高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第二章 2.6　距离的计算.doc

6距离的计算 点到直线的距离如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．如图，作AA′⊥l，垂足为A′.问题1：点A到直线l的距离与线段AA′的长度有何关系？提示：相等．问题2：若s0为s的单位向量，你能得出在s上的投影长吗？提示：向量在s上的投影长为|||cos〈，s〉|＝||＝＝||＝|s0|.问题3：设点A到直线l的距离为d，你能根据问题2的答案写出d的表达式吗？提示：d＝|AA′|＝ .点到直线的距离设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在s上的投影的大小为|s0|，则点A到直线l的距离d＝ .点到平面的距离如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′.问题1：点A到平面π的距离d与线段AA′的长度有何关系？提示：相等．问题2：n0是n的单位向量，则向量在向量n上的投影大小是什么？与|AA′|相等吗？提示：|n0|，相等．点到平面的距离设n为过点P的平面的一个法向量，A是该平面外一定点，向量在n上的投影的大小为|n0|，则点A到该平面的距离d＝|n0|.1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是s的单位向量， s0＝.2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量． 点到直线的距离[例1]　如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．[思路点拨]　用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离 D.[精解详析]　因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)．＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以在上的投影：＝(0，－3,0)＝(0，－3,0)＝0＋(－3)＋0＝；所以点B到直线A′C的距离为d＝ ＝ ＝.[一点通]　1．用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤(1)确定直线l的方向向量s及s0；(2)在l上找一点P，计算的长度；(3)计算s0的值；(4)由公式d＝ 求解．2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)．1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为(　　)A.a　　　　　　　　 B．aC.a D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，＝(－a,0，a)．∴||＝a，||＝a.∴点A1到BC1的距离d＝ ＝ ＝a.答案：A2．正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离．解：以D点为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)，||＝＝，＝11＋0(－2)＋(－2)1＝－1，在上的投影长＝＝.∴点A到EF的距离＝ ＝ ＝.　求点到平面的距离[例2]　如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．[思路点拨]　建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离．[精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4,0)，∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．∴n＝0，n＝0，∴∴∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．∴A到平面SND的距离为＝＝.[一点通]　用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤：(1)计算平面π的法向量n及n0；(2)在平面π上找一点P，计算；(3)由公式计算d＝|n0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．3．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则C到平面PAB的距离d＝(　　)A．1　　　　 B.　　　　C.　　　　 D.解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，∴＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，＝(－1,1,0)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，∴即令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．∴d＝＝＝.答案：C4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．.解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，∴＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)．设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝3，则n＝(，3,6)，n0＝.又＝(0,0,1)，∴d＝|n0|＝.答案：5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解：建立空间直角坐标系如图，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，∴＝(0,1,0)，＝(－2,1,1)，＝(－1，－1,2)．设n＝(x，y，z)是平面GEF的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则∴∴令z＝1，则n＝(1,1,1)，∴d＝＝＝.即点A到平面EFG的距离为.1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．2．空间一点A到直线l的距离的算法：3．空间一点A到平面π的距离的算法： 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为(　　)A．10　　　　 B．3　　　　C.　　　　 D.解析：＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为＝＝.答案：C2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)A.a B.a C.a D.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)．∵点M在上且＝.∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝a，y＝，z＝.于是M.∴||＝ ＝a.答案：A3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为(　　)A．6　　　　　　　　 B.C. D.解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)．＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，∴n＝0，且n＝0.∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.答案：C4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)A.　　　　 B.　　　　C.　　　　 D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．∴＝(2,2,0)，＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴即令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.答案：C5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，则有，解得n＝，则d＝||＝＝.答案：6．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.∵E，F，M，N分别是棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，∴n＝0，且n＝0.即(x，y，z)(1,1,0)＝0，且(x，y，z)＝0.∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2,1)，n0＝.∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|n0|＝＝.答案：7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，∴＝，＝.设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得令x＝1，则y＝1，z＝，∴n＝.又∵＝(－1,0,1)，∴d＝＝＝.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．　设n为平面AEC1F的法向量，显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．由得即∴n＝.又＝(0,0,3)．∴C到平面AEC1F的距离为d＝＝＝.[对应学生用书P42]一、空间向量的概念与运算1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．二、向量的坐标表示与运算。