文科数学十年高考真题含解析.pdf

2010 年高考试题数学试题 文史类 福建卷 第 I 卷 选择题共 60 分 1 若集合 1 x 3 2 则 A B 等于 A x 2 x 3 B x x 1 C x 2 x 3 D x x 2 2 计算 1 2222 5 的结果等于 A 1 2 B 2 C3 2 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 其侧面积 等于 A B 2 C 2D 6 4 i 是虚数单位 1 1 4等于 C 1 1 5 若 x y R 且 则 2y 的最小值等于 A 2 B 3 C 5 D 9 6 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的i 值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 7 函数 f x 的零点个数为 A 2 B 2 C 1 D 0 8 若向量 x 3 x R 则 4 是 a 5 的 A 充分而不必要B 必要而不充分 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 9 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数 分别是 A 91 5 和 91 5 B 91 5 和 92 C 91 和 91 5 D 92 和 92 10 将函数 f x 的图像向左平移 2 个单位 若所得图像与原图像重合 则 的值不 可能 等于 A 4 B 6 C 8 D 12 11 若点 O 和点 F 分别为椭圆x2 4 2 3 1 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上点的任意一点 则 的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 12 设非空集合 x m x l 满足 当x S时 有 x 2 S 给出如下三个命题 若1 则 1 若 1 2 则1 4 l 1 1 2 则 2 m 0 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 第卷 非选择题共 90 分 二 填空题 本大题共4 小题 每小题4 分 共 16 分 把答案填在答题卡的相应位置 13 若双曲线x2 4 y 2 b2 1 b 0 的渐近线方程为 1 2 x 则 b 等于 14 将容量为n 的样本中的数据分成6 组 绘制频率分步直方图 若第一组至第六组数据的频 率之比为2 3 4 6 4 1 且前三组数据的频率之和等于27 则 n 等于 15 对于平面上的点集 如果连接 中任意两点的线段必定包涵 则称 为平面上的 凸集 给出平面上4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形的序号 16 观察下列等式 2 2 2 1 4 8 4 8 2 1 6 32 6 48 4 18 2 1 8 128 8 2566 160 4 32 2 1 10 10 1280 8 11206 4 p 2 1 可以推测 m 三 解答题 本大题共6 小题 共74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12 分 数列 a n 中 a 1 1 3 前 n 项和 S n 满足 S 1 S n 1 3 n 1 n N I 求数列 a n 的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n 若 S 1 t S 1 S 2 3 S 2 S 3 成等差数列 求实数 t 的值 18 本小题满分12 分 设平面向量a m m 1 b n 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 记 使得 a m a m b n 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 19 本小题满分12 分 已知抛物线C 的方程 C y 2 2 p x p 0 过点 A 1 2 I 求抛物线C 的方程 并求其准线方程 是否存在平行于 O 为坐标原点 的直线l 使得直线l 与抛物线 C 有公共点 且直线 与 l 的距离等于 若存在 求出直线l 的方程 若不存在 说明理由 20 本小题满分12 分 如图 在长方体 A1B1C1D1 中 E H 分别是棱A1B1 D1C1上的点 点E 与 B1不重合 且 A1 D1 过的平面与棱 1 1相交 交点分别为F G I 证明 平面 II 设 21 2 a 在长方体 A1B1C1D1 内随机选取一点 记该点取自几何体A11内的概率 为 p 当点 E F 分别在棱A1B1上运动且满足时 求 p 的最小值 21 本小题满分12 分 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口的 O 北偏西 30 且与该港口相距20 海里的 A 处 并正以30 海里 小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v 海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t 小时 与轮船相遇 I 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 II 为保证小艇在30 分钟内 含30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的 最小值 III 是否存在v 使得小艇以v 海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行 方向与轮船相遇 若存在 试确定v 的取值范围 若不存在 请说明理由 22 本小题满分14 分 已知函数 21 3 f xxaxb的图像在点 P 0 0 处的切线方程为 32yx 求实数a b 的值 设 22 4 2 22 1yxpxg 1 m g xf x x 是 2 上的增函数 求实数m 的最大值 当m 取最大值时 是否存在点Q 使得过点Q 的直线能与曲线 yg x围成 两个封闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点Q 的坐标 若不存在 说明理由 参考答案 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 4 分 满分16 分 13 1 14 60 15 16 962 三 解答题 本大题共6 小题 共74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查数列 等差数列 等比数列等基础知识 考查运算求解能力 考查函数 与方程思想 化归与转化思想 满分 12 分 解 由 S 1 S n 1 3 n 1 得 1 1 1 3 n n a n N 又 1 1 3 a 故 1 3 n n a n N 从而 11 1 11 33 1 1 23 1 3 n n n s n N 由 可得 1 1 3 S 2 4 9 S 3 13 27 S 从而由 S 1 t S 1 S 2 3 S 2 S 3 成等差数列可得 141314 3 2 392739 t 解得 2 18 本小题主要考查概率 平面向量等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查化归 与转化思想 必然与或然思想 满分 12 分 解 有序数组 的吧所有可能结果为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 由 mmn aab 得 2 21mmno 即 2 1 nm 由于 m n 1 2 3 4 故事件 A 包含的基本条件为 2 1 和 3 4 共 2 个 又基 本事件的总数为16 故所求的概率 21 168 P A 19 本小题主要考查直线 抛物线等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查函 数方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 满分 12 分 解 将 12 代入 2 2ypx 所以2p 故所求的抛物线C 的方程为 2 4yx 其准线方程为 1x 假设存在符合题意的直线l 其方程为 2x t 由 得 y2 2 y 2 0 因为直线l 与抛物线C 有公共点 所以得 4 8 t 解得 t 1 2 另一方面 由直线与l 的距离 可得 解得 1 因为 1 1 所以符合题意的直线l 存在 其方程为21 0 20 本小题主要考察直线与直线 直线与平面的位置关系 以及几何体的体积 几何概念等 基础知识 考察空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考察函数与方程思想 形数 结合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 满分12 分 解法一 I 证明 在长方体 A1B1C1D1 中 A1 D1 又 A1 D1 平面 平面 平面 II 设 则长方体 A1B1C1D1 的体积 1 2a2b 几何体11G 的体积 V1 1 21 B1F B1C1 2 1 B1 F 12 B1 F22 12 B1 F2 12 B1 F2 2 a 2 2 当 且 仅 当11 F2 a 时等号成立 从而 V1 a 2b 4 故 11 7 8 解法二 I 同解法一 II 设 则长方体 A1B1C1D1 的体积 1 2a2b 几何体 11G 的体积 V1 1 2 1 B1 F B1C1 2 1 B1 F 设 B1 0 90 则1 a B1 F 故1 B1 F a2 当且仅当2 1 即 45 时等号成立 从而 1 V1 7 8 当且仅当2 1 即 45 时等号成立 所以 p 的最小值等于7 8 21 本小题主要考察解三角形 二次函数等基础知识 考察推断论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 应用意识 考察函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 12 分 解法一 I 设相遇时小艇的航行距离为S海里 则 故 1 3 时 S 30 即 小艇以30海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 设小艇与轮船在B处相遇 由题意可知 2 202 30 t 2 2 20 30t 90 30 化简得 v 2 900 400 675 由于 0 t 1 2 即 1 2 所以当 1 t 2 时 v取得最小值10 13 即小艇航行速度的最小值为10 13海里 小时 由 知 2 2 400600 900v tt 设 1 u t 0 u 于是 22 4006009000uuv 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇 等价于方程 应有两个不等正根 即 22 2 6001600 900 0 9000 v v 解得15 330v 所以v的取值范围是 15 3 30 解法二 若相遇时小艇的航行距离最小 又轮船沿正东方向匀速行驶 则小艇航行方向为正北 方向 设小艇与轮船在C处相遇 在Rt OACV中 20cos30103OC o 20sin 3010AC o 又30ACt OCvt 此时 轮船航行时间 101 303 t 103 30 3 1 3 v 即 小艇以30 3海里 小时的速度行驶 相遇时小艇的航行距离最小 同解法一 同解法一 22 本小题主要考察函数 导数等基础知识 考察推力论证能力 抽象概况能力 运算求 解能力 考察函数与方程思想 数形结合思想 化归与转换思想 分类与整合思想 满分 14 分 解法一 由 2 2fxxxa及题设得 0 3 0 2 f f 即 3 2 a b 由 32 1 32 31 m g xxxx x 得 2 2 23 1 m g xxx x g xQ是 2 上的增函数 gx0在 2 上恒成立 即 2 2 230 1 m xx x 在 2 上恒成立 设 2 1 xt 2 1 xtQ 即不等式 20 m t t 在 1 上恒成立 当0m时 不等式20 m t t 在 1 上恒成立 当0m时 设2 m yt t 1 t 因为 2 10 m y t 所以函数2 m yt t 在 1 上单调递增 因此 min 3ym min 0 30ymQ 即3m 又0m 故03m 综上 m的最大值为3 由 得 32 13 32 31 g xxxx x 其图像关于点 1 1 3 Q成中心对称 证明如下 Q 32 13 32 31 g xxxx x 32 13 2 2 2 3 2 2 321 gxxxx x 32183 3 331 xxx x 因此 2 2 3 g xgx 上式表明 若点 A x y为函数 g x在图像上的任意一点 则点 2 2 3 Bxy也一定在函 数 g x的图像上 而线段 AB中点恒为点 1 1 3 Q 由此即知函数 g x的图像关于点Q成 中心对称 这也就表明 存在点 1 1 3 Q 使得过点Q的直线若能与函数 g x的图像围成两个封闭 图形 则这两个封闭图形的面积总相等 解法二 同解法一 由 321 32 31 m g。