金融工程7-维纳过程与伊藤引理XXXX.pptx

1第12章 维纳过程和伊藤引理2 教学目的与要求 掌握随机变变量的概念，了解马马尔科夫过过程的特点，掌握维纳过维纳过 程的特点和性质质，掌握一般维纳过维纳过程的特征以及其漂移率和方差率，维纳过维纳过 程的均值值和标标准差掌握Ito过过程的特征 3 教学重点及难点 一、马马尔科夫过过程与效率市场场的关系 二、维纳过维纳过 程、一般维纳过维纳过 程与此同时时Ito过过程的特征，漂移率和方差率，变变量的均值值与方差以及这这几种过过程的内在联联系和变变化 三、Ito定理及其运用 4期权的估值 欧式期权权的到期收益 Max (STX, 0) ST不确定，所以期权权到期的收益也不确定 期权权当期的价值值？ 风险风险 中性估值值 期权权当期的价值值未来收益折现现后的期望值值 cE Max (STX, 0) 问题问题 ST的分布是怎样样的？ 只有确定ST的分布才能确定c的价值值512.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程 效率市场场假说说 1965年，法玛玛(Fama)提出了著名的效率市场场假说说该该假说认为说认为 ： 投资资者都力图图利用可获获得的信息获获得更高的报报酬； 证证券价格对对新的市场场信息的反应应是迅速而准确的，证证券价格能完全反应应全部信息； 市场竞场竞 争使证证券价格从一个均衡水平过过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应应的价格变动变动 是相互独立的。

效率市场场分类类 效率市场场假说说可分为为三类类：弱式、半强式和强式 弱式效率市场场假说认为说认为 ，证证券价格变动变动 的历历史不包含任何对预对预测证测证 券价格未来变动变动 有用的信息，也就是说说不能通过过技术术分析获获得超过过平均收益率的收益6 半强式效率市场场假说认为说认为 ，证证券价格会迅速、准确地根据可获获得的所有公开信息调调整，因此以往的价格和成交量等技术术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选选价格被高估或低估的证证券 强式效率市场场假说认为说认为 ，不仅仅是已公布的信息，而且是可能获获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息(包括“内幕信息”)对对挑选证选证 券都没有用处处 效率市场场假说说提出后，许许多学者运用各种数据对对此进进行了实证实证 分析结结果发现发现 ，发发达国家的证证券市场场大体符合弱式效率市场场假说说7 马马尔可夫过过程 弱式效率市场场假说说可用马马尔可夫随机过过程(Markov Stochastic Process)来表述 马马尔科夫过过程(Markov process)是一种特殊类类型的随机过过程 未来的预测预测 只与变变量的当前值值有关，与变变量过过去的历历史和变变量从过过去到现现在的演变变方式不相关。

股价的马马尔科夫性质质与弱型市场场有效性(the weak form of market efficiency)相一致： 一种股票的现现价已经经包含了所有信息，当然包括了所有过过去的价格记录记录 如果弱型市场场有效性正确的话话，技术术分析师师可通过过分析股价的过过去历历史数据图图表获获得高于平均收益率的收益是不可能的 是市场竞场竞 争保证证了弱型市场场有效性成立 812.2 维纳过程（ Wiener Process ） 布朗运动动起源于物理学中对对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动动的描述，以发现这发现这 种现现象的英国植物学家Robert Brown命名 描述布朗运动动的随机过过程的定义义是维纳维纳 (wiener)给给出的，因此布朗运动动又称维纳过维纳过 程 股价行为为模型通常用布朗运动动来描述 布朗运动动是马马尔科夫随机过过程的一种特殊形式9维纳过程（ Wiener Process ） 维纳过维纳过 程（Wiener Process） 性质质一：股票价格的变动变动 是一个正态变态变 量与时间时间 的乘积积 （服从标标准正态态分布） 性质质二：任意两个不重叠时时段的股票价格变动变动 相互独立 从性质质一，我们们知道z服从正态态分布，性质质2则隐则隐 含z遵循马马尔科夫过过程。

维纳过维纳过 程/布朗运动动的特征 股票价格在任意时时段变动变动 的均值值都为为0 股票价格在某一时时段变动变动 的方差等于时间时间 的长长度10程序：维纳过程的模拟 假定股票价格服从普通布朗运动动，即dS=dt+dz，其中和均为为常数，dz遵循标标准布朗运动动，也就是说说，在短时间时间 t后，S值值的变变化值值S为为假定股票价格服从几何布朗运动动，即dS=dt+dz,其中和均为为常数，dz遵循标标准布朗运动动，也就是说说，在短时间时间 t后，ln(S)值值的变变化值值ln(S)为为当股票价格服从普通布朗运动时的走势图11当股票价格服从几何布朗运动时的走势图1213股票价格的一般变动 一般化的维纳过维纳过 程 变变量本身随着时间时间 的推移会有定量的增长长at 除了时间时间 价值值之外的变动为变动为 布朗运动动1412.3 股票价格的一般变动 股票价格的变动变动 股票价格有随时间时间 推移增长长的稳稳定趋势趋势 股票“实际实际 ”价格变动为变动为 布朗运动动布朗运动股票价格指数布朗运动股票价格上证指数1812.4 Itos Lemma Itos Lemma 假设设存在一个伊藤过过程： 如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t) 那么： 期权权及其他衍生证证券的价格变动变动 股票价格服从维纳过维纳过 程： 那么：19证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从：其中利用泰勒展开，忽略高阶项，G(x,t)可以展开为20因此，上式可以改写为保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项21其中（忽略高阶项）：22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。

2312.5 股票价格的对数正态特性 对对数正态态分布 股票价格服从维纳过维纳过 程 股票价格的分布为对为对 数正态态分布 公式24关于对数正态分布 定义G=lnS，由于： 所以有： 即： 显然G为一个广义维纳过程，其漂移率为常数 ，波动率为常数 因此，lnS的变化服从正态分布，不难知道：25对数正态分布几何布朗运动的深入分析 在很短的时间时间 t后，证证券价格比率的变变化值值 为为： 可见见，在短时间时间 内， 具有正态态分布特征 其均值为值为 ，标标准差为为 ，方差为为 几何布朗运动的深入分析（2） 但是，在一个较长较长 的时间时间 T后， 不再具有正态态分布的性质质： 多期收益率的乘积问题积问题 ，服从正态态分布的变变量的乘积积并不服从正态态分布而由于总总的连续连续 复利收益率等于各期收益率的加和，因此仍为为正态态分布 因此，尽管是短期内股票价格百分比收益率的标标准差，但是在任意时间长时间长 度T后，这这个收益率的标标准差却不再是 股票价格的年波动动率并不是一年内股票价格百分比收益率变变化的标标准差几何布朗运动的深入分析（3） 如果股票价格服从几何布朗运动动，则则可以利用Ito引理来推导证导证 券价格自然对对数lnS所遵循的随机过过程： 这这个随机过过程的特征： 普通布朗运动动：恒定的漂移率和恒定的方差率。

在任意时间长时间长 度T之后，G的变变化仍然服从正态态分布，均值为值为 ，方差为为 标标准差仍然可以表示为为 ，和时间长时间长 度平方根成正比 从自然对对数lnS所遵循的这这个随机过过程可以得到两个结论结论 :（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布 令t时时刻G的值为值为 lnS，T时时刻G的值为值为 lnST，其中S表示t时时刻（当前时时刻）的证证券价格，ST表示T时时刻（将来时时刻）的证证券价格，则则在Tt期间间G的变变化为为： 这这意味着： 进进一步从正态态分布的性质质可以得到 也就是说说，证证券价格对对数服从正态态分布如果一个变变量的自然对对数服从正态态分布，则则称这这个变变量服从对对数正态态分布这这表明ST服从对对数正态态分布 这这正好与作为预为预 期收益率的定义义相符2）股票价格对数收益率服从正态分布 由于dG实际实际 上就是连续连续 复利的对对数收益率因此几何布朗运动实际动实际 上意味着对对数收益率遵循普通布朗运动动，对对数收益率的变变化服从正态态分布，对对数收益率的标标准差与时间时间 的平方根成比例 将t与T之间间的连续连续 复利年收益率定义为义为 ，则则结论 几何布朗运动较动较 好地描绘绘了股票价格的运动过动过 程。

3212.6 随机过程的蒙特卡罗模拟 有关蒙特卡罗罗方法的由来 取名于摩纳纳哥的著名赌赌城 掷掷色子是一个随机事件 蒙特卡罗罗方法 任何涉及随机采样样的数值值方法 不仅仅仅仅 用于有关随机的问题问题 估计计 圆圆周率 优优化问题问题 40年代美国Los Alamos 实验实验 室的科学家用于核武器的研究 代表人物：冯诺冯诺 依曼经济和金融中的模拟方法 Monte Carlo 方法在计计量经济经济 学里，如果我们对们对 某种估计计方法的统计统计 性质质不是很了解，而又要用到该该种方法时时，可以用Monte Carlo 方法来解决.在计计量经济经济 学中的例子:1.对联对联 立方程偏误误的定量研究.2.确定Dickey-Fuller 检验检验 的临临界值值.3.确定在自相关检验检验 中样样本大小对检验对检验 功效的影响. 经济和金融中的模拟方法 Monte Carlo 方法在金融中的例子:1.奇异期权权的定价.2.确定宏观环观环 境对对金融市场场的影响.3.风险风险 管理建模: 压压力测试测试 ，例如，确定最小资资本要求.模拟中的“随机数” 进进行蒙特卡罗罗模拟拟首先要设设定数据生成系统统。

而设设定数据生成系统统的关键键是要产产生大量的随机数例如模拟样拟样 本为为100的随机趋势过趋势过 程的DF统计统计 量的分布，若试验试验 1万次，则则需要生成200万个随机数 计计量经济经济 学中蒙特卡罗罗模拟拟和自举举模拟拟所用到的随机数一般是服从N(0,1)分布的随机数 计计算机所生成的随机数并不是“纯纯随机数”，而是具有某种相同统计统计 性质质的随机数，即某种“伪伪随机数”（pseudo-random number）生成随机数的程序称作“伪伪随机数生成系统统”实际实际 上计计算机不可能生成纯纯随机数模拟的计算机实现 蒙特卡罗罗模拟拟和自举举模拟拟的实现实现 要通过计过计 算机编编程来实现实现 常用的软软件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等其原理基本一样样 若干例子见图见图 图1 随机游走序列 图2 带趋势项的随机游走序列 图3 三维图圆环 图4 空间曲面 图5 投币1000次的概率值模拟 图6 生长曲线 图7 二元正态分布 图8 蒲丰问题3912.7 蒙特卡罗模拟的实现 我们们从几个例子来看 例1：两个I(1)变变量相关系数分布的蒙特卡罗罗模拟拟 未达到N图11 蒙特卡罗模拟过程示意图生成 xt, ytI(1) 估计相关系数r 分析r的 分布 设定循环次数N 设定 xt,yt I(1) EViews程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor !i=1 to 500smpl 1 100series x=nrndseries y=nrndseries xxseries yyscalar sum1=0scalar sum2=0for !counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定义一个非时间序列（u）工作文件，corr，容量为500。

定义一个空序列result，用来存储相关系数的计算结果i为控制变量，通过一个for循环语句使计算进行500次把样本范围设置成100生成两个互不相关的白噪声序列x、y，样本容量100定义两个空的序列xx和yy，样本容。