x 5 的图象，如图14107 所示观察图象可知，直线y2x 2 与直线 y x 5 的交点坐标是 (1， 4)原方程组的解是.4, 1yx规律方法解方程组通常用消元法，但如果把方程组中的两个方程看做是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解例 8我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水 据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2 滴水，每滴水约005 mL小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水(1)试写出 y 与 x 之间的函数关系式；(2)当滴了 1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时? 分析已知拧不紧的水龙头每秒滴2 滴水，又 1 小时 3600 秒， 1 小时滴水 (36002)滴，又每滴水约005 mL，每小时约滴水36002005360(mL) 解：(1)y 与 x 之间的函数关系式为y360 x(x0)(2)当 y 1620 时，有 360 x1620， x45当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头45 小时专题 7数形结合思想【专题解读】数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用例 9 如图 14108 所示，一次函数的图象与x 轴、 y 轴分别相交于A，B 两点，如果A点的坐标为 (2， 0)，且 OAOB，试求一次函数的解析式分析通过观察图象可以看出，要确定一次函数的关系式，只要确定B 点的坐标即可，因为OBOA2，所以点B 的坐标为 (0， 2)，再结合A 点坐标，即可求出一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为ykxb(k， b 为常数，且k0)OAOB，点 A 的坐标为 (2， 0)，点 B 的坐标为 (0， 2)点 A，B 的坐标满足一次函数的关系式ykxb，, 20, 02bbk.2, 1bk一次函数的解析式为yx2【解题策略】利用函数图象研究数量之间的关系是数形结合思想的具体运用，在解决有关函数问题时有着重要的作用专题 8分类讨论思想【专题解读】分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结例 10在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14109 所示，能否用函数关系式表示这段记录? 分析根据所给图象及函数图象的增减性，本题要分三种情况进行讨论电脑记录提供了赛车时间t(s)与赛车速度v(ms)之间的关系，在10 s内，赛车的速度从 0 增加到 75 m s，又减至0，因此要注意时间对速度的影响解：观察图象可知当 t 在 01 s 内时，速度v 与时间 t 是正比例函数关系，v75t(0t1)当 t 在 18 s 内时，速度v 保持不变，v75(1t 8)；当 t 在 810 s 内时，速度v 与时间 t 是一次函数关系，设一次函数为vktb(k0)，又一次函数图象过(8，7 5)和(10，0)，则,100,85.7bkbk解得.5 .37,75.3bkv 375t375(8t10)即7.5 (01),7.5(18),3.7537.5(810).ttvttt专题 9 方程思想【专题解读】方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式例 11 已知一次函数y kxb(k0)的图象经过点A(3， 2)及点 B(1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象分析可将由已知条件给出的坐标分别代入ykxb 中，通过解方程组求出k，b 的值，从而确定函数关系式解：由题意可知, 6,23bkbk.4,2bk函数关系式为y2x4图象如图14110 所示2011中考真题精选一、选择题1. （2011 新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y2x 向右平移1 个单位后所得图象对应的函数解析式为（）A、y2x1 B、y2x2 C、y2x1 D、 y2x 2 考点：一次函数图象与几何变换。

专题：探究型分析：根据函数图象平移的法则进行解答即可解答：解：直线y2x 向右平移1 个单位后所得图象对应的函数解析式为y2（x1） ，即 y2x2故选 B点评： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知 “ 上加下减， 左加右减 ” 的原则是解答此题的关键2. （2011 南昌， 8，3 分）已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（）A. 2 B. 1 C. 0 D. 2 考点： 一次函数图象与系数的关系. 专题： 探究型 .分析： 根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b 的符号，再找出符合条件的b的可能值即可解答： 解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，b0，四个选项中只有2 符合条件故选D点评： 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k0 ）中，当b0时，函数图象与y 轴相较于负半轴3. （2011 陕西， 4，3 分）下列四个点，在正比例函数xy52的图像上的点是（）A(2,5) B(5,2) C(2,-5) D(5,-2) 考点 ：一次函数图象上点的坐标特征专题 ：函数思想分析： 根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式根据正比例函数的定义，知是定值解答： 解：由xy52，得= ； A、= ，故本选项错误；B、= ，故本选项错。