高等数学三第五章线形方程组.ppt

§§4 4　　欧氏空间　　欧氏空间一、一、向量的内积向量的内积定义定义1设 n 维向量=(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn).定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn为向量  与  的内积，记为 ( ,  ).即( ,  ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn.　　注注：：定义了内积的 n 维向量空间Rn称为 n 维欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.性质性质(1)　交换律　　(,)=(,); (2)　分配律　　(, )=(,)(,);(2)与(3)等价于　　(+,)= (,) (,); 、R(4)　非负性　　(,)0, 且(,)=0　　=0.(3)　内积满足如下结合律:　　(,)=(,)=(,);　　 R定义定义2　　设 n 维向量=(a1,a2,…,an).称为向量 的模(或长度).特别：特别：| | = 1的向量  称为单位向量，为一单位向量称为 的单位化当  0时，二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角,,Rn,R,则(2)　正齐次性　　||=||·||;(3)　三角不等式　||||||.长度的性质长度的性质:(1)　非负性　|| 0,若||=0　　 = 0;定理定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式不等式)向量 和  线性相关. 重要不等式定义定义 3记为 .设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为当(,)=0时，称与 垂直(正交)特别特别:定理定理2 (勾股定理)设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向量，即(i ,j )=0,ij，则|1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2证证:=|1|2+|2|2+…+|k|2|1+2+…+k|2= (1+2+…+k ,1+2+…+k)　　例　　例1 1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与的长度及它们的夹角<,>.解：而 (,  )=18故1、正交向量组定义定义4若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记作 ab。

注：注：零向量与任何向量正交定义定义5在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组三、标准正交基三、标准正交基定理定理4非零的正交组是线性无关的证：设1,2,…,m是一组非零正交组，并设k11+ k22 +…+kmm= 0用 1 与等式两边作内积，得0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+…+km(m,1) 类似地： 用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积，得　k1=0,得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关　　设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组1. 正交化(1)　令1=1；(2)　求2=211使0=(2,1)=(211, 1 )　　　　　= (2, 1)1 (1, 1) .得1=(2,1)/(1,1), 2、施密特(Schmidt)正交化(3)　求3=31122, 使=(3,1)1(1, 1)+2(2, 1) 0=(3, 1)=(31122,1)=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)0=(3, 2) = (31122, 2)得(4) 类似地，得：(i=1,2,…,m) 1,  2, …,  m 是一组正交组。

2. 单位化取则1, 2 , …, m 是一组正交的单位向量组—— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法它包括正交化和单位化两个过程　　例　　例2　　将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化成正交的单位向量组解：解： (1) 正交化令1=1=(2,0)(2) 单位化则1, 2是一组正交的单位向量组　　定义　　定义6　　在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n 个向量1, 2, …, n 是两两正交的单位向量，即(i,j)=1.i=j0.ij则称该基为标准正交基3、标准正交基e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),…en=(0,0,…,1)就是一个标准正交基例如：例如：Rn中，证证: 且故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.例例3 为 R4 的标准正交基.证明即|i|=1,i=1,2,3,4　　注：　　注：利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的任一个基出发，找到一个标准正交基　　定理定理5 5　　若n维向量1,2,…,n 是一组标准正交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在基1,2,…,n下的第j个分量为:证证: 解解:　　例　　例4 4　证明　　证明　1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),为R3的一组基并用施密特正交化方法构造R3的一组标准正交基。

　　则r(A)=3.从而1,2,3 线性无关, 构成R3的一个基.令1=1= (1,2,1),= (1, 3, 1)6(1, 2, 1)(1)正交化正交化1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),(2)单位化单位化1=(1,2,1),3=(2,0,2).则1, 2 , 3 是一组标准正交基即 ATA=E，此时有, , 为列作矩阵以定理定理6A 是正交矩阵定义定义7若ATA=E (或AAT =E),则称 A 为一个正交矩阵.设 A 为 n 阶实矩阵，是 Rn 的一组标准正交基.A 的行(列)向量　　定理　　定理7　　由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，如果标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基§§5 5 线性变换线性变换一、线性变换的定义一、线性变换的定义T(+)=T()+T()(2) 对任意V, 及任意实数 k，有T(k)=kT()则称T为V 的一个线性变换.　　定义　　定义1 1　　向量空间V到自身的一个映射T，称为V的一个变换若T满足：　　(1) 对任意,  V, 有向量  在 T 下的像，记为T()或T.注2： 用粗体大写字母T, A，B，C，表示线性变换，它构成一个线性空间，定义变换T：全体的集合，设表示定义在R上次数不超过的多项式例例1 1：：故T 为 　的一个线性变换.对注1：定义式中（1），（2）可表示为证：证：T(+)=(+)A=A+A=T+T　　例　　例2 2：：设A为一n阶实矩阵，对任意Rn，令 T= A,则T为Rn 中的线性变换.T(k)= (k)A=k(A)=k(T)故 T 为 Rn 中的线性变换.V 中两类特殊的线性变换：1. 恒等变换 EE=  , V2. 零变换 OO= 0 , V　　定理定理1 1　　设 T 是V 的一个线性变换，则　　(1)T把零向量变到零向量，把  的负向量变到 的像的负向量，即T 0=0；T()= T.　　(2)T保持向量的线性组合关系不变, 即T(k11+k22+kss)=k1T1+k2T2+ksTs.　　(3)T把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.　　定义　　定义2 2　　设 L(V) 是向量空间V的全体线性变换的集合,定义 L(V) 中的加法，数乘与乘法如下：加法: (T1+T2)  =T1+T2;数乘: (kT)=kT乘法: (T1T2)=T1(T2)对 V, kR.　　可证；若 T1, T2 均为 V 的线性变换，则T1+T2，T1T2，均为 V 的线性变换.二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵T =k1 T 1+k2 T 2+ … +km T m　　设 V 为向量空间, dim(V)=m.　　1, 2, … , m 为V 的一组基，T 为 V 的一个线性变换. =k11+k22+ … +kmmT1 =a111+a212+ … +am1mT2 =a121+a222+ … +am2mTm =a1m1+a2m2+ … +ammm… … … … …即(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A其中简记为(1,2,…,m)=(1,2,…,m)A设（1）（2）称矩阵A为线性变换T在基1, 2,… , m下的矩阵.给定V的基1,2,…,m,线性变换T　矩阵A定理定理3 3　设 V 的线性变换 T有(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A　　向量在基1, 2, … , m下的坐标为(x1, x2, … , xm)，T T在此基下的坐标为(y1, y2, … , ym), 则= (1, 2, … , m ) A =x11+x22+ … +xmmT =x1 T 1+x2 T 2+ … +xm T m= (1, 2, … , m )证明：所以例例3 3：：设 R3 的线性变换TT(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求 T 在标准基1, 2, 3下的矩阵. 解：解：T1=T(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a111+a21 2+ a31 3T2=T(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)= a121+a22 2+ a32 3T3=T(0, 0, 1)=(a13, a23, a33)= a131+a23 2+ a33 3故 T 在标准基 1, 2, 3 下的矩阵为特例：特例：线性变换 T=k  数量矩阵kE恒等变换 T=  单位矩阵E零变换 T=0  零矩阵O三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1,2,…,m；1,2,…,m定理定理4 4 设向量空间V有两组基，分别为则B=C1AC证明：(1,2,…,m)B=T(1,2,…,m)(1,2,…,m)=(1,2,…,m)C且T(1,2,…,m)=(1,2,…,m)AT(1,2,…,m)=(1,2,…,m )T=(1,2,…,m)C=(1,2,…,m)AC=(1,2,…,m)C1AC　故　B=C1AC定义定义5 5设 A, B 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使 B=C1AC , 则称方阵 A 与 B 相似，记为A~B.(1) A~A (反身性)(2) A~B B~A (对称性)(3) A~B, B~C  A~C (传递性)AC1BC=B=(FD)-1 C (FD)A=D-1DCF )=D-1D(F-1性质：性质：解：解：从e1, e2, e3 到1, 2, 3的过渡矩阵例例5 5　　线性变换T在R3中基e1,e2,e3下的矩阵为求T在基1=2e1+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 , 3=e1+2e2+2e3 下的矩阵.故线性变换 T 在 1, 2, 3 下的矩阵B=C1AC三、线性变换的特征值与特征向量三、线性变换的特征值与特征向量　　问题　　问题: : 线性变换在何种基下对应对角矩阵?　　定义　　定义6 6　　设 T 是向量空间 V 的一个线性变换,如果存在数  及 n 维非零向量  ，使得　　　　　　　　T  =  　　成立，则称  为T的一个特征值，而  称为 T 对应于特征值  的一个特征向量。

　　注：若 为 T的属于特征值  的一个特征向量, 则k (k0)也为T的属于特征值 的特征向量.　　　　　T (k )= kT = k   =  (k )若 1,  2, … ,  m为T 的特征向量，且构成 V 的基　　由　　Ti= i iT（ 1,  2, … ,  m）=（ 1,  2, … ,  m）　　T在特征向量这组基下　对角矩阵　　　定理定理5 5　设 V 为 m 维向量空间，T为 V 的一个线性变换. 那么存在 V 的一组基，使得 T在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 T 有 m 个线性无关的特征向量.特征值，特征向量 的求法：设1,2,…,m为V 的一组基(T1,T2,…,Tm)=(1,2,…,m)A=(1,2,…,m)A =x11+x22+ … +xmmT=x1T1+x2T2+…+xmTm==(1,2,…,m)=(1,2,…,m) 满足：A=即 (A –E)X　= 0　　定定义义7　设 A  R nn，如果存在数  及 n 维非零向量 X，使得　　　　　　　　A X=  X　　成立，则称  为矩阵 A 的一个特征值，而 X称为矩阵 A 对应于特征值  的一个特征向量。

　　注：T  =  　A X=  X　( A – E ) X = 0　　其中A 为在基1, 2, … , m下的矩阵. X为的坐标　　定义　　定义3 3　　欧氏空间 V 的线性变换T称为正交变换，若对任意, V, 均有(T, T )=( , )　　定理　　定理2 2　　设A是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：　　(1)T是正交变换；　　(2)T保持向量的长度不变，即对于任意的 V, ||T||=||  ||; 　　(3)如果1,2,…,m是V的标准正交基,则T1, T2,…,Tm也是V的标准正交基；　　　　(4)T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.一、非齐次线性方程组的解的存在性一、非齐次线性方程组的解的存在性m 个方程，n 个未知量的非齐次线性方程组(1)a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2… … … … … … …am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm§1 §1 线性方程组的线性方程组的消元法消元法称为方程组(1)的系数矩阵为方程组(1)的增广矩阵A=　　定义　　定义1　　若非齐次线性方程组(1)有解，则称该方程组是相容的。

否则，则称不相容例例1解方程组2x1 – x2 + 3x3 = 14x1 + 2x2 + 5x3 = 42x1 +2x3 = 6解：解： 用消元法2x1 – x2 + 3x3 = 14x1 + 2x2 + 5x3 = 42x1 + 2x3 = 62x1 – x2 + 3x3 = 14x2 – x3 = 2x2 – x3 = 5r2 – 2r1r3 – r1(2) – 2(1)(3) – (1)2x1–x2+x3=13x3=–18x2–x3=5(2)(2) (3)2x1–x2+x3=1x2–x3=5x3=–6r2 – 4r3r2r2r3(2)–4(3)x1 = 9x2 = – 1x3 = – 6此时(未知数的个数)是方程组的唯一解例例2讨论方程组是否有解2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = – 72x1 + 3x2 – 3x3 = 15解：解：r(A) = 3, r(A) = 4初等行变换1对应的方程组化成x1 + 3 x2 + x3 = 5x2 – 2x3 = 62x3 = – 20x1 + 0x2 + 0x3 = 1方程组无解!例例3 3讨论方程组是否有解x1 + x2 + x3 – x4 = 1x1 – x2 – x3 + x4 = 02x1 – 2x2 + 2x3 – 2x4 = 2解解r2 – r1r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数)对应的方程组化成对应的方程组化成x1 – x2 + x3 – x4 = 1 – 2x3 + 2x4 = – 1x1 + x3 = 1 + x2 + x4 有两个自由未知量任取r ( A ) = r ( A ) = 2 < 4 (未知量个数)得方程组解其中c1, c2 可任意选定x2 = c1x4 = c2在非齐次线性方程组(1)中，若定理定理 2(1) 若r = n 则方程组(1)有唯一组解(2) 若r < n 则方程组(1)有无穷多个解定理定理 1非齐次线性方程组(1)有解例例4 4讨论，， 取何值时，方程组 无解？有唯一解？有无穷多个解？x1 + 2x3= 1x1 + x2  3x3 = 22x1  x2 +  x3=  解：解：r2 + r1r3 – 2 r1r3 + r2(I)  = 5,  3 时，无解. (II)  = 5,  = 3 时, 有无穷多个解.(III)   5 时, 有唯一解.二、齐次线性方程组的非零解的存在性二、齐次线性方程组的非零解的存在性设有设有 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0… … … … … … … am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0(3)简记为(4)A X = 0方程组 (3) 总有解。

x1 = x2 = … = xn = 0. 称为零解或平凡解齐次线性方程组(3)有非零解r (A) < n定理定理3齐次线性方程组(3)，当 m < n 时，有非零解推论推论 1(方程个数 < 未知量个数)推论推论 2 齐次线性方程组(3)，当 m = n 时，有非零解|A| = 0例例5:5: 判定下列齐次线性方程组是否有非零解1)x1 + 2x2 + 5x3 = 0x1 + 3x2 – 2x3 = 03x1 + 7x2 + 8x3 = 0x1 + 4x2 – 9x3 = 0解：解：A =r2 – r1r3 – 3r1r4 – r1r1 – 2r2r (A ) = 2 方程组有非零解进一步 :还可得：x1 = –17x3x2 = 7x3(2)x1 + x2 + x3 = 0x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 3x2 + 6x3 = 0解法一：| A | == 1  0所以方程只有唯一的一组零解r (A ) = 3 方程组无非零解，只有唯一的一组零解.A =r2 – r1r3 – r1r3 – 2r2解法二：。