[研究生入学考试题库]考研数学一模拟4411.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一模拟44一、填空题问题:1.答案:0问题:2.答案:问题:3.答案:π-2问题:4.答案:问题:5.答案:问题:6. 在y轴上的0≤y≤2一段上，有一根细棒，其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积，则其质心答案:1[分析]二、选择题问题:1.答案:C问题:2.答案:A问题:3.答案:D问题:4.答案:D问题:5.答案:A问题:6.答案:B问题:7.答案:C问题:8.答案:D三、解答题问题:1. 设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限答案:令x-t=u，则t=x-u，dt=-du 则 问题:2. 试证明不等式答案:[证明] 令 则 f'(x)=sec2x+2cosx-3 从而，f'(x)单调增，又f'(0)=0，则 由此得f(x)单调增，而f(0)=0，则 问题:3.答案:问题:4. (Ⅰ)证明罗尔定理，若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，f(a)=f(b)则，使得f'(ξ)=0． (Ⅱ)证明：若在区间I上f(n)(x)≠0，则函数f(x)在区间I上最多n个零点． 答案:(Ⅰ)由于f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m． i)若M=m，则，结论显然成立． ii)若M≠m，由于f(a)=f(b)，则f(x)在[a，b]上的最大值M和最小值m至少有一个在(a，b)内取得，不妨设最大值在x=ξ(ξ∈(a，b))处取到，由费马引理知f'(ξ)=0． (Ⅱ)反证法：若f(x)在区间I上的零点不止n个，则至少应有n+1个，不妨设为x1＜x2＜x3＜…＜xn+1，在区间[xi，xi+1](i=1，2，…，n)上分别用罗尔定理得，存在ξi∈(xi，xi+1)(i=1，2，…，n)，使f'(ξi)一0，即f(x)在I上至少有n个零点，在f'(x)的相邻两个零点之间对f'(x)用罗尔定理得f"(x)在区间I上至少有n-1个零点，以此类推，f(n)(x)在I上至少有一个零点，与题设矛盾，故原题得证．[评注] 本题(Ⅱ)中所证的结论可看作罗尔定理的推论，这个推论在讨论方程根的个数时是一个常用的结论． 问题:5.答案:问题:6. 问a取何值时，线性方程组 有唯一解?有无穷多解?无解? 答案: 记A为方程组的系数矩阵，为其增广矩阵． 由此可知 ①当a≠1，a≠-3时，r(A)=r()=4，方程组有唯一解； ②当a=1时，r(A)=r()=1，方程组有无穷多解； ③当a=-3时，r(A)=3，r()=4，方程组无解．[分析] 根据线性方程组相容性定理求解． 问题:7.答案: 问题:8. 设f'(x)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，f'(a)f'(b)＞0，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．答案:[证] 由于f'(a)f'(b)＞0，所以f'(a)，f'(b)同号，不妨假设f'(a)＞0，f'(b)＞0，则，根据极限的保号性可得：在(a，b)内至少存在一点C，使f(C)＞f(a)；在(a，b)内至少存在一点d，使f(d)＜f(b)．由f(a)=f(b)，所以函数f(x)在(a，b)内存在最大值x2与最小值点x1，而由费马定理知：f'(x1)=f'(x2)=0．对f'(x)在闭区间[x1，x2]上使用罗尔定理可得：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．[分析] 欲证结论为在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(n)(ξ)=0．此类命题解题的一般思路为：找[a，b]的一个子区间[x1，x2]，使得f(n-1)(x1)=f(n-1)(x2)．然后对f(n-1)(x)在[xl，x2]上使用罗尔中值定理即可．判断下列反常积分的敛散性，如果是收敛的求出反常积分值．9.答案: 是无穷区间上的反常积分．先求原函数，有 10.答案: 是无穷区间上的反常积分．先求原函数，有 11.答案: 是有界区间上的无界函数的反常积分，先求原函数，有 12.答案: 是有界区间上的无界函数的反常积分，先求原函数，有 由于 而，所以该反常积分发散．。