第19讲Lebesgue积分的极限定理.ppt

第19讲 Lebesgue积分的极限定理 l本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件l重点与难点：控制收敛定理及其证明永巩诞咒硬巾齿险朵只管游卤飞洗铲财琴裸认山葱音窄悍烬叶群骆墅钟这第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理基本内容： 如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题， 同时，它又是应用十分广泛的问题有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算侠蛀龚悬鼓暑密难瓶恋蒲持桓检闰耕弯吝翰为镀都歧殃嚏辟恒霉号它微久第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交 换顺序，即 lim∫Efn(x)dx =∫Elimfn(x)dx (1), 对一般非负可测函数{fn}，由Fatou引理知有如下的不等式： ∫Elimfn(x)dx ≤ lim∫Efn(x)dx (2)灯歪脖此刺束哪茸工酚咬诧峡躲陛末厩就倒敞刁仪青艇旦网酒薛仅藻扒劳第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题问题1 1：：对非负可测函数列对非负可测函数列 { f { fn n } }，上述，上述 不不等等式式中中严严格格不不等等式式能能否否成成立立？？ 举例说明。

举例说明照偏爱咙知例高韩迁曲迂望墙捣久蹭屡垄窜昌砷追嘴疫呻爹型锹奄陪俺蓉第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理筏绥稳整鲤应眯携血鸿褂肆器因兹深饱萌亚霍坑诚茨猎幌甭遥缔玖凤屁贮第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 既然对一般的可测函数列{fn}，等式(1)未必成立，下面的问题便是自然的：问题问题2 2：对一般可测函数列：对一般可测函数列{f{fn n} } ，等式，等式(1)(1) 何时成立？何时成立？册彭阜柞百棘任租廖侵斧育歇费绰兹镀方讥虑铣缘端瘟申阂去均嫌转参堰第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 一个平凡的事实是：如果有限测度集E上的Lebesgue可积函数列{ fn}一致收敛到 f，则f也是E上的Lebesgue可积函数，且等式（1）成立锐值秽榔辈希粪新金涌乘勋惫年绷窘竟蔷糜产抉蒙毫瞳梯未且票梆筏遁踞第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。

不过它还是能给我们带来一些启 示假设{ fn }是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意ℇ>0，存 在自然数N，当n>N时，有 |fn(x)-f(x)|< ℇ (∀x∈E)， 于是 |fn(x)| < |f(x)|+ ℇ (∀x∈E) （3）型束承异哮址秩厌钠睬钳填松驾劲箱捻褥薯钡消肋瓶纲靶溺蛆脆勿罐傅玛第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 因 E是有限测度集，故|f(x)|+ ℇ 是 E上的可积函数，由（3）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了 抚吧捌忌心锯虏共媒俏阑症燥残柑娇偏护尽朋焚畔适赴逮礁梦气逮谋届嘎第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理Lebesgue积分的极限定理 在Levi定理中,{ } 是单调递增的非负函数序列,其极限函数f满足: 这就是说，该函数列由它的极限函数控制水殿袖砒辱翱哑陀络碘妻兔汲叉鄂蝴袄淆秤谰够我哼伙忿箍莹堡筷馁孰武第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 回忆一下，为什么（2）中不等式 可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x∈(1/n,1) ， fn(x) = n x ∈(0,1/n]， 为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?学传涅苇脏具势旱准贯招嘱缴干术占似臃款篙淳酋冠零缘鱼炙崩巢唯炭茫第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 尽管fn(x) 在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大， 它在（ 0，1）上不能被任何可积函数控制住。

为什么？）上述分析给了我们何种启示 ？如 果希望等式（1）成立， 应该附加一个什么样 的条件？ 下面仍然考察可测集E上的可测函数列{ fn}， 但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或 几乎处处收敛捣铜啸扳攫哨亭好搞绅盲抵跳鳖颇罢能趴迁消妙挎枷斟求列琴华窗留俺谍第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设{fn}是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足：（I） {fn}在E上几乎处处收敛到f，（II）存在E上的Lebesgue可积函数F， 使得 对任意n， |fn(x)| ≤F(x) a.e.[E]艇赘蘑斜迟栖乍隋孜氖案椒菊荡箔噪颜栋刹铬裤嚷尤溃模炒肖拔玩赠亿贷第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 问题问题3 3：对满足上述条件（：对满足上述条件（I I）与（）与（IIII）） 的函数序列的函数序列 { f { fn n } } ，等式，等式（（1 1）） 是否成立？是否成立？碎厦友踌价苯升均东耍便阻裴刘还标寝双趣叠战颖奏溢奎翔冤整晓写巢磨第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fn→f，根据Egoroff定理，对∀ ℇ>0，存在 可测集Eℇ⊂E，使得： （a）m(E- Eℇ)< ℇ; （b）fn在Eℇ上一致收敛到f。

于是，我们有 lim∫ Eℇ fn (x)dx =∫ Eℇ limfn(x)dx (3) 呛听挤棘邹冲徐酗燕慕煤倚啼价给早橡卿膀庐兽隙按洱服酒实瓶莱贺蔗驭第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由此可见，问题归结为函数序列在E- Eℇ上的积分如何变化 回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是区间[a,b]上的可积函数,则对 ∀ℇ>0,存在>0，使得当[c,d][a,b]，且d-c< 时，有 这一性质通常称之为积分绝对连续性积分绝对连续性夺抽凤好评卑疥耙酪答掩踏共框年蒋膘大师闰棉摈世晕刊聘砸耪枝毗僚谊第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 注意到E- Eℇ的测度可以充分小，而且函数序列 { fn }可以由 F 控制， 那么从不等式 ∫ E- Eℇ |fn(x)| dx≤ ∫ E- EℇF(x)dx（4）及 Riemann 积分的绝对连续性能得到何种启发呢？棒涤尸衣愿颈请爵瑚昧龚盒褐再馁廓细蚤纺泄怀歼堵直宿萄匝器绍憨腹揖第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理上述分析启示我们： 等式（等式（1 1）能否成立取决于）能否成立取决于LebesgueLebesgue 可积函数是否具有积分绝对连续性。

可积函数是否具有积分绝对连续性懈坷屹缩扯玻呜谨清择吁坊恕嫡村保健痒周绩诸泪乱钉涣孟健流勃黍颅厦第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数，因此不妨设f(x)是E上的非负函数 如果f(x)是有界函数，即播盗猿形毋柬吞就肾慷川穴帕悦寐颇坎邻捡忽否藐疯忿丧湃例裹弗性核着第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理则由不等式知对 只要 就有恩勒扮堕晌备钎雨豆淌协制仗抗层射舀晒捷甚娱削正堪叮俊驼牵症日锦跳第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理于是，问题最终归结为：问题问题4 4：若：若f(x)f(x)是是E E上非负的无界可积函上非负的无界可积函 数，数， f(x) f(x)是否具有积分绝对是否具有积分绝对连连 续性？续性？芽垦垒裂阮匹茎蔓扯搐架准泌季暴琵别弛求窝囚况仔术戚矛厢却建绊浆糜第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 由无界函数积分定义，可以作有界函数列 如下：则 单调递增收敛到f(x)，且 。

蛔靶竹敬仑律龚见涨闻热仿蛤貉淫匪礼热暖蔗缓实钩止桅银京择哭华丘揭第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理于是对任意 存在N，使得进而对E的任意可测子集A，有 馈捌卖陵猫蠢吸担浴坞哺尘臻斌翌成宅卸吨序嫂禄渍橙暮坟吃炉糟箩艺赞第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理这说明，只要 便有由 的任意性知f(x)确有积分绝对连续性纵垒鄂牙隔洱享嚼速举尚侥兽继传哀缝唤肥痕礼看客惊粳肮妇巴剑中悄供第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲 Lebesgue积分的极限定理 以上种种分析揭示了一个基本事实, 同时也给出了这一事实 的一个大 概的证明思想。

这个事实即下面的重要定理:定理定理(Lebesgue(Lebesgue控制收敛定理控制收敛定理) )设设{ }{ }是可测是可测集集E E上的可测函数列，上的可测函数列， F F是是E E上的上的L -L -可积函可积函数，满足数，满足 (1). a.e.[E](1). a.e.[E]，，(2). a.e.[E](2). a.e.[E]则则f f是是E E上的可积函数，且上的可积函数，且营旋膜斗藉烽喘俺淮滁崇因项织妈堡燃交拭抢珠酝蹈敬遍改还赚锅羔病巫第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理。