3单步法的收敛性与稳定性.ppt

一、一、收敛性收敛性 /* *Convergence* */§3 单步法的单步法的收敛性收敛性、、相容性相容性和和绝对稳定性绝对稳定性对于初值问题对于初值问题 的一种的一种单步法单步法 产生的近似解，如果产生的近似解，如果 对于任一对于任一固定固定的的 ，均有，均有 ，，则称该单步法是则称该单步法是收敛收敛的类似地可以定义类似地可以定义隐式隐式单步法、多步法（单步法、多步法（§4）的）的收敛性收敛性设初值问题（设初值问题（*）对应的下列）对应的下列单步法单步法是是 阶的，阶的，且函数且函数 满足对满足对 的的Lipschitz条件，即存在常数条件，即存在常数则该则该单步法单步法是收敛的，且是收敛的，且证明：证明： 记记由由截断截断误差的定义误差的定义因为因为单步法单步法是是 阶的：阶的：满足满足其中其中二、二、相容性相容性 /* *Consistency* */对于对于 阶方法：阶方法：若方法（若方法（**）的）的增量增量函数满足：函数满足：则称该方法与初值问题（则称该方法与初值问题（*））相容相容。

设方法（设方法（**）与初值问题（）与初值问题（*））相容相容，且，且 满足满足L-条件，条件，则该方法（则该方法（**）是）是收敛收敛的，即当的，即当 固定，固定， 时时再由再由相容性相容性得：得：上式说明：当上式说明：当 时，方法（时，方法（**）趋于）趋于原微分方程原微分方程本章讨论的数值方法都是与原初值问题本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容相容的的 三、三、绝对稳定性绝对稳定性 /* *Absolute Stibility* */计算过程中产生的计算过程中产生的舍入误差舍入误差对计算结果的影响对计算结果的影响首先以首先以Euler公式为例，来讨论一下公式为例，来讨论一下舍入误差舍入误差的传播的传播:设设实际实际计算得到的点计算得到的点 的的近似近似函数值为函数值为 ，，其中其中 为为精确值精确值，， 为误差为误差如果如果 ，则误差是，则误差是不增不增的，故可认的，故可认为是为是稳定稳定的的例如：例如：对于初值问题对于初值问题精确解精确解为为而而实际求解实际求解的初值问题为的初值问题为精确解精确解为为在在 处的误差处的误差为为可见误差随着可见误差随着 的增加呈的增加呈指数函数指数函数增增长长如果初值问题为如果初值问题为精确解精确解为为实际求解实际求解的初值问题为的初值问题为精确解精确解为为在在 处的误差处的误差为为可见误差随着可见误差随着 的增加呈的增加呈指数函数指数函数递递减减当当 时，微分方程是时，微分方程是不稳定不稳定的；的；而而 时，微分方程是时，微分方程是稳定稳定的。

的上面讨论的上面讨论的稳定性稳定性，与，与数值方法数值方法和方程中和方程中 有关有关实验实验方程：方程：对单步法对单步法 应用应用实验实验方程，方程，如果如果 ，当，当 时，则称该时，则称该单步法是单步法是绝对稳定绝对稳定的，在复平面上复变量的，在复平面上复变量 满满足足的区域，称为该单步法的绝对稳定的区域，称为该单步法的绝对稳定域域，，它与它与实轴实轴的的交集交集称为绝对稳定称为绝对稳定区间区间若单步法是若单步法是 阶的，则阶的，则由由实验实验方程可得：方程可得：例例3：：分别求分别求Euler法和法和经典的经典的R-K法的法的绝对稳定绝对稳定区间区间解：解： Euler公式：公式：将其应用于将其应用于实验实验方程方程绝对稳定绝对稳定域：域：当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：经典的经典的R-K公式：公式：当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：可以证明：可以证明： 存在唯一存在唯一极小值点极小值点由由 得得例例4：：求求梯形梯形公式（公式（隐式隐式方法）方法）的的绝对稳定绝对稳定区间区间。

解：解： 梯形梯形公式：公式：将其应用于将其应用于实验实验方程方程当当 时，时，绝对稳定绝对稳定区间：区间：。