天津世纪中学高三数学理下学期期末试题含解析.docx

天津世纪中学高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:    A型车                                  B型车出租天数34567车辆数330575出租天数34567车辆数101015105  根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系为 （   ）   A．        B． C．       D．无法判断 参考答案：B略2. 函数定义域为A.           B.          C.       D. 参考答案：D3. 已知双曲线的焦距为，抛物线与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(     )  A．        B．        C．        D． 参考答案：C略4. 集合，，则等于     （    ）A.      B、  C、   D、  参考答案：D5. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．6. 已知复数，若是实数，则实数的值为A．        B．         C． D．参考答案：7. 已知函数则的值为（A） （B）                （C）           （D）参考答案：C＝4＋2＝6，，选C。

8. 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝2x－x，则有(　　)A．  B．C． D． 参考答案：B9. 已知命题；命题的极大值为参考答案：B略10. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x. . 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（    ）A.   335         B.   338        C.   1678         D.   2012参考答案：【知识点】函数的周期性；函数的值．B1   B4菁【答案解析】B  解析：∵f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，又当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（﹣1）=﹣1=f（5），f（0）=0=f（6）；当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2﹣1+0+（﹣1）+0=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．故选B．【思路点拨】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6为周期的函数，可根据题目信息分别求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设是周期为2的奇函数，当时，，则          。

参考答案：12. .参考答案：13. 已知函数，则实数的值等于____参考答案：214. 已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为 ．参考答案：【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．15. 已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4，且f(x)导函数f ′(x)＜3，则不等式f(lnx)＞3lnx+1的解集为         参考答案：(0,e)构造函数 ，故函数 单调递减， ，即 . 16. 已知，数列的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn的最小值为　　．参考答案：﹣4考点： 定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案解答： 解：an=（2x+1）dx=（x2+x） =n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为Sn=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又bn=n﹣8，n∈N*，则bnSn=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故bnSn的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评： 本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．17. 已知向量，则____________．参考答案：5略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数，其导函数为，且.(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程(Ⅱ)求函数在[－1,1]上的最大值和最小值.参考答案：(1) .(2) ，.分析：（1）先由求出的值，再求出函数在点的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值详解： (Ⅰ)∵，∴.解得∴，∴，.∴曲线在点处切线方程为(Ⅱ)出(Ⅰ)，当时，解得或当变化时，，的变化情况如下表：-0+单调递减极小值单调递增 ∴的极小值为 又，∴，.点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题求出的值是解题的关键19. 在△ABC中，已知角A为锐角，且.（I）求f (A)的最大值；（II）若，求△ABC的三个内角和AC边的长.参考答案：解：（I）3分∵角A为锐角，取值最大值，其最大值为   （II）由在△ABC中，由正弦定理得：略20. 已知函数f（x）=xex﹣alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a，由导数的单调性，结合f′（1）=0，可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论①当b≤0时，求得f（x）的最小值，可得结论成立；②当0＜b≤e时，设g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），求出导数，构造函数h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，求得导数，判断单调性，可得g（x）最小值，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xex﹣alnx的导数为f′（x）=（x+1）ex﹣，x＞0，依题意得f′（1）=0，即2e﹣a=0，解得a=2e．所以f′（x）=（x+1）ex﹣，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．又b（x2﹣2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x2﹣2x+2）；②当0＜b≤e时，设g（x）=xex﹣2elnx﹣b（x2﹣2x+2），所以g′（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），令h（x）=（x+1）ex﹣﹣2b（x﹣1），x＞0，则h′（x）=（x+2）ex+﹣2b，当x∈（0，1）时，﹣2b≥0，（x+2）ex＞0，所以h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，（x+2）ex﹣2b＞0，＞0，所以h′（x）＞0．所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e﹣b≥0，所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x2﹣2x+2）．综上，当b≤e时，f（x）≥b（x2﹣2x+2）．21. 已知函数    （Ⅰ）判断函数 在上的单调性,并用单调函数的定义证明;    （Ⅱ）是否存在实数 使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（a-）-（a-）=，∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，对?x1，x2∈（-∞，0），2x1＜1，2x2＜1，即2x1-1＜0，2x2-1＜0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（-∞，0）上是增函数．同理可证f（x）在（0，+∞）上也是增函数．（2）若函数是奇函数，则f（-1）=f（1）?a=-1，当a=-1时，对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），-x∈（-∞，0）∪（0，+∞），∵f（-x）+f（x）=-1--1-=-2--=-2+2=0，∴f（-x）=-f（x），∴存在a=-1，使函数f（x）为奇函数．略22. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为．（Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程； （Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N ．（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；（2）求证：|MN|为定值．。