《DSP第十一讲》PPT课件.ppt

第十一讲3.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性3.3频域抽样理论频域抽样理论--抽样抽样Z变换变换3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积要点•为什么要定义圆周对称？为什么要定义圆周对称？•DFT对称性的特点？对称性的特点？•频域抽样提出的背景？频域抽样提出的背景？3.2.5 DFT的共轭对称性与DTFT对称性的区别•DTFT以(-∞,+∞)为变换空间，所以在讨论对称性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；•DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在区间(0,N-1)上定义有限有限长序列的共序列的共轭对称序称序列和反列和反对称序列；称序列；•DFT以(0,N-1)为变换空间，所以在讨论对称性质中，将会得出其对称中心为n=N/21. 有限长共轭对称序列与共轭反对称序列有限长共轭对称序列与共轭反对称序列共轭对称与共轭反对称序列示意图※※有限长序列有限长序列x(n)的实、虚分解的实、虚分解 及其及其DFT对称性对称性※※有限长序列有限长序列x(n)的对称分量分解的对称分量分解 及其及其DFT对称性对称性参见式参见式（（3.2.12）） 　(1) X(k)共轭对称，即共轭对称，即　　　　X(k)=X*(N-k) k=0, 1, …, N-1　　 (2) 如果如果x(n)是实偶对称序列，即是实偶对称序列，即x(n)=x(N－－n)，则，则X(k)实偶对称，即实偶对称，即X(k)=X(N－－k) 　　 (3) 如果是奇对称序列，即如果是奇对称序列，即x(n)=－－x(N－－n)，则，则X(k)纯虚奇对称，即纯虚奇对称，即　　　　　　　　　　　　 X(k)=－－X(N－－k) 序列 DFT有限长序列的共轭对称性总结1： 复数序列的共轭对称性 序列 DFT有限长序列共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性有限长序列共轭对称性总结有限长序列共轭对称性总结3: 纯虚序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性 序列 DFT 例3.2.2 假设假设 x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序点的实数序列，设想用一次列，设想用一次N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DFT: 由(3.2.17)、(3.2.18)和(3.2.19)式得到：所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT： 3.3 频率域采样频率域采样 –频域采样频域采样定理定理讨论： 时域采样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。

频域采样: 对一有限序列(时间有限序列)进行N点DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT是频域N点抽样的结果问题问题:•能否由频域抽样X(k)恢复序列x(n)•能否由频域抽样X(k)恢复x(z)或•若能恢复其条件是什么？如何推导频域内插恢复公式?X(n)为为M点的点的有限长序列有限长序列IDFT[X(k)]=XN(n)讨论之讨论之前先明前先明确一些确一些概念概念x(n)一一.由由频域抽样恢复原序列（续）频域抽样恢复原序列（续）频域抽样时域频域抽样时域以以N点为周期点为周期进行延拓的主进行延拓的主值区间值区间原序列原序列X(z)在单位圆上在单位圆上的的N点等间隔采点等间隔采样所得到的周期样所得到的周期序列序列X(k)的的IDFS是原序列是原序列x(n)以以N为周期为周期进行延拓的周期进行延拓的周期序列•x(n)为无限长序列—混叠失真•x(n)为有限长序列，长度为M 由于时域抽样造成频域周期延拓，同样，频域抽样造成时域周期延拓频域采样定理频域采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样 不失真地恢复原信号 ，否则产生时域混叠现象。

用频域采样用频域采样 恢复恢复 的内插公式的内插公式记住此公式，第七记住此公式，第七章数字滤波器的设章数字滤波器的设计中，我们将会看计中，我们将会看到，该公式提供了到，该公式提供了一种有用的滤波器一种有用的滤波器结构和滤波器设计结构和滤波器设计途径　　【例例3.3.1】 长度为26的三角形序列x(n)如图3.3.1(a)所示编写MATLAB程序验证频域采样理论　　解解 解题思想： 先计算x(n)的32点DFT，得到其频谱函数X(ejω)在频率区间［0，2π］ 上等间隔32点采样X32(k)，再对X32(k)隔点抽取，得到X(ejω)在频率区间［0，2π］ 上等间隔16点采样X16(k)最后分别对X16(k)和X32(k)求IDFT, 得到：绘制x16(n)和x32(n)波形图验证频域采样理论MATLAB求解程序ep331.m如下：%《数字信号处理(第三版）》第3章例3.3.1程序ep331.% 频域采样理论验证M=26; N=32; n=0:M; xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=［xa, xb］;　　　　　　　　 %产生M长三角波序列x(n)Xk=fft(xn, 512); 　 %512点FFT［x(n)］X32k=fft(xn, 32); 　%32点FFT［x(n)］x32n=ifft(X32k); 　%32点IFFT［X32(k)］得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(k)x16n=ifft(X16k, N/2); %16点IFFT［X16(k)］得到x16(n)以下绘图部分省略。

图3.3.1 频域采样定理验证3.4 DFT的应用举例•3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积•3.4.2 用用DFT进行信号的谱分析进行信号的谱分析3.4.1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 0≤k≤L-1则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT［y(n)］=H(k)X(k), 0≤k≤L-1• 由此可见， 循环卷积既可在时域直接计算，也可在频域计算 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积 图3.4.1 用DFT计算循环卷积的原理框图 背背景景及及意意义义：：在在实实际际应应用用中中，， 为为了了分分析析LSI系系统统或或者者对对序序列列进进行行滤滤波波处处理理时时，， 需需要要计计算算两两个个序序列列的的线线性性卷卷积积为为了了提提高高运运算算速速度度，，也也希希望望用用DFT(FFT)计计算算线线性性卷卷积积而而与与DFT对对应应的的是是循循环环卷卷积积，，为为此此需需导导出出线线性性卷卷积积和和循循环环卷卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。

积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件 假假设设h(n)和和x(n)都都是是有有限限长长序序列列，，长长度度分分别别是是N和和M 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：： 长度为长度为N+M-1长度为长度为L•其中， L≥max［N, M］ 可以看出， 上式中  yc(n)等于yl(n)以L为周期的周期延拓序列的主值序列若yl(n)的长度为N＋M－1，则只有当循环卷积长度L≥N＋M－1时，yl(n)以L为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象此时取其主值序列显然满足yc(n)=yl(n)由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是： L≥N＋M－1图 3.4.2 线性卷积与循环卷积 利用圆利用圆周卷积周卷积与线性与线性卷积的卷积的关系关系图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图  M>>N若若仍仍选选取取L≥N＋＋M－－1，，以以L为为循循环环卷卷积积区区间间，，并并用用上上述述快快速速卷卷积积法法计计算算线线性性卷卷积积，，则则要要求求对对短短序序列列补补很很多多零零点点，，而而且且长长序序列列必必须须全全部部输输入入后后才才能能进进行行快快速速计计算算。

因因此此要要求求存存储储容容量量大大，，运运算算时时间间长长，，并并使使处处理理延延时时很很大大，，不不能能实实现现实实时时处处理理通通常常采采用用分段卷积若分段卷积若将将x(n)x(n)均匀分段，均匀分段， 每段长度取每段长度取 M，， 则则于是，于是， h(n)与与x(n)的线性卷积可表示为的线性卷积可表示为图 3.4.4 重叠相加法卷积示意图 　　MATLAB信号处理工具箱中提供了一个函数fftfilt，该函数用重叠相加法实现线性卷积的计算调用格式为：y=fftfilt(h, x，M)式中, h是系统单位脉冲响应向量；x是输入序列向量；y是系统的输出序列向量（h与x的卷积结果）；M是由用户选择的输入序列x的分段长度，缺省M时，默认输入序列x的分段长度M=512　　【例例3.4.1】 假设h(n)=R5(n)，x(n)=［cos(πn/10)　+cos(2πn/5)］u(n)，用重叠相加法计算y(n)=h(n)*x(n)，并画出h(n)、x(n)和y(n)的波形　　解解 h(n)的长度为N=5, 对x(n)进行分段，每段长度为M=10计算h(n)和x(n)的线性卷积的MATLAB程序如下： %例3.4.1 重叠相加法的MATLAB实现程序：ep341.m Lx=41; N=5; M=10; %Lx为信号序列x(n)长度 hn=ones(1, N); hn1=［hn zeros(1, Lx-N)］; 　　　　　 %产生h(n)，其后补零是为了绘图好看 n=0:L-1;  xn=cos(pi*n/10)+cos(2*pi*n/5); %产生x(n)的Lx个样值 yn=fftfilt(hn, xn, M); %调用fftfilt用重叠相加法计算卷积 %以下为绘图部分, 省略 　　运行程序画出h(n)、x(n)和y(n)的波形如图3.4.4所示。

请读者从理论上证明y(n)的稳态波形是单一频率的正弦波　　　　运行绘图程序fig345.m可以得到用重叠相加法求解本例题的xk(n), yk(n)和y(n)=y0(n)+y1(n)+y2(n)+y3(n), 如图3.4.5所示 图3.4.4 例3.4.1的求解程序运行结果图3.4.5 重叠相加法时域波形。