1自主招生备考中的方程思想.doc

备考985高校自主招生讲义 版权所有 翻录必究§1自主招生备考中的方程思想 方程思想是最基本、最重要的最基础的数学思想之一.它从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或不等式与方程的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使得问题得以解决. 应该注意的是，这里我们所说的方程思想与我们常见的列方程（组）不同，我们把一些看上去似乎与方程不发生明显联系的数学问题，运用方程思想而巧妙地使问题得以解决.1.待定系数法待定系数法的实质就是方程思想，它把待定的未知数与已知数等同起来看待，进而建立等式，即得方程.例1.当为何值时，能被整除？有时在已知的数集内进行因式分解也常用待定系数法，这里整除的实质就是分解因式.例2.证明：多项式能分解成两个一次式之积的充要条件是：例3. 若一元三次方程有三个不同的实数根，求证：针对练习1.已知实数满足，求的最值.2. 已知实数满足，求的最值.2.设元求解例4. 解不等式 （2009年南京大学）例5.在实数范围内解方程 （2005年复旦大学）例6.（1）已知，求的最值. （2015年清华大学） 这里是直接设待定式为未知数，通过解方程求出值而使其获证，比配方法或其它方法来得更加直观、明了.（2）求的值.这种方法的实质是作整体代换，通过某种变形后又回归出其自身的表过式，因此化归为解方程的问题.本例为某些非特殊角的三角函数求值问题提供了一种解题的参考方法.针对练习1.已知，且，求证：（南京大学强化班）2.已知，，且，求的最值.3.已知正数满足，求的最值.3.方程的构造3.1运用根的定义进行构造例7.函数的图象与坐标轴交于三个不同的点，已知的外心在直线上，求的值. （2013年北京大学暑期体验营）针对练习1.已知，且求的值.2.证明：若实数都不等于零，且满足，则成等比数列，且是公比.3.2运用根与系数的关系进行构造例8. 已知方程有3个实根，且.求证：（2008年南开大学）例9.设是实数，方程有三个正根.证明：，并且等号成立当且仅当这三个正根相等.（2014年北京大学中学生体验营）针对练习1. 设，使得方程有3个实根.证明：如果，则至少存在一个根在区间中.（2013年清华大学夏令营）2. 已知方程的三个根分别为，，，并且，，是不全为零的有理数，求，，的值. （2005年上海交通大学）3. 设实数、、、、、满足求证： （2008年北京大学）3.3运用判别式构造方程例10.证明柯西不等式. （2009年华东师范大学）例11.求函数的最大值. （2008年上海交通大学）针对练习：1.若，证明：成等差数列.2.在中，证明：3.求函数的值域.3.4 由待求式与条件式构造方程组例12.定义在上的函数满足，求的值. （2005年复旦大学）例13.已知，求的值.例14.设（）.（1）求证：；（2）设（），求的值.（2014年哈尔滨工程大学）针对练习1.已知函数满足，求的表达式.2.求的值.3.求证：对任意的正整数，必可表示成（）的形式.（例如：） （2012年北约联考）3.5挖掘隐含条件构造方程（组）例15.已知，且、均为整数，则这样的共有多少对？（2014年南开大学试点班）例16.已知，且，，求的表达式.针对练习1.找出所有实数，使得与同时为整数.（2014年北京大学中学生体验营）2.是否存在两两不同的实数，使直角坐标系中的三条直线，，共点? （2013年北京大学）3.设，且，求证：2。