大学物理：量子3-薛定谔方程无限深势阱.ppt

薛定谔方程薛定谔方程 物质波物质波: 不确定关系不确定关系:1.波波函函数数：：在在量量子子力力学学中中，，为为反反映映微微观观粒粒子子的的波粒二象性，用波函数来描述它的运动状态波粒二象性，用波函数来描述它的运动状态概率密度概率密度:“概率振幅概率振幅”2.3. 物理上对波函数的要求：物理上对波函数的要求：单值、有限、连续、归一单值、有限、连续、归一代表代表 t 时刻时刻, 在在 端点处单位体积中发现粒端点处单位体积中发现粒子的概率子的概率 一一 波函数波函数 概率密度概率密度二、自由粒子的波函数二、自由粒子的波函数所以自由粒子的物质波为平面简谐波所以自由粒子的物质波为平面简谐波所谓自由所谓自由 即粒子不受任何形式力的作用即粒子不受任何形式力的作用将将德布罗意波关系德布罗意波关系代入代入得得类比类比经典波的复数表达式经典波的复数表达式沿沿+x方向运动的自由粒子波函数方向运动的自由粒子波函数称为称为 空间波函数空间波函数自由粒子自由粒子说明粒子在各处几率相同说明粒子在各处几率相同在三维空间中运动的自由粒子的波函数在三维空间中运动的自由粒子的波函数自由粒子非相对论条件下总自由粒子非相对论条件下总动能：动能：（（1）式对）式对t求导：求导：（（1）式对）式对x求二阶偏导数：求二阶偏导数：····（（1））（（4）、（）、（5）式比较：）式比较：自由粒子一维含时薛定谔方程自由粒子一维含时薛定谔方程三、一维自由粒子薛定谔方程三、一维自由粒子薛定谔方程1.一维有势场一维有势场U(x,t) 中的粒子中的粒子•经典关系式经典关系式•替换后关系式替换后关系式• 令其作用于波函数令其作用于波函数四、有势场四、有势场中粒子的薛定谔方程中粒子的薛定谔方程势场中的一维含时薛定谔方程势场中的一维含时薛定谔方程若为三维粒子，薛定谔方程为：若为三维粒子，薛定谔方程为：引入拉普拉斯算符引入拉普拉斯算符三维含时薛定谔方程：三维含时薛定谔方程：2.三维有势场三维有势场U (r , t) 中的粒子中的粒子3.3.定态薛定谔方程（重点）定态薛定谔方程（重点）若粒子在恒定势场中运动，若粒子在恒定势场中运动，( (含常数势场含常数势场U U = = U U0 0 ) ) 即即与时间与时间 t 无关无关1））能量能量 E 不随时间变化；不随时间变化；2））概率密度概率密度 不随时间变化不随时间变化 .定态波函数性质定态波函数性质这时波函数就可这时波函数就可分离变量分离变量求解求解波函数写成波函数写成 代入代入得得左右两边同除左右两边同除得得上式上式 左边是左边是 t 的函数　　　的函数　　　且两且两变量相互独立变量相互独立两边两边必须必须等等于于同一个常同一个常量量时才成立时才成立令令常量常量＝＝E得到两个独立的方程得到两个独立的方程的的函数函数右边是右边是(1)(2)解方程（解方程（1）得）得－振动因子－振动因子 1 ) ) E 的量纲是的量纲是能量的量纲能量的量纲 所以所以E 代表粒子的能量代表粒子的能量 2 ) ) C 可以是复数可以是复数 讨论讨论 一维定态薛定谔方程：一维定态薛定谔方程：•只只有有一一些些特特定定的的E 值值才才能能使使定定态态薛薛定定谔谔方方程程的解满足波函数的物理条件的解满足波函数的物理条件- -能量量子化能量量子化•特定的特定的E值称为值称为能量本征值能量本征值•各各E值值所对应的所对应的 叫叫能量本征函数能量本征函数故该方程又称为：故该方程又称为：能量本征值方程能量本征值方程•定态定态: : 能量取确定值的状态能量取确定值的状态•定态波函数定态波函数1. .由由粒粒子子运运动动的的实实际际情情况况，，正正确确地地写写出出势势函数函数U( (x) )五、量子力学解题的一般思路五、量子力学解题的一般思路2.代入定态薛定谔方程代入定态薛定谔方程3.解方程解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量求出概率密度分布及其他力学量a金属金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极极限限U=0EU→∞→∞U→∞→∞U(x)x0a 无限深方势阱无限深方势阱 (potential well））一维无限深方形势阱一维无限深方形势阱功函数功函数六、薛定谔方程应用举例六、薛定谔方程应用举例在势阱内在势阱内受力受力为为零零, ,势能为势能为零零, ,在阱内在阱内自由自由运动运动在在阱阱外外势势能能为为无无穷穷大大, ,在在阱阱壁壁上上受受极极大大的的斥斥力力, ,不能到阱外不能到阱外 1））是固体物理金属中自由电子的简化模型；是固体物理金属中自由电子的简化模型； 2））数学运算简单，量子力学的基本概念、原理数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来在其中以简洁的形式表示出来 .意义意义1.势函数势函数阱外阱外阱内阱内   -a/2a/20; 2/(ax-£2.分区求通解分区求通解阱外阱外:根据波函数有限的条件根据波函数有限的条件阱内阱内：：令令将方程写成将方程写成通解通解式中式中 A 和和 φ 是待定常数是待定常数由波函数标准条件和边界条件定特解由波函数标准条件和边界条件定特解由波函数在由波函数在x=-a/2x=-a/2和和x=a/2x=a/2处连续，得：处连续，得：由波函数在由波函数在x=-a/2x=-a/2和和x=a/2x=a/2处连续：处连续：合并得：合并得：能量可能值能量可能值 波动方程波动方程 波函数波函数能量可能值能量可能值1 ) )每个可能的值叫每个可能的值叫能量本征值能量本征值 2 ) )粒子能量取值分立粒子能量取值分立 ( (能级概念能级概念) ) 能量量子化能量量子化 3 ) )最低能量不为零最低能量不为零 波粒二象性波粒二象性的必然结果的必然结果 4 ) )当当n趋于无穷时趋于无穷时 能量趋于连续能量趋于连续 5 ) )波函数的空间部分称为波函数的空间部分称为能量本征函数。

能量本征函数讨论讨论3本征函数本征函数 由归一性质由归一性质 定常数定常数 A得得•能量本征函数能量本征函数考虑到考虑到振动因子振动因子•能量本征波函数能量本征波函数每每个个能能量量本本征征波波函函数数所所描描述述的的粒粒子子的的状状态态称称为粒子的为粒子的能量本征态能量本征态4. 概率密度概率密度小结：本征能量和本征函数的可能取值小结：本征能量和本征函数的可能取值一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度-a/2a/2a/2-a/25、粒子在势阱内动量为、粒子在势阱内动量为说明势阱中粒子的每一个说明势阱中粒子的每一个能量本征态能量本征态正好对应于正好对应于德布罗意波的一个特定波长的德布罗意波的一个特定波长的驻波势阱中粒子的势阱中粒子的波长波长七　对应原理七　对应原理 在某些在某些极限极限的条件下，量子规律可以的条件下，量子规律可以转化转化为经为经典规律典规律 . 势阱中相邻势阱中相邻能级能级之之差差能量能量 能级能级相对相对间隔间隔当当 时，时， ，能量视为，能量视为连续连续变化变化.例：例：电子在电子在 的势阱中的势阱中 .（（近似于连续近似于连续））当当 时时, （（能量分立能量分立）） 当当 很大时，很大时， ，量子效应不，量子效应不明显，能量可视为明显，能量可视为连续连续变化，此即为变化，此即为经典对应经典对应 .物理意义物理意义八　一维方势垒八　一维方势垒 隧道效应隧道效应 一维方势垒一维方势垒粒子的能量粒子的能量隧道效应隧道效应 从左方射入从左方射入的粒子，在各区的粒子，在各区域内的波函数域内的波函数 粒子的能量虽粒子的能量虽不不足以足以超越势垒超越势垒 , 但在势垒中似但在势垒中似乎有一个隧道乎有一个隧道, 能使少量能使少量粒子穿过而进入粒子穿过而进入 的区域的区域 , 所以人们形象地所以人们形象地称之为称之为隧道效应隧道效应 .隧道效应的本质隧道效应的本质 : 来源于微观粒子的波粒二相性来源于微观粒子的波粒二相性 .量子围栏照片量子围栏照片 1981年宾尼希和罗雷尔年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成了扫描遂利用电子的隧道效应制成了扫描遂穿显微镜穿显微镜 ( STM ), 可观测固体表可观测固体表面原子排列的状况面原子排列的状况 . 1986年宾尼年宾尼希又研制了原子力显微镜希又研制了原子力显微镜. 应用应用 。