4函数的单调性及其应用.docx

函数T地单调性及其应用函数j=—地单调性及其相应地结论 %用导数可证得：定理1(2)②当 0 ba •,③ 当 0 /均有可能.2定理1地应用2. 1推广2014年高考湖北卷文科压轴题地结论高考题1 (2014年高考湖北卷第22题)7为圆周率，e=2.718 28…为自然对数地底数.In X(1) 求函数/(%)=——地单调区间；X⑵(文)求e3 3, e", E ,3", /这6个数中地最大数与最小数；(理)将e3,3e,e\^e,3\^3这6个数按从小到大地顺序排列，并证明你地结论.下面给出这道高考题地解法.解(1)增区间为(0,e),减区间为(e,+co).(2) (文)由(1)地结论还可证得结论：当e ba.由此结论，得e3 >3e,e/r > 7V3.又由蓦函数、指数函数地单调性，得3" >e" >e3,^-3 >7ie >3e.所以所求最大数与最小数分别是3”,.(由此解法还可得结论：^e 2 ②n3e31n7r > 6 > 6-e >n7i3 > e"由式②，还可得ehvr > eg 一兰］> 2.7^2-^?^ > 2.7(2-0.88) = 3.024> 3兀e > e3再由(文)地解法可得，3^ > 7Z-3 > > 7Te > e3 > 3e.定理 2 (1)若 0 <.<%<•••<♦" Me,A ="邛？/；，,2,•••,”}},则m 临= %",m ^ = 0/2,且集合&地各元素中最大者、最小者均唯一；(2) 若 e < a, < a2 < < an(n > 2), An = ^a.'J |z * j；i, j e (1,2,，叫 ， 则max An = an_°",minAn = a^' ,且集合&地各元素中最大者、最小者均唯一.证明对〃用数学归纳法来证.⑴由定理1(2)②知，n = 2时成立.②假设n = k(k>2)时成立：若 0<%

2),\+1 - |z j;z,j KOA+l = & D {% 4+1, a2 4+1， ，ak ，ak+\ '，ak+l 2， ，ak+\ k )又因为max {妒国,角知1, , a" }=妒国,max {知句,ak+^, , ak+l°k}=知处 所以max Az = max {max Ak, max {%%', %"*", , a"' }, max {%+「'，&+「'， ，&+「*}} = max"/妇，灯I* }=%］处(因为由定理1(2)②可得％］处> a/灯' > a^') 又因为min {妒国,a^', , a： }=妒国,min , %产,,%： } = W所以min Az = min {min Ak, min {妒灯，,a^+', , a" }, min {%「, ak+lc，2, , &+「'}}=max-^z/2,a^k+,,ak+la, }= a°2 (因为由定理 1(2)②可得站<,知 2)时成立：若 & 2), Ak = \i^ {1,2,，灯) , 则max Ak = ak_yk, minA( = a：''.若 e < a； < «2 < < ak+l{k > 2), Ak+i = |z j;i, j e (1,2, ,* + l",则A+l = & D {% 4+1, a2 4+1， ，ak ，ak+\ '，ak+l 2， ，ak+\ k )又因为max {妒国,角知1, , a" }=妒国,max {知句,ak+^, , ak+l°k}=知处 所以max Az = max {max Ak, max {%%', %"*", , a"' }, max {%+「'，&+「'， ，&+「*}} =max{, ak"国,ak+l°k} = ak知(因为由定理 1 (2)②可得 为_「* < ak+^ < a：) 又因为min {妒国,a^', , a" }=妒国,min , ak+^, , ak+^ } = ak+la'所以min Ak+i = min {min Ak, min {妒灯，,a^，k+', , a" }, min {%「, ak+lc，2, , &+「'}}= min(<',<+1,^+1a'} = a2fl'(因为由定理 1(2)②可得武

j,j 女 k,kz; i, j,k e {1,2,3“，则m af? = \miAn = a^2 3 ；(2) 若 e0) 是 增 函 数， 可 得 m 桶相,3,正4}}=42 =24,m \c^\a ei{e,39^4}}= e2 .所以maxG = max{{"|G, b e {e,3, ;r,4}} {2 芈 e {e,3,刀,4}}国口 |e,3, &,4}}}= max^4,24,24}= #minG = min{{d牛,b e (e,3, i,4}}, {2”阳 e {e,3, i,4}}, ^z2|ae (e,3,万,4}}} = min^3e ,2e ,e2}=2e(因为由定理1(2)②可得2e

)2 3 5a b> c B. c> a>b C. a> c> b D. b> a> c原解 因为二上二些韵二抽扼二蛭，且2b.a>c.ci In 2 Ihtt ^In2-21n7r In 2^ -ln^2 „ crtsI ,又b — c = = = <0,所以 bb> c, A正确.订正笔误 原解地最后一行有误，应订正为“因此，a>c>b, C正确”.2tc质疑 原解中地"m2 Tn” < 0，，即，，2- <兀2 ”是怎么来地?简解C.由定理1(1)及—,可得选C.2 4注简解也给出了 2”(l + ri)m .证明⑴略./、*、十 、八 、 「/V 、ln(l + m) ln(l + n)(2)艮PiEHln(l + m) > mln(l + n), > .m nx U 、 —ln(l + x)设/(x)=m X)(x>2),得广3)= (x>2).x 由x>2,得」一2),即函数/'(x)在［2,+0 上是 1 + x减函数，所以/(m) > f(n),即欲证成立.x注 用同样地方法(但还须对由f'(X)地分子得到地函数y = ln(l + x)(x〉0)再'1 + x求导)还可证得:若0 (l + n)m.高考题4 (1983年高考全国卷理科第9题)(1)已知a,b为实数，并且eba；(2)如果正实数a,满足ab=ba,且a

方寸7 (> 0,8 / 0, a / 0, a e Z)根地个数下面再用定理1来讨论关于x地方程ax -(a >0,Z? 0,« 0,« eZ)根地个数.定理3 (1)若b>0,a为奇数，则__i_⑴当且仅当eab/ lna>a2时，方程②根地个数是0；(ii) 当且仅当人=［岑色］或alna<0时，方程②根地个数是1；alna > 0(iii) 当且仅当｛ 二 时，方程②根地个数是2.eab a lnaa2时，方程②根地个数是0；(ii) 当且仅当人=［岑色］或a = 1时，方程②根地个数是1;alna<0(iii) 当且仅当｛ 二 时，方程②根地个数是2.eab a lna0,a为非零偶数，则— cm u\⑴当且仅当ba 时，方程②根地个数是1；-elnii) 当且仅当ba 或1时，方程②根地个数是2；在1(iii) 当且仅当力!〉加4时,方程②根地个数是3.同(4) 若b罚,a为非零偶数，则方程②根地个数是0.证明(1)易知方程②地地根x >0.j_ _1 j_可设d =ba ,c = ah a ,t =bax,可得d,c,t均是正数.还可得关于x地方程②根地个数即关于f地方程c‘ =严(c > 0, tz 是奇数;/ > 0)也即In/ Inc, 八 n—= ——(c>0,a是奇数) t a根地个数.由定理1(1)及图1,可得] [ 1⑴当且仅当当〉一即eaE lna>«2时，方程②根地个数是0；a e(ii) 当且仅当—<0或些=1即人=[旦凹)或如na<0时，方程②根地个数是1；a a e \ a J1 I aina>0(iii) 当且仅当0 0 -还可得关于x。