第六单元第六单元 平面向量与复数平面向量与复数知识体系知识体系 第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入基础梳理基础梳理1. 复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别为它的 和 ①实数:若a+bi为实数,则 2)分类 ②虚数:若a+bi为虚数,则 ③纯虚数:若a+bi为纯虚数,则 .(3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,d∈R).实部虚部b=0b≠0a=0,b=0 2. 复数的加、减、乘、除运算法则设 则(1)加法: =(a+bi)+(c+di)= ;(a+c)+(b+d)i(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= ;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= ;(4)乘方:zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2;(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(5)除法 = . 3. 复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 . 复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 x轴y轴实数纯虚数有序实数对(a,b)原点4. 共轭复数把 相等, 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作 .实部虚部互为相反数 4. 共轭复数把实部 相等, 虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作 ,即 = a-bi ( a,b∈R).5. 复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作 |z| 或|a+bi| ,即6. 复平面内两点间距离公式两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=|Z2Z1|. 典例分析典例分析题型一题型一 复数的概念复数的概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)·(m-3)i.(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0; ∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.举一反三举一反三1.已知复数 ，试添加a,b的条件，使之满足下列要求。
1)使复数z为纯叙述的充要条件；(2)使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件解析：（1）由已知得 ，所以∴ z为纯虚数的充要条件是a=±b,且a>o. (2)由（1）得，条件a=b>o和a=-b>0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件题型二题型二 复数代数形式的运算复数代数形式的运算【例2】 计算：分析: 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 等运算结果，能使运算更加便捷 解 原式= 学后反思 在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的特点，寻找更简便的方法举一反三举一反三2. 求7+24i的平方根.解析：设平方根为x+yi(x,y∈R),则 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i. 题型三题型三 复数集上的代数方程复数集上的代数方程【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,c∈R）.(1)求b,c的值;(2)试证明1-i也是方程的根.分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,………………………2′∴所以b,c的值分别为b=-2,c=2……………………….6′ (2)证明：因为方程x2-2x+2=0, 把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0 即方程成立, ∴1-i也是方程的根. 学后反思 (1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac＜0时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解. 举一反三举一反三3. 已知关于x的方程x2-(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.解析 设实根为x0,则x20-(2+i)x0-a+3i=0，整理得x20-2x0-a+(3-x0)i=0,解得 ，故a=3，方程的实根为3. 易错警示易错警示【例】m取何实数值时，复数 (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？错解 (1)当 时，即m=2或m=-5时，z是实数.(2)当 时，即m≠-5且m≠2时，z是虚数.(3)当即 时，z是纯虚数. 错解分析 本题出错的原因是漏掉了m2-25在分母上这一条件.m≠±5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.正解 (1)当 即m=2,∴当m=2时，z是实数.(2)当 ∴当m≠±5且m≠2时,z是虚数.(3)当 即 时，z是纯虚数. 考点演练考点演练10.若z(1+i)=2,则z的虚部是 。
解析: 由答案：-111.已知复数 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围.解析：∵x为实数，∴ 都是实数由题意，得 故x的取值范围是1PF2知，PF2垂直于长轴.故在Rt△PF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,∴c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 . 举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (a＞b＞0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (a＞b＞0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0＜θ＜π)，求证:△F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解. 解 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . ①在 中， ∵m+n=2a,1+cos θ≠0,∴ .②由①、②得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号),∴ ∴ ∴e≥ , ∴e的取值范围为[ ,1). 学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009·北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: ∵ , ,∴ ∴ ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,∴|P |=2,又由余弦定理，得 ∴ 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系. 解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, ……………………………………….2′∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆的标准方程为x24+y23=1. …………………………….4′(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, …………………………….6′则由题意得Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,即3+4k2-m2>0.又x1+x2= ，x1x2= ，∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= ………………………………………………………………8′ ∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴kAD·kBD=-1,即 ,∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,∴ ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3+4k2-m2>0…………………12′当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). …………………14′ 学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程. 解析： 设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0. 【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y≥0),解得 (0≤x≤r). ∴S= (2x+2r)· = (x+r),由S＞0和C与D不重合，得其定义域为{x｜0AB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2. 易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ∴ ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+8>9时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0b>0).∵c= ,∴ 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有Δ>0,即 恒成立.∵ ∴ 即 ,∴ .故所求椭圆方程为 12. (2008·北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值 。
