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广义积分的收敛性.doc

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卖家[上传人]：博****1

文档编号：542767038

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§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法；一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet判别法；广义积分与级数的关系1、讨论积分的敛散性2、证明积分收敛， 3、证明积分收敛解：注意到，由于4、讨论积分的敛散性解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以为瑕点，且当时分别与同阶，故当时积分收敛⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是 k = 1时，将在点处展成Taylor公式，可知与同阶于是仅当时收敛，仅当时收敛，从而原积分不收敛k = －1 时，将在点0处展成Taylor公式，可知1－与同阶于是仅当时收敛，仅当时收敛，故原积分不收敛f(x)的可能瑕点为，在点处将展开成Taylor公式：，于是与同阶因此，当且仅当时收敛；又仅当时，收敛，所以当且仅当时原积分收敛5、设同敛散证：⑴ 设，由Dilichlet 判别法知右边第二个积分收敛，因此同敛散⑵、，当时取，由Cauchy准则，也发散6、设的敛散性解：当时，由比较判别法即知积分收敛当时，发散，由上题知发散，再由比较法知原积分发散。

7、讨论的敛散性解：利用Taylor公式： ,= ，故当时，因此原积分收敛8、讨论积分的敛散性解：记考察：注意到① 绝对收敛 ② 由Dilichlet 判别法知收敛，并且是条件收敛③ ，可知发散综上得到：原积分当条件收敛；时发散9、研究解：只须证明上述积分在上内闭一致收敛，，由此即知积分在上内闭一致收敛，从而10、设：证明：因对任意，以为步长等分得 = = 令，于是有+即，因此命题成立。

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