数项级数敛散性习题.ppt

第十二章第十二章(1) 习题课习题课数项级数的敛散与幂级数的收敛域数项级数的敛散与幂级数的收敛域三、课外练习题三、课外练习题一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 9/19/20241 求和求和展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)基本问题：基本问题：判别敛散；判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开级数展开.为傅立叶级数为傅立叶级数.为傅氏系数为傅氏系数) 时时,时为数项级数时为数项级数;时为幂级数时为幂级数;9/19/20242一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用利用部分和数列的极限部分和数列的极限判别级数的敛散性判别级数的敛散性2. 正项级数正项级数审敛法审敛法必要条件必要条件不满足不满足发发 散散满足满足比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法收收 敛敛发发 散散不定不定 比较审敛法比较审敛法用它法判别用它法判别积分判别法积分判别法部分和极限部分和极限9/19/202433. 任意项级数任意项级数审敛法审敛法为收敛级数为收敛级数Leibniz判别法判别法: 若若且且则交错级数则交错级数收敛收敛 ,概念概念:且余项且余项若若收敛收敛 , 称称绝对收敛绝对收敛若若发散发散 , 称称条件收敛条件收敛9/19/20244例例1解解原级数发散．原级数发散．9/19/20245例例2解解根据极限审敛法根据极限审敛法, 知所给级数收敛知所给级数收敛.9/19/20246例例3解解 因为因为根据极限审敛法根据极限审敛法, 知所给级数收敛知所给级数收敛.9/19/20247例例4 若级数若级数均收敛均收敛 , 且且证明级数证明级数收敛收敛 .证证 则由题设则由题设收敛收敛收敛收敛收敛收敛9/19/20248解答提示解答提示: 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 据比较判别法据比较判别法, 原级数发散原级数发散 .因调和级数发散因调和级数发散,P322 题题29/19/20249利用比值判别法利用比值判别法, 可知原级数发散可知原级数发散.用比值法用比值法, 可判断级数可判断级数因因 n 充分大时充分大时∴∴原级数发散原级数发散 . 用比值判别法可知用比值判别法可知:时收敛时收敛 ;时时, 与与 p 级数比较可知级数比较可知时收敛时收敛;时发散时发散.再由比较法可知原级数收敛再由比较法可知原级数收敛 .时发散时发散.发散发散,收敛收敛,9/19/202410 设正项级数设正项级数和和也收敛也收敛 .提示提示: 因因存在存在 N > 0,又因又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛都收敛, 证明级证明级数数当当n >N 时时P323 题题39/19/202411 设级数设级数收敛收敛 , 且且是否也收敛？说明理由是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛但对任意项级数却不一定收敛 .问级数问级数提示提示: 对对正项级数正项级数,由比较判别法可由比较判别法可知知级数级数收敛收敛 ,收敛收敛,级数级数发散发散 .例如例如, 取取P323 题题49/19/202412 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) P >1 时时, 绝对收敛绝对收敛 ;0 < p ≤1 时时, 条件收敛条件收敛 ;p≤0 时时, 发散发散 .(2) 因各项取绝对值后所得因各项取绝对值后所得强强级数级数 原级数绝对收敛原级数绝对收敛 .故故 P323 题题59/19/202413因因单调递减单调递减, 且且但但所以原级数所以原级数仅条件收敛仅条件收敛 .由由Leibniz判别法知级数判别法知级数收敛收敛 ;9/19/202414因因所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛 .9/19/202415例例5解解即原级数非绝对收敛．即原级数非绝对收敛．9/19/202416由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：9/19/202417所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．故原级数是条件收敛．9/19/202418例例6解解9/19/202419由比较审敛法知，由比较审敛法知，即原级数绝对收敛．即原级数绝对收敛．9/19/202420例例7解解9/19/2024219/19/202422二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法• 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R , 再讨论再讨论• 非标准形式幂级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性 . 求下列级数的敛散区间求下列级数的敛散区间:练习练习:P323 题题79/19/202423解解 当当因此级数在端点发散因此级数在端点发散 ,时时,时原级数收敛时原级数收敛 .故收敛区间为故收敛区间为9/19/202424解解 因因故收敛区间为故收敛区间为级数收敛级数收敛;一般项一般项不趋于不趋于0,级数发散级数发散; 9/19/202425例例8 解解 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在极限不存在∵∵ 原级数原级数 =∴∴ 其收敛半径其收敛半径注意注意: 类似地，类似地，P323 题题7(1)9/19/202426。