第十讲开放课数学开放题.ppt

•复习：关于数学问题的几点认识•数学问题的三个特征：• 目标性、障碍性、相对性•数学问题的三个要素：•￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿目标、已知信息、障碍目标、已知信息、障碍•“解决问题”在小学数学教育中的地位：：•在《数学课程标准》中确定为“发展                                  性领域”中的重要内容    1.“数学开放题数学开放题”的描述性界定：的描述性界定：       数学开放题是指那些答案不唯一，并在提问方式上要求学生进行多角度，多层次探索的数学问题     2.“数学开放题数学开放题”的特征的特征￿￿￿￿数学开放题的基本特征：答案不唯一小学数学开放题的分类（（1）条件开放题）条件开放题       （（2）策略开放题）策略开放题（（3）结论开放题）结论开放题       （（4）综合开放题）综合开放题第十讲第五章￿￿特殊的数学问题——数学开放题（2）•主要内容：•第五章    特殊的数学问题——数学开放题•二、￿数学开放题的编制•三、数学开放题的教学策略四、教学评价(考试)中的开放题•五、一组小学数学开放题赏析•教学目标•★ 掌握编制数学开放题的四种方法•★了解数学开放题在小学数学教育中的策略•★了解了解数学开放题在教学评价中的应用•二、数学开放题的编制二、数学开放题的编制•方法1￿弱化陈题条件,使其结论开放•方法２隐去陈题的结论，使其指向多样化•方法３￿在既定的条件或关系下，探讨多种结论•方法４比较某些对象的异同点编制数学开放题的四种方法编制数学开放题的四种方法方法1￿弱化陈题条件，使其结论开放•例例1   249四舍五入到整百是多少？四舍五入到整百是多少？•弱化条件后，给出开放题：弱化条件后，给出开放题：•题题1 -1有一个数用有一个数用“四舍五入法四舍五入法”精确到百位，近似精确到百位，近似地等于地等于200，这个数是多少？，这个数是多少？• 【【分析与参考答案分析与参考答案】】 把一个数用把一个数用“四舍五入法四舍五入法”精确到百位，精确到百位，主要是看这个数的十位，根据十位上的数是否大于主要是看这个数的十位，根据十位上的数是否大于5，可以分，可以分为以下两种情况：为以下两种情况：•    （（1）十位上的数小于）十位上的数小于5。

这时去掉十位上的数，百位上的这时去掉十位上的数，百位上的数不作变化，得到的近似数比原数要小，满足条件的数有：数不作变化，得到的近似数比原数要小，满足条件的数有：249，，248，，247，，246，，…，，201，，200•    （（2）十位上的数大于或等于）十位上的数大于或等于5这时去掉十位上的数，百这时去掉十位上的数，百位上的数要加位上的数要加1，得到近似数比原数要大，满足条件的数有：，得到近似数比原数要大，满足条件的数有：150，，151，，152，，…，，199    例例2   小朋友共做小朋友共做红红花、花、黄黄花、花、紫紫花花39朵，其中朵，其中做黄花做黄花18朵，紫花朵，紫花10朵做红花多少朵？朵做红花多少朵？• 这是一个二步应用题是封闭的如果略去条件“共做红花、黄花、紫花39朵”就成为条件开放题了：•题题2-1  小朋友做黄花小朋友做黄花1818朵，紫花朵，紫花1010朵，做红花多朵，做红花多少朵？少朵？• • 【【分析与参考答案分析与参考答案】】这种题用于教学时，学生试做时会这种题用于教学时，学生试做时会发现条件不充分，于是从自己持有的认识角度出发，可以发现条件不充分，于是从自己持有的认识角度出发，可以至少补充一种条件并解答。

比如除例至少补充一种条件并解答比如除例2 2的条件外，可以补的条件外，可以补充充：“红花比黄花和紫花的和多（少）2朵”，这样的改这样的改造可以有十几种之多由此可见弱化陈题条件使其不充分造可以有十几种之多由此可见弱化陈题条件使其不充分可以得到很实用的开放题，并且能培养学生的创新意识可以得到很实用的开放题，并且能培养学生的创新意识   例例3 用简便算法计算用简便算法计算   25×43×4•这是在复习整数乘法的简便算法时的基本题型，这是在复习整数乘法的简便算法时的基本题型，是封闭题略去其中的数是封闭题略去其中的数4可变封闭题为开放题可变封闭题为开放题•题3-1￿￿请学生将算式25×43×＿补充为能够进行简便运算的算式，并计算结果•【【分析与参考答案分析与参考答案】】题题3-1是一个条件开放是一个条件开放题可以写出很多的算式如题可以写出很多的算式如“25×43×4”、         “25×43×8”、“25×43+25×57”、“25×43-25×3”等方法２隐去陈题的结论，使其指向多样化•例例3 男生是女生的男生是女生的4/5，男生和女生谁是单位，男生和女生谁是单位1？？•隐去结论则可以得到一个结论开放题•题题3-1  从从“男生是女生的男生是女生的4/5”这个条件中你会发这个条件中你会发现什么？现什么？• 【【分析与参考答案分析与参考答案】】 这是一道结论开放题引导学生发现这是一道结论开放题引导学生发现问题的开放性，发现学习本身也包含着自己从现象中找到问题的开放性，发现学习本身也包含着自己从现象中找到问题的过程。

问题一提出，学生就会活跃起来，他们用自问题的过程问题一提出，学生就会活跃起来，他们用自己的知识体验会找到不少答案：己的知识体验会找到不少答案：•（（1）女生）女生5份男生份男生4份；（份；（2）女生是单位）女生是单位“1”；；•（（3）男生与女生的比是）男生与女生的比是4：：5；；•（（4）男生与女生共）男生与女生共9份等等方法３￿在既定的条件或关系下，探讨多种结论• 题题4 在下面的（在下面的（  ）里填上合适的单位）里填上合适的单位,使不等式使不等式成立成立•    0.5(     )＜＜0.5(     )＜＜0.5(      )•【【分析与参考答案分析与参考答案】】 结论开放题结论开放题•要在括号里填上合适的单位名称使不等式成立，可以看出要在括号里填上合适的单位名称使不等式成立，可以看出所填的单位名称一定是按从小到大的顺序排列已经学过所填的单位名称一定是按从小到大的顺序排列已经学过的单位名称有以下几类：的单位名称有以下几类：•长度单位：毫米、厘米、分米、米、千米长度单位：毫米、厘米、分米、米、千米•质量单位：克、千克、吨质量单位：克、千克、吨•面积单位：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平面积单位：平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。

方千米•时间单位：秒、分、时、日、月、年时间单位：秒、分、时、日、月、年 •只要从上面所列的同一类单位当中任意选择三个只要从上面所列的同一类单位当中任意选择三个就能完成填空例如，选择面积单位就有以下几就能完成填空例如，选择面积单位就有以下几种填法：种填法：•0.5(平方毫米平方毫米)＜＜0.5(平方厘米平方厘米)＜＜0.5(平方分米平方分米)•   0.5(平方厘米平方厘米)＜＜0.5(平方分米平方分米)＜＜0.5(平方米平方米)•0.5(平方分米平方分米)＜＜0.5(平方米平方米)＜＜0.5(平方千米平方千米)•                   ……•题4   一个车间计划一个车间计划40天生产天生产1200个零件，实际个零件，实际前前16天生产了天生产了560个照这样计算，能不能按时个照这样计算，能不能按时完成任务完成任务?•【【分析与参考答案分析与参考答案】】 结论开放题结论开放题 •560÷16 ×40=1400(个)，　　1400 〉1200 •能按时完成能按时完成•但老师应该鼓励学有余力的学生探索多样的解决方法除但老师应该鼓励学有余力的学生探索多样的解决方法除了比较工作量以外，我们还可以比较工作时间和工作效率。

了比较工作量以外，我们还可以比较工作时间和工作效率•(1)比较工作时间比较工作时间:•1200÷(560÷16) =34(天天)  34<40•或或 560÷(1200÷40 ) =18.6 (天天)  18.6>16•(2)比较工作效率比较工作效率:•1200÷40=30(个)  560÷16=35(个)   35>30方法４比较某些对象的异同点题题5  在２在２,4,6,7,10这五个数中这五个数中,哪一个与众不同哪一个与众不同?       请说出这个数与其它数的三种不同请说出这个数与其它数的三种不同分析与参考答案分析与参考答案】】结论开放结论开放   发现给出的对象的共点和相异点，对对象比较异同发现给出的对象的共点和相异点，对对象比较异同或加以分类．或加以分类．   7是奇数，是奇数，2是偶质数，是偶质数，10是是5的倍数等等的倍数等等   答案一、答案一、2与众不同与众不同2是偶质数，是最小的正偶数，是偶质数，是最小的正偶数，能分解成两个能分解成两个1的和的和.•2000年的语文高考作文题年的语文高考作文题:•观察下列图形中观察下列图形中,哪个与众不同哪个与众不同?根据你的观察完成根据你的观察完成一篇说明生活是丰富多彩的作文一篇说明生活是丰富多彩的作文.•把数学开放题综合到语文问题中把数学开放题综合到语文问题中,是一种很有意义是一种很有意义的尝试的尝试.其实这种尝试在许多方面都有体现其实这种尝试在许多方面都有体现,例如在例如在2006复旦大学的自主招生中就出现了这样一个问复旦大学的自主招生中就出现了这样一个问题题:问学生面前的一杯水能用来干什么问学生面前的一杯水能用来干什么?三、数学开放题的教学策略三、数学开放题的教学策略•1、以问题为核心，激发学生的学习兴趣、以问题为核心，激发学生的学习兴趣•2、引导学生自主筛选信息，积极探索方法、引导学生自主筛选信息，积极探索方法•3、培养学生大胆表达和积极提问的学习习惯、培养学生大胆表达和积极提问的学习习惯•4、把握数学开放题的创造性特点，培养学生的创、把握数学开放题的创造性特点，培养学生的创新能力新能力•开放题的特点开放题的特点•①①  问题的条件问题的条件----常常是不完备的常常是不完备的；；•②②  问题的答案问题的答案-----是不确定的，具有层次是不确定的，具有层次性性。

•③③  问题的解决策略问题的解决策略----具有非常规性、发散具有非常规性、发散性和创新性性和创新性•④④  问题的研究问题的研究----具有探索性和发展性具有探索性和发展性•⑤⑤  问题的教学问题的教学----具有参与性和学生主体性具有参与性和学生主体性1、以问题为核心，激发学生的学习兴趣、以问题为核心，激发学生的学习兴趣•       现代教学论指出，产生学习动力的根本原因现代教学论指出，产生学习动力的根本原因是问题，没有问题就难以激发求知欲，没有问题，是问题，没有问题就难以激发求知欲，没有问题，感觉不到问题的存在，学生就不会去深入思考，感觉不到问题的存在，学生就不会去深入思考，那么学习也只能是表层和形式的数学开放题具那么学习也只能是表层和形式的数学开放题具有有趣味性和挑战性，趣味性和挑战性，非常适合激发学生学习的兴非常适合激发学生学习的兴趣，培养学生的问题意识趣，培养学生的问题意识 •    由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用在课堂教学中难以使用“灌输式灌输式”的教学方法，的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。

一些学生希望老师与学生一起常自然和必要的一些学生希望老师与学生一起来分享这种成功的喜悦，任何一个好教师都不会来分享这种成功的喜悦，任何一个好教师都不会压制学生的这种愿望，这就使课堂教学自然地走压制学生的这种愿望，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学 例例1  开放题开放题“围土地围土地”：有一根：有一根12厘米长的线绳和厘米长的线绳和一张长一张长20厘米、宽厘米、宽12厘米的长方形白纸请问你能厘米的长方形白纸请问你能用线绳在白纸上围多少土地？用线绳在白纸上围多少土地？•（每位学生准备一根（每位学生准备一根12厘米长的线绳和一张长厘米长的线绳和一张长20厘米、宽厘米、宽12厘米的长厘米的长方形白纸方形白纸 ））•【【分析与参考答案分析与参考答案】】此综合开放题具备了数学问题此综合开放题具备了数学问题的三个典型特征：目标性、障碍性、已知信息的三个典型特征：目标性、障碍性、已知信息•目标性体现在围成能计算面积的目标性体现在围成能计算面积的“土地土地”，并能计算出土，并能计算出土地的面积地的面积•障碍性表现在障碍性表现在“开放开放”上，上，“土地土地”的形状和面积计算比的形状和面积计算比较开放，但是正是这种开放使得学生要调动已知的知识，较开放，但是正是这种开放使得学生要调动已知的知识，运用已知的方法清除障碍实现目标。

运用已知的方法清除障碍实现目标•       此开放题涉及知识面广，知识点多，既要充分考虑此开放题涉及知识面广，知识点多，既要充分考虑如何去围，又要计算围到了多少面积，还要进行比较因如何去围，又要计算围到了多少面积，还要进行比较因此问题极富挑战性，但因为有实物操作，教师就创造了宽此问题极富挑战性，但因为有实物操作，教师就创造了宽松的课堂氛围，学生可以独立思索，也可以小组研究，这松的课堂氛围，学生可以独立思索，也可以小组研究，这样就马上调动起了学生学习的兴趣大家热情高涨，得出样就马上调动起了学生学习的兴趣大家热情高涨，得出的方案肯定也丰富多彩，有围长方形的、有围正方形的、的方案肯定也丰富多彩，有围长方形的、有围正方形的、有围圆和半圆的有围圆和半圆的……课上最好让学生一个个上台展示他们课上最好让学生一个个上台展示他们的研究成果，数学课不仅仅是数学课，更是学生向我们展的研究成果，数学课不仅仅是数学课，更是学生向我们展示知识与能力的表演课示知识与能力的表演课例例2  开放题开放题“溶液配置溶液配置”：怎样把：怎样把50千克含盐千克含盐 10%的盐水的盐水变成含盐变成含盐20%的盐水？的盐水？ •【【分析与参考答案分析与参考答案】】此策略开放题具备了数学问题的三个典型特征：此策略开放题具备了数学问题的三个典型特征：目标性、障碍性、已知信息。

目标性、障碍性、已知信息•目标性体现在完成要求的溶液配置并能用数学计算及相关的科学知目标性体现在完成要求的溶液配置并能用数学计算及相关的科学知识说明道理识说明道理•障碍性表现在配置的方法上障碍性表现在配置的方法上•已知信息是小学四年级的学生已经学习了浓度问题的数学计算方法已知信息是小学四年级的学生已经学习了浓度问题的数学计算方法•这是一道典型的数学开放题，既贴近学生的生活实际，又离学生的数这是一道典型的数学开放题，既贴近学生的生活实际，又离学生的数学基础不很远自然会引起学生从不同角度进行思考、分析和讨论学基础不很远自然会引起学生从不同角度进行思考、分析和讨论•（（1）可以加盐提高浓度；）可以加盐提高浓度；•（（2）可以将水蒸发掉一部分从而提高浓度；）可以将水蒸发掉一部分从而提高浓度；•（（3）可以加入浓度更大的盐水提高浓度不同的解决问题的思路和）可以加入浓度更大的盐水提高浓度不同的解决问题的思路和方法可以激活学生的思维，激发学生的学习兴趣方法可以激活学生的思维，激发学生的学习兴趣 2、引导学生自主筛选信息，积极探索方法、引导学生自主筛选信息，积极探索方法•    在教学中引导学生自主筛选信息，积极探索方法的学在教学中引导学生自主筛选信息，积极探索方法的学习品质。

在开放题中，要么条件不充分，要么答案不唯一，习品质在开放题中，要么条件不充分，要么答案不唯一，要么解题策略多样化学生没有现成的解答模式去解决开要么解题策略多样化学生没有现成的解答模式去解决开放题，必须经过深刻地、主动地思考，从纷繁的信息中筛放题，必须经过深刻地、主动地思考，从纷繁的信息中筛选有用的条件，自己设计方案，不断尝试、探索、否定，选有用的条件，自己设计方案，不断尝试、探索、否定，这样的学习途径非常有利于培养学生的主动意识和探究能这样的学习途径非常有利于培养学生的主动意识和探究能力 例例3  兔妈妈桌上放了兔妈妈桌上放了10颗糖，弟弟上学还没回家，妈妈让哥颗糖，弟弟上学还没回家，妈妈让哥哥姐姐两人先拿同样多的颗数，剩下的给弟弟你们觉得哥哥姐姐两人先拿同样多的颗数，剩下的给弟弟你们觉得哥哥、姐姐每人会拿几颗？剩下几颗给弟弟？哥、姐姐每人会拿几颗？剩下几颗给弟弟？•【【分析与参考答案分析与参考答案】】此综合开放题在教学此综合开放题在教学““求剩余为基本数量关系的求剩余为基本数量关系的两步计算应用题两步计算应用题””时采用，创设了这么一个开放情境，同学想出了许时采用，创设了这么一个开放情境，同学想出了许多算法，有个别学生还想出一些有创意的算法：多算法，有个别学生还想出一些有创意的算法：•10÷2=110÷2=1（颗）（颗）……8……8（颗）（分给（颗）（分给2 2个人，每人个人，每人1 1颗，余下颗，余下8 8颗给弟弟）；颗给弟弟）；•10÷2=210÷2=2（颗）（颗）……6……6（颗）；（颗）；10÷3=110÷3=1（颗）（颗）……7……7（颗）；（颗）；10÷3=210÷3=2（颗）（颗）……4……4（颗）。

颗）•正因为该问题具有开放性，能挖掘不同层次学生的潜能，所以才出现正因为该问题具有开放性，能挖掘不同层次学生的潜能，所以才出现了了““中下生吃得了，优等生吃得好中下生吃得了，优等生吃得好””3 3、培养学生的数学表述和提问、质疑的学习习惯、培养学生的数学表述和提问、质疑的学习习惯•   在数学教学中培养学生准确、简捷、流畅地表述数学问在数学教学中培养学生准确、简捷、流畅地表述数学问题，并能养成善于真对数学问题提问质疑的学习习惯，无疑题，并能养成善于真对数学问题提问质疑的学习习惯，无疑是新课程标准所要求的其实这也是数学教学的主要任务之是新课程标准所要求的其实这也是数学教学的主要任务之一由于数学开放题的知识点综合性强，浅层次可以达到数一由于数学开放题的知识点综合性强，浅层次可以达到数学基础知识的理解和掌握，高层次可以上升到数学知识的迁学基础知识的理解和掌握，高层次可以上升到数学知识的迁移运用和数学思想方法的领悟不同的学生在开放题中可以移运用和数学思想方法的领悟不同的学生在开放题中可以针对自己的学习状况进行数学的表述、提问和质疑，从而得针对自己的学习状况进行数学的表述、提问和质疑，从而得到不同的收获，不同的发展，并体验到成功感、愉快感和满到不同的收获，不同的发展，并体验到成功感、愉快感和满足感，增加对数学学习的兴趣。

足感，增加对数学学习的兴趣 课堂教学实例分析课堂教学实例分析•    三年级小学数学课：学生刚学完笔算一个数乘一位数的三年级小学数学课：学生刚学完笔算一个数乘一位数的第一节课时（不进位和一次进位），屏幕上出现下面的问第一节课时（不进位和一次进位），屏幕上出现下面的问题：题：在在□中可以添上什么数可以得到一个数乘以一中可以添上什么数可以得到一个数乘以一位数的算式？结果是多少？位数的算式？结果是多少？•         □□□□×3=             •有学生说：有学生说：“可以填任何数可以填任何数•有学生说：有学生说：“千位不能填千位不能填0，其他各位可填任何数其他各位可填任何数•老师说：老师说：“如果要求只能进一次位呢？如果要求只能进一次位呢？□中可以填中可以填几？几？”•学生的思维被打开了，专注于问题中一会儿，有的学生学生的思维被打开了，专注于问题中一会儿，有的学生填出了填出了2道，有的学生填出了道，有的学生填出了5道，更多的学生填出了道，更多的学生填出了10几道，还有学生说可能有几道，还有学生说可能有50多道吧•待学生交流后，老师又问：你有什么发现吗？待学生交流后，老师又问：你有什么发现吗？•有学生说：有学生说：“乘乘3要进位，填的数必须比要进位，填的数必须比4大。

大•有学生说：有学生说：“只要第一个因数上有一位数大于只要第一个因数上有一位数大于4就行•还有学生说：还有学生说：“哪一位上填哪一位上填4，前一位就不能填，前一位就不能填3，因为如，因为如果填了，那就要二次进位了果填了，那就要二次进位了•开放题开放题不要求每个学生都能填出几十道，甚至几百道，不要求每个学生都能填出几十道，甚至几百道，但只要学生去思考了，并且能用数学的语言、方法去表述、但只要学生去思考了，并且能用数学的语言、方法去表述、用数学的方式去实践了就好；开放题也不要求每个学生都用数学的方式去实践了就好；开放题也不要求每个学生都要找出填写数的规律，但只要学生能聆听别人发言，进行要找出填写数的规律，但只要学生能聆听别人发言，进行判断、质疑，从中学习数学的批判和反思无疑是十分有益判断、质疑，从中学习数学的批判和反思无疑是十分有益的•4 4、把握数学开放题的创造性特点，培养学生的创新能力、把握数学开放题的创造性特点，培养学生的创新能力•把握数学开放题的创造性特点，在教学中培养学生的创新把握数学开放题的创造性特点，在教学中培养学生的创新能力在数学开放题的教学、解答过程中，常常会引出在数学开放题的教学、解答过程中，常常会引出一些新的问题，也有可能从特殊引申到一般的情形。

因此，一些新的问题，也有可能从特殊引申到一般的情形因此，开放题教学对转变学生学习方式的积极影响力是不可低估开放题教学对转变学生学习方式的积极影响力是不可低估的的 四、教学评价四、教学评价( (考试考试) )中的开放题中的开放题•  题题1  写出经过点写出经过点(0,3)的一条抛物线的解析式的一条抛物线的解析式 •( (广州广州20002000年中考题年中考题) )•  题题2 已知点已知点P在第二象限在第二象限,其横坐标与纵坐标之和其横坐标与纵坐标之和为为1,P点坐标可以是点坐标可以是 (只要求写出符合条件的一个只要求写出符合条件的一个即可即可) •(2000(2000年广州中考题年广州中考题) )•小学三年级数学期终试题小学三年级数学期终试题  •       平平要过生日了，如果给你平平要过生日了，如果给你12元钱，元钱，请他与你一起去游乐场玩，你们准备玩哪请他与你一起去游乐场玩，你们准备玩哪些项目，怎样玩？请你计划一下游乐场些项目，怎样玩？请你计划一下游乐场有以下几个游玩项目：碰碰车有以下几个游玩项目：碰碰车4元元/2人，游人，游乐船乐船8元元/2人，木马人，木马1元元/1人，过山车人，过山车2元元/1人人•由于试题取材于学生熟悉的生活，学生由于试题取材于学生熟悉的生活，学生“一见钟一见钟情情”，提高考试的兴趣，把考试看作生存的需要。

提高考试的兴趣，把考试看作生存的需要           题题3 如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中中,    当底面题四边形满足什么条件时有当底面题四边形满足什么条件时有A1C⊥⊥B1D1       (要求填一个你认为正确的条件即可要求填一个你认为正确的条件即可)       (1998年高考题年高考题)                                                     如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，中，        已知底面四边形是菱形，求证：已知底面四边形是菱形，求证：A1C⊥⊥B1D1A1D1B1C1BCDA•       在在2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷中也出现了这样一道开放题：中也出现了这样一道开放题：•题四题四  二、填空题二、填空题（（16）平面内的一个四边形为平行四边）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边平行类似地写出空间形的充要条件有多个，如两组对边平行类似地写出空间中一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：中一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：•充要条件充要条件①①________________________•充要条件充要条件②②________________________•参考答案：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形。

•注：上面给出了四个充要条件，如果考生写出其他正确答注：上面给出了四个充要条件，如果考生写出其他正确答案，同样给分案，同样给分•2000年的语文高考作文题年的语文高考作文题:•观察下列图形中观察下列图形中,哪个与众不同哪个与众不同?根据你的观察完成根据你的观察完成一篇说明生活是丰富多彩的作文一篇说明生活是丰富多彩的作文.•把数学开放题综合到语文问题中把数学开放题综合到语文问题中,是一种很有意义是一种很有意义的尝试的尝试.其实这种尝试在许多方面都有体现其实这种尝试在许多方面都有体现,例如在例如在2006复旦大学的自主招生中就出现了这样一个问复旦大学的自主招生中就出现了这样一个问题题:问学生面前的一杯水能用来干什么问学生面前的一杯水能用来干什么?•思考题思考题 下面是一道开放式的试题，请你分析该题下面是一道开放式的试题，请你分析该题的特点，的特点，     并结合实际情况谈谈开放式考试评价并结合实际情况谈谈开放式考试评价的特点的特点“珠峰与纸币珠峰与纸币”10张张1元新纸币叠起来大约厚元新纸币叠起来大约厚1毫米•(1)估计一下，估计一下，1亿张亿张1元新纸币叠起来的高度和世界第一元新纸币叠起来的高度和世界第一高峰珠穆朗玛峰（高高峰珠穆朗玛峰（高8848米）相比，哪个更高？米）相比，哪个更高？•(2)计算一下，计算一下，1亿张亿张1元新纸币叠起来的高度，然后检测元新纸币叠起来的高度，然后检测一下自己的估计正确吗？一下自己的估计正确吗？•(3)说说你的感受。

说说你的感受思考题思考题五、五、 一组小学数学开放题赏析一组小学数学开放题赏析•题1   小数“变身”（结论开放题）•     用用2，，3，，4和小数点和小数点“.”，能组成哪些不同的，能组成哪些不同的小数？小数？•【分析与参考答案分析与参考答案】 •方法一：方法一：用这三个数字和一个小数点组成的小数用这三个数字和一个小数点组成的小数有两类：一类是一位小数，另一类是两位小数有两类：一类是一位小数，另一类是两位小数我们先考虑一位小数，这个一位小数十分位上的我们先考虑一位小数，这个一位小数十分位上的数可以是数可以是2，，3，，4这三个数中的任意一个，当确定这三个数中的任意一个，当确定十分位的数后，组成整数部分的两个数字可以交十分位的数后，组成整数部分的两个数字可以交换位置，如换位置，如34.2,43.2即十分位上是即十分位上是2的一位小数的一位小数有两个同理可得：有两个同理可得：24.3，，42.3；；23.4，，32.4一位小数共有一位小数共有6个• •我们再考虑两位小数，可以先确定整数部分整我们再考虑两位小数，可以先确定整数部分整数部分可以是数部分可以是2，，3，，4这三个数中的任意一个。

整这三个数中的任意一个整数部分确定后，小数部分的两个数字可调换位置数部分确定后，小数部分的两个数字可调换位置得到两个两位小数，如得到两个两位小数，如2.34,2.43同理可得：同理可得：3.24，，3.42；；4.23，，4.32有6个两位小数个两位小数• 共有共有12个满足条件的小数个满足条件的小数•方法二：方法二：可以先用可以先用2，，3，，4这三个数字组成整数，这三个数字组成整数，如组成如组成234，然后再点上小数点得：，然后再点上小数点得：2.34,23.4,即即一个整数对应两个小数用一个整数对应两个小数用2，，3，，4可以组成可以组成6个个整数：整数：234，，243，，324，，342，，423，，432；；•对应的对应的12个小数是：个小数是：2.34,23.4；；2.43，，24.3；；3.24，，32.4；；3.42，，34.2；；4.23，，42.3• 题题2  因数与倍数（五年级下）因数与倍数（五年级下）•﹠﹠ 5的倍数有哪些？的倍数有哪些？ •﹠﹠ 说说你身边哪些数是偶数，哪些数是奇数？说说你身边哪些数是偶数，哪些数是奇数？•﹠﹠说从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组说从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。

成三位数•　奇数　奇数——　　　　　偶数　　　　　偶数——•２的倍数２的倍数——　　　５的倍数　　　５的倍数——•３的倍数３的倍数——　　　既是２的倍数又是３的倍数　　　既是２的倍数又是３的倍数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4305题题3  小数加减法（三年级下）小数加减法（三年级下）•　　３个城市城镇居３个城市城镇居民人均住房使用面民人均住房使用面积如右图你能提积如右图你能提出哪些问题？你能出哪些问题？你能解答提出的问题吗解答提出的问题吗？？•题题4 用你喜欢的方法计算（一年级下）用你喜欢的方法计算（一年级下）•１３－９＝　　１７－９＝　　　１２－９＝１３－９＝　　１７－９＝　　　１２－９＝•１５－９＝　　１８－９＝　　　１４－９＝１５－９＝　　１８－９＝　　　１４－９＝•题题5 5 班长的任务（条件开放题）班长的任务（条件开放题）• 五（五（1）班为绿化学校的小花园，派班长作代表，带）班为绿化学校的小花园，派班长作代表，带12元元钱去花市买花花市中出售的月季花钱去花市买花花市中出售的月季花0.6元一盆，茉莉花元一盆，茉莉花1元钱一盆如果要刚好把钱用完，而且不能只买一种花，元钱一盆。

如果要刚好把钱用完，而且不能只买一种花，该怎么买？该怎么买？•【【分析与参考答案分析与参考答案】】•      要使要使1212元钱正好用完，又不能只买一种花，我们可以元钱正好用完，又不能只买一种花，我们可以先从买月季花的盆数开始考虑因为茉莉花是先从买月季花的盆数开始考虑因为茉莉花是1 1元钱一盆，元钱一盆，无论买几盆，所用的钱肯定是整数而月季花是无论买几盆，所用的钱肯定是整数而月季花是0.60.6元一元一盆，只有买的盆数是盆，只有买的盆数是5 5的倍数时，买月季花的钱正好是整的倍数时，买月季花的钱正好是整数，才能符合把钱正好用完的要求那么当买了月季花后，数，才能符合把钱正好用完的要求那么当买了月季花后，剩下的钱还有几元，就买几盆茉莉花剩下的钱还有几元，就买几盆茉莉花 •由此，可以得到以下三种不同的购买方法：由此，可以得到以下三种不同的购买方法：•    1.买买5盆月季花，盆月季花，9盆茉莉花盆茉莉花•6×5+1×9=12（元）（元）•    2.买买10盆月季花，盆月季花，6盆茉莉花盆茉莉花•6×10+1×6=12（元）（元）•    3.买买15盆月季花，盆月季花，3盆茉莉花盆茉莉花。

•6×15+1×3=12（元）（元）•题6￿巧拼台布（策略开放题）•      小明家有两块正方形的台布，边长都是小明家有两块正方形的台布，边长都是1米最近小明米最近小明家新买了一张边长是家新买了一张边长是1.3米的正方形的新桌子，两块台布米的正方形的新桌子，两块台布都不合适用了，丢掉又太可惜你能替小明想个办法，使都不合适用了，丢掉又太可惜你能替小明想个办法，使两块台布拼成一块正方形大台布（布料没有剩余），盖住两块台布拼成一块正方形大台布（布料没有剩余），盖住现在的新桌子吗？试一试现在的新桌子吗？试一试•【【分析与参考答案分析与参考答案】】• 两块边长是两块边长是1米的正方形台布，面积的总和是米的正方形台布，面积的总和是2平方米，平方米，新桌子的边长新桌子的边长1.3米，面积是米，面积是1.69平方米，两块台布拼起平方米，两块台布拼起来应该能盖住新桌子我们知道正方形的对角线比正方形来应该能盖住新桌子我们知道正方形的对角线比正方形的边长要长，因此，如果能沿着原来的正方形对角线剪开，的边长要长，因此，如果能沿着原来的正方形对角线剪开，通过适当的拼合以后，使得正方形新台布的边长是原来正通过适当的拼合以后，使得正方形新台布的边长是原来正方形的对角线的长度，这样就有可能盖住新桌子。

根据这方形的对角线的长度，这样就有可能盖住新桌子根据这样的思路，有以下一些拼法：样的思路，有以下一些拼法：• 方法一：如如图图所所示示，，把把其其中中一一块块台台布布沿沿两两条条对对角角线线剪剪开开，，可可以以得得到到四四个个相相等等的的等等腰腰直直角角三三角角形形，，再再把把它它们们缝缝在在另另一一块块台台布布的的四四边边上上面面，，就就可可以以得得到一块新的正方形大台布到一块新的正方形大台布• • 方法二：如图4.28-2所示，把两块台布都按一条对角线剪开，就可以得到四块大小相同的三角形台布，再把它们按直角边缝起来，就成了一块正方形大台布了• 方法三：如图所示，把两块台布都沿着两条对角如图所示，把两块台布都沿着两条对角线剪开，就可以得到八块大小相同的三角形台布，线剪开，就可以得到八块大小相同的三角形台布，再把它们两块一组沿斜边缝起来，就组成了四块再把它们两块一组沿斜边缝起来，就组成了四块大小相同的正方形台布，最后把它们缝成正方形大小相同的正方形台布，最后把它们缝成正方形大台布如果把两块小正方形台布平均分成更多更小的如果把两块小正方形台布平均分成更多更小的等腰直角三角形，那么也可以拼成大正方形台布。

等腰直角三角形，那么也可以拼成大正方形台布 •题题7  掷石子问题掷石子问题    A,B,C三人作掷石子的游戏三人作掷石子的游戏,结果如下图所示结果如下图所示.这个这个游戏是以石子离散的程度最小者为优胜游戏是以石子离散的程度最小者为优胜.想一想怎想一想怎样用样用“数数”来表示这个来表示这个“散度散度”？？•【【分析与参考答案分析与参考答案】】　　　　由于题中所要的由于题中所要的“散度散度”，并没有给出定义，也没有，并没有给出定义，也没有作出必要的描述，因此就留给解题者更大的作出必要的描述，因此就留给解题者更大的“想象空间想象空间”，对抽象、概括能力有更高的要求，具有更大的开放，对抽象、概括能力有更高的要求，具有更大的开放性和挑战性下面是可能思考到的一些方法：性和挑战性下面是可能思考到的一些方法：⑴⑴凭直觉，用肉眼确定；凭直觉，用肉眼确定；⑵⑵将这些石子看成钉在板子上的钉子，用一个伸缩自如的将这些石子看成钉在板子上的钉子，用一个伸缩自如的橡皮圈把他们围起来，就形成一个多边形（请注意：这橡皮圈把他们围起来，就形成一个多边形（请注意：这个多边形不一定是凸多边形），用这个多边形的面积来个多边形不一定是凸多边形），用这个多边形的面积来表示石子的表示石子的“散度散度”的大小．的大小．⑶⑶用上面这样的多边形的周长表示石子的用上面这样的多边形的周长表示石子的“散度散度”的大小的大小. •⑷⑷用连接两点之间的最长线段的长度表示用连接两点之间的最长线段的长度表示“散度散度”的大小；的大小；•⑸⑸用每两点之间的最短的线段的长度表示用每两点之间的最短的线段的长度表示“散度散度”的大小；的大小；•⑹⑹适当取一点，用这一点到其他各点的距离之和表示适当取一点，用这一点到其他各点的距离之和表示“散散度度”的大小；的大小；•⑺⑺覆盖各点的圆的最小半径；覆盖各点的圆的最小半径；•⑻⑻每两点之间的距离的平均值；每两点之间的距离的平均值；•⑼⑼每两点之间的距离的中数每两点之间的距离的中数.•（本题作者为日本学者泽田野夫）（本题作者为日本学者泽田野夫）•答：答： ““纸币与珠峰纸币与珠峰””这道题，符合开放考试题特点。

这道题，符合开放考试题特点•（（1 1））内容丰富形式诙谐内容丰富形式诙谐从1010张张1 1元新纸币叠起来大约厚元新纸币叠起来大约厚1 1毫米开始演算，计算出始演算，计算出1 1亿张新纸币叠起来大约是亿张新纸币叠起来大约是1000010000米，然后结合我国米，然后结合我国““珠峰珠峰””的高度的高度88488848米，比较体会米，比较体会1000010000米的高度内容丰富，形象诙米的高度内容丰富，形象诙谐，符合儿童认识特点，给孩子有个好心情谐，符合儿童认识特点，给孩子有个好心情•（（2 2））问题开放问题开放以往的数学试题往往要求生学案唯一，方法统一，以往的数学试题往往要求生学案唯一，方法统一，学生没有选择的余地，遇到记忆学生没有选择的余地，遇到记忆““盲区盲区””学生就可能六神无主该题学生就可能六神无主该题从学生的切身体会人手，如：有的学生从运动员攀登珠峰的情况谈起，从学生的切身体会人手，如：有的学生从运动员攀登珠峰的情况谈起，体会体会1000010000米的高度；有的学生从米的高度；有的学生从1313亿人口的祖国谈起，体会每人拿亿人口的祖国谈起，体会每人拿出出1 1元钱叠起来就可以造元钱叠起来就可以造1313座座““珠峰珠峰””的情境。

这样形式不拘，意义的情境这样形式不拘，意义深长，更能激发学生的想象力，有利于学生综合能力的提高和个性的深长，更能激发学生的想象力，有利于学生综合能力的提高和个性的发展•（（3 3））考试范围广泛考试范围广泛这道题既有数学知识又有地理常识，又能从世这道题既有数学知识又有地理常识，又能从世界第一高度的珠峰和界第一高度的珠峰和1313亿人口的祖国，渗透爱国主义教育亿人口的祖国，渗透爱国主义教育•一个著名的开放题：一个著名的开放题：在一个在一个3m×4m的矩形的矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛的面积是矩形的一半，请给出你的设计的面积是矩形的一半，请给出你的设计•（第（第17届国际数学教育心理学会议的公开课届国际数学教育心理学会议的公开课中的问题）中的问题）•对这样一个问题，可以建立几十种甚至上百对这样一个问题，可以建立几十种甚至上百中数学模型从这一显浅的例子中，可以看中数学模型从这一显浅的例子中，可以看到，数学抽象结果的多样性为数学创造提供到，数学抽象结果的多样性为数学创造提供了充分条件，而充分利用数学这一特性来指了充分条件，而充分利用数学这一特性来指导数学开放题教学，则为培养学生的创新意导数学开放题教学，则为培养学生的创新意识和创造能力开辟了道路。

识和创造能力开辟了道路⑴⑵⑵⑶⑶⑷⑷⑸⑸⑹⑹。