求数列通项公式的十种方法-例题答案详解(共19页).doc

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一2．若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得则所以数列的通项公式为例2 已知数列满足，求数列的通项公式解法一：由得则所以解法二：两边除以，得，则，故因此，则评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.○ ------------适用于： ----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二2．若，则两边分别相乘得，例4 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，==.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.练习.已知,求数列{an}的通项公式.答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中，，求数列的通项公式解法一： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即解法二： 两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列中，求通项答案：2．形如： (其中q是常数，且n0,1) ①若p=1时，即：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效例7已知数列满足，求数列的通项公式解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略3．形如 (其中k,b是常数，且)方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列，公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）解：， ①时，，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 ②再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.4．形如 (其中a,b,c是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例10 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 比较系数得， 所以 由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列例11 已知数列满足，求数列的通项公式解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案： .四、迭代法 (其中p,r为常数)型例12 已知数列满足，求数列的通项公式解：因为，所以又，所以数列的通项公式为注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0， 例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列， ，，，∴练习 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式. 答案：例15 已知数列满足，，求数列的通项公式解：因为，所以两边取常用对数得 设 （同类型四）比较系数得， 由，得，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 已知数列满足，求数列的通项公式解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法 适用于含根式的递推关系例17 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，则代入得即因为， 则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明例18 已知数列满足，求数列的通项公式解：由及，得由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论1）当时，，所以等式成立2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立根据（1），（2）可知，等式对任何都成立九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式解：∵对任意有 ⑴∴当n=1时，，解得或当n≥2时， ⑵⑴-⑵整理得：∵各项均为正数，∴当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去所以练习已知数列中, 且,求数列的通项公式.答案： 2、对无穷递推数列例20 已知数列满足，求的通项公式。

解：因为 ①所以 ②用②式－①式得则 故所以 ③由，，则，又知，则，代入③得所以，的通项公式为十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解类型一：形如例21 已知数列中，，求数列的通项公式解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1∴，……类型二：形如分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中例22. 设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,,相除得,即{}是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为累加法来求. 例23 已知数列满足，求数列的通项公式解：令，得，则是函数的两个不动点所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

十一特征方程法 形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24 已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例25、数列满足，且求数列的通项解：……①令，解得，将它们代回①得，……②，……③，③÷②，得,则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，十二、基本数列1．形如型 等差数列的广义形式，见累加法2.形如型 等比数列的广义形式，见累乘法3.形如型（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.。