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数学分析教案第十八章隐函数定理及其应用———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 第十八章 隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明 教学时数：14学时 1 隐函数 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1. 隐函数及其几何意义: 以 为例作介绍.2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 假设满足以下条件: ⅰ> 函数 在以 为内点的某一区域D 上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> .那么在点 的某邻域 ( ) D内 , 方程 唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数 , 使得 ⑴ , 时 ( )且. ⑵ 函数 在区间 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 存在且连续 . 那么隐函数 在区间 内可导 , 且 . ( 证 ) 例1 验证方程 在点 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 例2 . 其中 为由方程 所确定的隐函数 . 求 . P150例2 ( 仿 ) 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内有连续的导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3例4 . 验证在点 存在 是 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 ２ 隐函数组　 一．　隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 入手介绍隐函数组 ，一般形式为 　　 * 二. 隐函数组定理: 分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定条件下拟线性化 , 分析可解出 和 的条件 , 得出以下定理 . Th 1 ( 隐函数组定理 ) P153 Th 4. 例1 P154例 1. 三. 反函数组和坐标变换: 1. 反函数组存在定理: Th 2 (反函数组定理 ) P155 Th 5 2. 坐标变换: 两个重要的坐标变换. 例2 , 3 P156—157例 2 , 3 . 3 几何应用一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 . 有 .切线方程为 ,法线方程为 .例1 求Descartes叶形线 在点 处的切线和法线 . P159例 1.二. 空间曲线的切线与法平面 : 1. 曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.切线方程为 .法平面方程为 . 2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线 的方程为 点 在 上. 推导切线公式. [1]P209. 切线方程为 . 法平面方程为 .例2 P161例2 . 三. 曲面的切平面与法线 : 设曲面 的方程为 , 点 在 上. 推导切面公式.1]P211. 切平面方程为 . 法定义域线方程为 . 例3 P162例3 . 4 条件极值 一. 条件极值问题 : 先提出下例:例 要设计一个容积为 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的外表积最小 . 分别以 、 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数 的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件的点 是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 满足隐函数存在条件时, 由方程 决定隐函数 ,于是点 就是一元函数的极限点 , 有 .代入 , 就有 , ( 以下 、 、 、 均表示相应偏导数在点 的值 . )即 — , 亦即 ( , ) , ) .可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也与向量 , )正交, 即得向量( , )与向量 , )线性相关, 即存在实数, 使( , ) + , ) .亦即 二. Lagrange乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数 在约束条件 之下的条件极值点应是方程组 的解. 倘引进所谓Lagrange函数 , ( 称其中的实数 为Lagrange乘数 )那么上述方程组即为方程组 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 . 四、用Lagrange乘数法解应用问题举例 : 例1 求容积为 的长方体形开口水箱的最小外表积 . P166例1例2 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2例3 求函数 在条件 下的极小值 . 并证明不等式 , 其中 为任意正常数 .168 例3 。