小学奥数-几何五大模型(相似模型).doc

模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF EAB CDAB CDE FG① ；AA② 2:DEBCSF△ △ ：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形例 1】 如图，已知在平行四边形 中， ， ， ，那么 的长ABCD160AD4BEFC度是多少？FED CBA【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 平行于 ，ABCD所以 ，所以 ．::4:16BFCED4108FC任意四边形、梯形与相似模型【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具 ， 的长为 厘米， 被分为 等份。

ABC15AC60如果小玻璃管口 正好对着量具上 等份处( 平行 )，那么小玻璃管口DE20DEB径 是多大？ 6050403020100EA D CB【解析】 有一个金字塔模型，所以 ， ，所以 厘::EABDC:1540:6E10DE米例 3】 如图， 平行 ，若 ，那么 ________DEBC:2:3:ADECBS△ △AEDCB【解析】 根据金字塔模型 ，:::2:(3):5ABDEBC，2:54ADEBCS△ △设 份，则 份， 份，所以4△ CS△ 51S△1AEC△ △【例 4】 如图， 中， ， ， 互相平行， ，AB△ EFGBADFB则 DEGFCSS△ 四 边 形 四 边 形EGFADCB【解析】 设 份，根据面积比等于相似比的平方，1ADES△所以 ， ，因此2::1:4AFG△ △ 2::1:9ADEBCSA△ △份， 份，4AFG△ 9BC△进而有 份， 份，所以3DE四 边 形 5FGCBS四 边 形::1:DEFGSS△ 四 边 形 四 边 形【巩固】如图， 平行 ，且 ， ， ，求 的长DEBC2AD5B4AEC AEDCB【解析】 由金字塔模型得 ，所以:::2:5ABDEBC42510AC【巩固】如图， 中， ， ， ， ， 互相平行，△ FGMNPQB，ADFMP则 。

ADEGFNMNQPCBSSS△ 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形 QEGNMFPADCB【解析】 设 份， ，因此 份，进而有1ADES△ 2::1:4ADEFGSA△ △ 4AFGS△份，同理有 份， 份， 份．3GF四 边 形 5NM四 边 形 7MNQP四 边 形 9PQCB四 边 形所以有 ::::1:35:CBS△ 四 边 形 四 边 形 四 边 形 四 边 形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列例 5】 已知 中， 平行 ，若 ，且 比 大ABC△ DEBC:2:3ADBDBCES梯 形 ADE△，求 28.5cmS△ AEDCB【解析】 根据金字塔模型 ，::2:(3):5ABD，设 份，则 份，2:54ADEBCS△ △ 4AES△ 2ABCS△份， 比 大 份，恰好是 ，所以1梯 形 C梯 形 D△ 1728.cm21.5cmABCS△【例 6】 如图： 平行 ， ， ，求 的长度MN:4:9MPNBCS△ △ 4cmAMBNMPACB【解析】 在沙漏模型中，因为 ，所以 ，在金字塔模型中:4:9MPNBCS△ △ :2:3MNBC有：，因为 ， ，所以::2:3AMcmA46cm642cmB【巩固】如图，已知 平行 ， ，那么 ________。

DEBC:3:2OE:ADB O EDCBA【解析】 由沙漏模型得 ，再由金字塔模型得::3:2BD．:2A【例 7】 如图， 中， ， ， 与 平行， 的面积是 1C14AE14ACEDBEOD平方厘米那么 的面积是 平方厘米AB CDEO【解析】 因为 ， ， 与 平行，14AE14DAEB根据相似模型可知 ， ， 平方厘米，::B:1:4OC4CODES则 平方厘米，5CDES又因为 ，所以 (平方厘米)．::1:3ACDE53AE【例 8】 在图中的正方形中， ， ， 分别是所在边的中点， 的面积是 面BVABO积的几倍？ ABCDOEFABCDO【解析】 连接 ，易知 ∥ ，根据相似三角形性质，可知 ，且CF::BOAED，所以 的面积等于 的面积；由::1:2BECVCV可得 ，所以 ，即 的面积124O3O3DOBASSCV是 面积的 3 倍AV【 例 9】 如图，线段 与 垂直，已知 ， ，那么图中阴影部B4AE6E分面积是多少？EAB CDEAB CD OEAB CD O【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线 ，则图形关于 对称，有 ， ，且BOBOADOCESVDBOESV． :4:623ADSV设 的面积为 2 份，则 的面积为 3 份，直角三角形 的面积为 8A份．因为 ，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为10ABEV．30845解法二：连接 、 ．由于 ， ，所以 ∥ ，根DCADEC6BEDAC据相似三角形性质，可知 ，::6:1035根据梯形蝴蝶定理，，22::3:5::9:2DOEACOEASSVV所以 ，即 ；:15:915215:3ADECS阴 影 梯 形 1532ADECS阴 影 梯 形又 ，所以 ．06=32梯 形 ADECS阴 影 梯 形【例 10】 ( 年第二届”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)如图，四边形8和 都是平行四边形，四边形 的面积是 ， ，ABCEFGHB16:3:1BG则四边形 的面积 ________． 第3第HGFE DCBA【解析】 因为 为平行四边形，所以 ，所以 为平行四边形．E/EAGCE，那么 ，所以 ．::1:1:4B11644ABDSYY又 ，所以 ，根据沙漏模型，A:3A，所以 ．::3:FGBE3FGHEAGCEYY【例 11】 已知三角形 的面积为 ， ， 是 的中点，且Ca:2:1BD∥ ，交 于 ，求阴影部分的面积．EDAB CDE G F【解析】 已知 ，且 ∥ ，利用相似三角形性质可知:2:1AFEB，所以 ，且 ．3EC23FC:4:9AEFBCSV又因为 是 的中点，所以 是三角形 的中位线，那么 ，BDGD12GB，所以 ，可得 ，所以12::43GF:1:4E::8CFGAEV，那么 ．8CABSV 8CFGaSV【例 12】 已知正方形 ，过 的直线分别交 、 的延长线于点 、 ，且DBDF， ，求正方形 的边长．10cmE15cA FA ED CB【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有 ，::BCAFE，设正方形的边长为 ，所以有 ，::DCAEFcmx 1DC即 ，解得 ，所以正方形的边长为 ．150x6x6方法二：或根据一个金字塔列方程即 ，解得150x【例 13】 如图，三角形 是一块锐角三角形余料，边 毫米，高 毫ABC120BC80AD米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在、 上，这个正方形零件的边长是多少？ABH GNPAD CB【解析】 观察图中有金字塔模型 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有5， ，设正方形的边长为 毫米， ，PNACBPxPNHBCAD1BP即 ，解得 ，即正方形的边长为 毫米．1208x48x48【巩固】如图，在 中，有长方形 ， 、 在 上， 、 分别在 、AB△ DEFGEAB上， 是 边 的高，交 于 ， ， 厘HC△ M:1:2GC米， 厘米，求长方形的长和宽．8 EHGMFADCB【解析】 观察图中有金字塔模型 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以5， ，所以有 ，设 ，则EACB1DEGABDHGx，所以有 ，解得 ， ，因此长方形的长和宽分别2Dx218x247x8是 厘米， 厘米．4872【例 14】 图中 是边长为 的正方形，从 到正方形顶点 、 连成一个三ABCD12cmGCD角形，已知这个三角形在 上截得的 长度为 ，那么三角形 的面积ABEF4cmG是多少？A BCDE FGNMA BCDE FG【解析】 根据题中条件，可以直接判断出 与 平行，从而三角形 与三角形EFGEF相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题．G做 垂直 于 ，交 于 ．MABN因为 ∥ ，所以三角形 与三角形 相似，且相似比为EFGDC，:4:123DC所以 ，又因为 ，所以 ，N12M18GMcm所以三角形 的面积为 ．1280cm【例 15】 如图，将一个边长为 的正方形两边长分别延长 和 ，割出图中的阴影部分，13求阴影部分的面积是多少？BM NFOE【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有： ； ，31212E则 ， ，59NF3EM1520S阴【例 16】 (2008 年 101 中学考题)图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积是 ． HGF EDCBA【解析】 设大、小正方形的边长分别为 厘米、 厘米( )，则 ，所以mn25mn．若 ，则 ，不合题意，所以 只能为 6 或8m52250n7．检验可知只有 、 满足题意，所以大、小正方形的边长分别为 6 厘米64和 4 厘米．根据相似三角形性质， ，而::6:432BGFAE，得 (厘米)，所以阴影部分的面积为： (平BGF3.B1.08方厘米)．【例 17】 如图， 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 和O 3，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？434OFEDC BA34OFEDC BA【解析】 连接 ,面积为 的三角形占了矩形面积的 ，所以 ,所以B414431OES△,所以 ,由三角形相似可得阴影部分面积:1:3OEA:5:8EA为 ．258()【例 18】 已知长方形 的面积为 厘米， 是 的中点， 、 是 边上的BCD70EADFGBC三等分点，求阴影 的面积是多少厘米？EHO△H OGFE DCBAAB CDEF GOH【解析】 因为 是 的中点， 、 是 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方EA形的长分成 份的话，那么 份、 份，大家能在图63EDA2形中找到沙漏 和 ：有 ，所以 ，相当O△ △ 4∶ =∶ 34ODB∶ ∶于把 分成( ) 份，同理也可以在图中在次找到沙漏： 和BD347 EH△也是沙漏， ，由此可以推出： , 相当于把HF△ 2BF∶ ∶ ∶ ∶分成( ) 份，那么我们就可以把 分成 份( 和 的最小公倍数)其25B357中 占 份， 占 份， 占 份，连接 则可知 的面积为11H6EB△，在 为底的三角形中 占 份，则面积为： (平方厘357042BDHO63562米).【例 19】 是平行四边形，面积为 72 平方厘米， 、 分别为 、 。