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初高中数学衔接知识点专题（七）★ 专题七 不 等 式【要点回顾】1．一元二次不等式及其解法[1]定义：形如 为关于的一元二次不等式．[2]一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．（ⅰ）一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：(1) 将二次项系数先化为正数；(2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．则 ②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．则： ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ．则： （ⅱ）解一元二次不等式的步骤是：(1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．2．简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法：对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.3．含有字母系数的一元一次不等式一元一次不等式最终可以化为的形式．[1]当时，不等式的解为：；[2]当时，不等式的解为：；[3]当时，不等式化为：；① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解．【例题选讲】例1 解下列不等式：(1) (2) ⑴解法一：原不等式可以化为：，于是：或所以，原不等式的解是．解法二：解相应的方程得：，所以原不等式的解是．(2) 解法一：原不等式可化为：，即于是：，所以原不等式的解是．解法二：原不等式可化为：，即，解相应方程，得，所以原不等式的解是．说明：解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解．例2 解下列不等式：(1) (2) (3) 例3 已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．例4 解下列不等式： (1) (2) 例5 求关于的不等式的解．解：原不等式可化为：(1) 当时，，不等式的解为；(2) 当时，． ① 时，不等式的解为； ② 时，不等式的解为； ③ 时，不等式的解为全体实数．(3) 当时，不等式无解．综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．【巩固练习】1．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 2．解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式： (1) (2) 4．解关于的不等式．5．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．6．若不等式的解是，求的值．7．取何值时，代数式的值不小于0？专题七不等式答案例2解：(1) 不等式可化为∴ 不等式的解是(2) 不等式可化为 ∴ 不等式的解是；(3) 不等式可化为．例3解：显然不合题意，于是：例4分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解． (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．解：(1) 解法(一)原不等式可化为： 解法(二) 原不等式可化为：．(2) 解：原不等式可化为：说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 【巩固练习】1．；2．；3．(1) 无解 (2) 全体实数4．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．5．； 6． 7．．- 4 -。