广西壮族自治区北海市合浦县公馆中学2021年高三数学文期末试题含解析.docx

广西壮族自治区北海市合浦县公馆中学2021年高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为(     )      A．                  B．C．              D．参考答案：C由三视图可知，该几何体为四棱锥四棱锥的高为2，底面矩形的两个边长分别为6,4.则侧面斜高,所以侧面积为，选C. 2. 将函数的图像按向量平移后所得函数图像的解析式为(  ).A.                B.    C.                D. 参考答案：A3. 阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（     ）A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 600种参考答案：B【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.4. 设分程和方程的根分别为和，函数，则（    ）A． B． C． D． 参考答案：A略5. 已知复数z满足 ，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点在  A.第一象限       B．第二象限       C．第三象限       D.第四象限参考答案：A略6. 已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若，则这9个数的和为A．16    B．18     C．9    D．8参考答案：B略7. 用数学归纳法证明,则当时，左端应在n=k的基础上加上 (A)(B)(C)(D)参考答案：D略8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(    )A.6 B.2 C.1 D.3参考答案：C如图1，三棱锥为所求，易求，故选C．9. 过点P（1，2）作直线l，使直线l与点M（2，3）和点N（4，﹣5）距离相等，则直线l的方程为（　　）A. y+2=﹣4（x+1）      B. 3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0    C. y﹣2=﹣4（x﹣1）       D. 3x+2y﹣7=0或4x+y+6=0参考答案：B略10. 在四边形ABCD中，，，则（    ）A．5         B．－5        C．－3        D．3参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则___________．参考答案：12. 下列命题中所有真命题的序号是________________.①“”是“”的充分条件；②“”是“”的必要条件；③“”是“”的充要条件. 参考答案：略13. （几何证明选讲选做题）如图3，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F，若AB=6，CF·CB=5，则AE=             。

参考答案：略14. 函数，定义使为整数的数 叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有          个参考答案：9略15. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　　名学生．参考答案：60考点： 分层抽样方法．专题： 概率与统计．分析： 先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解答： 解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．点评： 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．16.             参考答案：略17. 已知直角梯形,， ，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积      .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，,点在底面内的射影恰好是的中点，且.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求斜三棱柱的侧棱 的长度.参考答案：(1)取中点，连接，则面，， （2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向为轴，建立空间直角坐标系……5分，设则即设面法向量；面法向量    19. 已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ex.(1)若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；(2)设直线L为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线L与曲线y＝g(x)相切．参考答案：略20.   如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且侧棱  的长是，点分别是的中点．（Ⅰ）证明:平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.21. （12分）（2015?大连模拟）已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l2：x=﹣2交x轴于点Q．（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，=2，求抛物线C的方程．参考答案：考点： 直线与圆锥曲线的关系．  专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可求y1+y2，y1y2，进而可求x1x2，x1+x2，然后根据k1=，k2=可求k1+k2，（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率关系，可求k，由题意不妨取P（0，0），设M（﹣2，a），N（﹣2，b），由=2，可求ab，然后有kPA=kPM，kPN=kPB，可求p，进而可求抛物线方程解答： （1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pk，y1y2=﹣4p，∴x1x2==4，x1+x2=k（y1+y2）+4=2pk2+4，∵Q（﹣2，0），∴k1=，k2=∴k1+k2=+=====0（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率互为相反数，则有AB⊥x轴，此时k=0∵点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，不妨取P（0，0），设M（﹣2，a），N（﹣2，b），∵=4+ab=2，∴ab=﹣2，∵kPA=kPM，kPN=kPB，∴，，两式相乘可得，，∴，∴p=，抛物线C的方程为：y2=x．点评： 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，求解本题（2）的关键是一般问题特殊化．22. （10分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．参考答案：考点： 直线的一般式方程；抛物线的应用．专题： 计算题．分析： （Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），于是直线PF的斜率为，所以直线PF的方程为，即为mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．点D到直线mx+2y﹣m=0的距离，所以．因为m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ为定值0．（14分）点评： 考查求直线方程、抛物线在的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．。