数学物理方法课件第四章 复变函数级数.doc

第四章 复变函数的级数 【教材第二章】无穷级数, 简称级数, 是一个重要的数学工具，在数学物理中有广泛的应用无穷级数分为"数项级数"和"函数项级数"两种基本类型如果一个无穷级数的每一项都是一个数，如，就称作数项级数 如果每一项都是一个函数，如，就称作函数项级数 在本章我们主要学习复变函数项级数的性质 在学习复变函数项级数之前，先简要复习一下有关复数项级数的一些基本概念和基本性质 § 2-1 复数项级数的一些基本性质1. 无穷级数： 将无穷多个数相加，写成的形式， 就称为无穷级数，记为 2. 无穷级数的收敛性问题： 无穷级数仅仅是一种形式上的相加, 这种加法是不是具有“和数”呢？ 这个“和数”的确切意义是什么呢？3. 收敛的无穷级数：定义无穷级数的前N项的和如果当时趋向于一个固定的极限值S， 就称该无穷级数收敛，该极限值S就是该无穷级数的“和”： 4. 发散的无穷级数：若当时的极限不存在，称无穷级数发散5. 复数项级数的收敛性问题： 如果无穷级数中的每一项均为复数，该级数就称为复数项级数 将复数项级数中的复数项表示为,其中分别为的实部和虚部，则: ,复数项级数的收敛问题就归结为两个实数项级数与的收敛问题。

6. 柯西收敛判据（判定一个数项级数是否收敛的充分必要条件，对实数项级数和复数项级数都成立）： 因为复数项级数的收敛问题可以归结为两个实数项级数的收敛问题，实数项级数的许多性质和规律常可直接移用于复数项级数如柯西收敛判据（判定一个实数项级数是否收敛的充分必要条件）对复数项级数也成立：复数项级数收敛的充分必要条件是，对于任意给定的，必定存在一个自然数，使得当时，，其中为任意自然数即自+1项起，后面任意有限项的和的绝对值都小于.特别地如取，则 ，即,收敛级数的通项的极限必定趋于0!.】7. 复数项级数的绝对收敛性： 若收敛，则称复数项级数绝对收敛一个绝对收敛的数项级数一定是收敛的反之则不然，即一个收敛的数项级数不一定是绝对收敛的8. 绝对收敛的判别法(对实数项和复数项级数都成立)：（1）比较判别法: 如果级数每一项的绝对值都小于（或等于）一个收敛的正项级数 的对应项, 即（对所有），则级数绝对收敛2）比值判别法和根式判别法： 如果当时，或趋向于一个确定的极限，则级数在时绝对收敛， 在时发散§ 2-2 复变函数项级数复变函数项级数，即级数中的每一项均为复变量的复变函数， 1．复变函数项级数的收敛性： (1) 点收敛: 若对某个区域内（或某根曲线上）的某一点 级数是收敛的，就称函数项级数在点收敛。

（2）域收敛: 若对区域内（或曲线上）的所有点， （或）都是收敛的，则称级数在区域内（或曲线上）收敛3) 和函数： 若级数在区域内（或曲线上）收敛（域收敛）， 则级数定义了区域内（或曲线上）的一个函数，对区域内（或曲线上）任一给定的，都有一个函数值（即级数的和）与之对应 【简单地说，函数是级数在区域内（或曲线上）的“和函数”，即是说对区域内（或曲线上）任一给定的，都有. 】2．复变函数项级数收敛的充分必要条件（柯西收敛判据）：复变函数项级数在区域内（或曲线上）上收敛的充要条件是: 对于任一给定的（或）和任意给定的正数，必定存在一个自然数，使当时，，其中为任意自然数 （即自第+1项起，后面任意有限项的和的绝对值都小于. 特别地如取，则 ，即 ）3. 复变函数项级数的绝对收敛性： 若在区域内（或曲线上）是收敛的，则称称在区域内（或曲线上）绝对收敛 在一个区域内（或曲线上）绝对收敛的函数项级数一定是收敛的反之则不然，即在一个区域内（或曲线上）收敛的函数项级数不一定是绝对收敛的4．复变函数项级数的一致收敛性： 复变函数项级数在区域内（或曲线上）一致收敛，是指不仅在区域内（或曲线上）上每一点都是收敛的，而且对于所有的（或所有的），任给，必定存在一个自然数（它与有关，但与无关）， 使当时，对所有的（或）都成立，其中为任意自然数。

【函数项级数在区域内(或曲线上)“收敛”与在区域内(或曲线上) “一致收敛”的区别是，对于通常意义上的“收敛”， 一般地是依赖于的，若与无关， 即为一致收敛 4. 一致收敛的复变函数项级数的一些性质性质一（判定一个函数项级数是否一致收敛的一种常用方法）： 如果对于区域D内（或曲线上）的所有点，级数每一项的绝对值都不大于一个收敛的正项级数(,对所有 )的对应项： ， 则级数在区域D内（或曲线上）绝对且一致收敛性质二（连续性）： 如果级数的每一项都是在区域D内（或曲线）的连续函数，并且级数在区域D内（或曲线）一致收敛于，则和函数也是区域D内（或曲线）的连续函数性质三（可积性）： 如果级数的每一项都是曲线上的连续函数，而且级数在曲线上一致收敛于，则级数可以沿这一曲线逐项积分：，即积分运算和求和运算的顺序可以交换性质四： 若复变函数项级数在区域D内（或曲线上）一致收敛， 而是区域D内（或曲线上）的一个有界的函数（例如连续函数），则乘以的每一项，所得到的级数也在在区域D内（或曲线上）且一致收敛性质五（维尔斯特拉斯定理，和函数的解析性）： 若复变函数项级数的各项均于区域内解析，且级数在区域内一致收敛于函数，则：⑴ 和函数也在区域内解析；⑵ 和函数在内可以逐项求导至任意多阶，并且（即求导运算与求和运算的顺序可以交换）。

维尔斯特拉斯定理只对一致收敛的解析函数项级数才成立§ 2-3 幂级数【P47-50】最重要的复变函数项级数是幂级数，即每一项均为复变量z的幂函数的级数：，其中都是复常数，称为以为中心的幂级数一）幂级数的收敛性阿贝尔定理：若幂级数在点收敛，则对以b为圆心并通过点的圆内部的所有点，级数都是绝对收敛的，并在任何一个略小于这圆的闭圆内一致收敛阿贝尔定理推论：若幂级数在点发散，则对以b为圆心并通过点的圆外面的所有点，级数都是发散的用反证法证明)阿贝尔定理的证明（略，不讲，不要求，有兴趣的同学自学）：由于复数项级数收敛，故有：，因而存在一个正数，使得对一切，都有： .这样一来，就有: 对以b为圆心并通过点的圆内的任意一点，因有，级数是一个收敛的等比级数，故知原幂级数在以b为圆心并通过点的圆内每一点都是收敛的，并且是绝对收敛下面证明幂级数在任何一个略小于这圆的闭圆内一致收敛为此将写成： ， ，因当在闭圆中时，有：，故对闭圆中的所有点，有：因为，正项级数是一个收敛的等比级数这意味着对闭圆中的所有点，幂级数的每一项的绝对值都不大于一个收敛的正项级数的对应项， 根据前述性质3，幂级数在闭圆中绝对而且一致收敛。

（二）幂级数的收敛圆和收敛半径：综合阿贝尔定理及其推论，对于幂级数，有：（1）若幂级数在某点收敛，则必在离展开中心更近的点收敛；（2）若幂级数在某点发散，则必在离展开中心更运的点发散 （3）幂级数的收敛区域与发散区域不会交错出现 ！！ 如此得到一个非常重要的结论： 对于幂级数，必然存在一个以展开中心为圆心的圆，在圆内级数收敛，而在圆外发散这个圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径R称为收敛半径至于在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析两种特殊情况：（1）收敛半径，幂级数在整个复平面上除圆心点之外的所有点都是发散的；（2）收敛半径，则幂级数在整个复平面上所有点都是收敛的三）幂级数的收敛半径的两种求法根据阿贝尔定理及其推论，幂级数在收敛圆内是绝对收敛的，因而可以利用这一定理来求收敛半径由正项级数的比值判别法可知， 如果：当时， ，则当时级数收敛，级数发散 亦即当时级数收敛，当时级数发散故幂级数 的收敛半径为：同样，由正项级数的根值判别法可得到求收敛半径的另一个公式：总结： 收敛半径通常有两种求法，即比值判别法和根值判别法： ， 例1：求的收敛半径解：，即级数在整个复平面上收敛。

例2：求 的收敛半径 解：，即级数只在时收敛四）幂级数在收敛圆内的性质1．幂级数在收敛圆内的一致收敛性：根据阿贝尔定理可知，幂级数在以b为圆心、任何一个略小于收敛圆的闭圆（ 略小于收敛圆的半径）内一致收敛 （ 在收敛圆周上各点幂级数是否收敛，则需要具体情况具体分析2． 幂级数在收敛圆内的解析性：因为幂级数在其收敛圆内是一致收敛的，同时的每一项均为的解析函数，所以其和函数 在收敛圆内解析，且可以逐项求导至任意阶，同时不改变收敛半径3．幂级数的系数与和函数的关系： 设，则：， ， ， ，此即为幂级数的系数与和函数的关系§2-4 复变函数的泰勒展开 (一) 泰勒定理：设函数在以为圆心、为半径的圆内解析，则对于圆内任一点z，函数f(z)能展开成以为中心的幂级数：， ，且展开式为唯一的证明： 设为圆内的任意一点，作一个圆周（如图）：，使点含于内, 并且在圆周上解析 由柯西积分公式得： 【注意： 】而 （推广的柯西积分公式） ， 其中 唯一性：设另有 ， 两边对求阶导数： 二) 将解析函数展开成泰勒级数的方法1．直接计算展开系数： 2．泰勒级数的唯一性使我们可以用任何方便的方法来求泰勒展开系数，而不一定要用来求。

例如利用初等函数的泰勒级数展开（特别是利用诸如，，三角函数等的泰勒级数展开）：例1：求在的泰勒展式解：在复平面上解析，在时的泰勒系数为 ，于是有 例2：求在的泰勒展开式解：， 【】 例3：求在的泰勒展开式解：令，则 例4：求在的泰勒展开式解： ，由于在内一致收敛于，， 例5：求在的泰勒展开式解： ，当 时， ，在时，级数收敛且，所以如果规定时，，就有 §2-5 罗朗级数（一）罗朗级数的定义和收敛区域1．罗朗级数： 在前面讲的幂级数中，幂次均为正，若一个级数既有正幂项，也有负幂项，即形如：， 则称为其为以为中心的罗朗级数 幂级数在解析，而对于罗朗级数，是它的奇点2．罗朗级数的收敛区域：将罗朗级数分成两部分：正幂部分： ，罗朗级数的正则或解析部分，负幂部分： ， 称为罗朗级数的主要部分对于正幂部分，设它的收敛圆为，在内，正幂部分是一个解析函数 对于负幂部分，可作变换 则负幂部分变为的幂级数：设它的收敛圆为，则当时，负幂部分是收敛的，且为区域内的解析函数 当时，由于 ，不能同时成立，正幂部分与负幂部分不存在公共收敛区域，从而罗朗级数不存在收敛区域，罗朗级数发散。

当时，正幂部分与负幂部分有公共收敛区域：圆环. 在此圆环内，罗朗级数是收敛的, 其和为该圆环内的一解析函数根据上面的讨论, 我们得到一个重要的结论： 罗朗级数如果收敛的话， 其收敛区域必为以展开中心为圆心的一个圆环型区域：. 圆环的外半径由级数的正幂部分决定，内半径由级数的负幂部分决定：, 几个特殊情况：如果负幂部分只有有限项， 则收敛区域为圆环：如果正幂部分只有有限项， 则收敛区域为圆环：如果正幂部分和负幂部分都只有有限项，则收敛区域为圆环：例. 求罗朗级数的。