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线性代数二次型习题及答案.doc

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  • 卖家[上传人]:re****.1
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  • 上传时间:2023-11-19
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    • 精品文档,仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除第六章 二次型 1.设方阵与合同,与合同,证明与合同. 证:因为与合同,所以存在可逆矩,使, 因为与合同,所以存在可逆矩,使. 令 ,则可逆,于是有 即 与合同. 2.设对称,与合同,则对称证:由对称,故.因与合同,所以存在可逆矩阵,使,于是即为对称矩阵. 3.设A是n阶正定矩阵,B为n阶实对称矩阵,证明:存在n阶可逆矩阵P,使均为对角阵. 证:因为A是正定矩阵,所以存在可逆矩阵M,使记,则显然是实对称矩阵,于是存在正交矩阵Q,使 令P=MQ,则有同时合同对角阵. 4.设二次型,令,则二次型的秩等于. 证:方法一 将二次型f写成如下形式: 设A= 则 于是 故 = =X(AA)X 因为为对称矩阵,所以就是所求的二次型f的表示矩阵. 显然()=(A),故二次型f的秩为(A) .方法二 设. 记,于是,其中,则 因为为对称矩阵,所以就是所求的二次型f的表示矩阵. 显然()=(A),故二次型f的秩为(A) . 5.设为实对称可逆阵,为实二次型,则为正交阵可用正交变换将化成规范形. 证:设是的任意的特征值,因为是实对称可逆矩阵,所以是实数,且. 因为是实对称矩阵,故存在正交矩阵,在正交变换下,化为标准形,即 因为是正交矩阵,显然也是正交矩阵,由为对角实矩阵,故即知只能是或,这表明(*)恰为规范形. 因为为实对称可逆矩阵,故二次型的秩为. 设在正交变换下二次型化成规范形,于是其中为的正惯性指数,. 显然是正交矩阵,由,故,且有,故是正交矩阵. 6.设为实对称阵,,则存在非零列向量,使. 证:方法一 因为为实对称阵,所以可逆矩阵,使其中是的特征值,由,故至少存在一个特征值,使,取,则有 方法二(反证法) 若,都有,由为实对称阵,则为半正定矩阵,故与矛盾. 7.设n元实二次型,证明f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值. 解:设的特征值,则存在正交变换,使设是中最大者,当时,有因此这说明在=1的条件下f的最大值不超过. 设 则 令,则并且这说明f在达到,即f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值. 8.设正定,可逆,则正定. 证:因为正定,所以存在可逆矩阵,使,于是 ,显然为可逆矩阵,且,即是实对称阵,故正定. 9.设A为实对称矩阵,则A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B,使AB+正定. 证:先证必要性取,因为A为实对称矩阵,则当然是正定矩阵.再证充分性,用反证法.若A不是可逆阵,则r(A)

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