2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题三及详解.doc

2018年全国硕士研究生入学统一考试《数学》真题三(总分150, 考试时间180分钟)一、单项选择题（每题 4 分，共 32 分）1. 下列函数不可导的是A f (x) = |x| sin |x|B C f (x) = cos |x|D 该问题分值: 4答案:DA, B, C 可导, D 根据导数的定义可得2. 设函数 f(x) 在 [0, 1] 上二阶可导, 且 该问题分值: 4答案:D3. A M > N > KB M > K > NC K > M > ND .N > M > K 该问题分值: 4答案:C4. 设某产品的成本函数 C(Q) 可导, 其中 Q 为产量, 若产量为 Q0 时平均成本最小, 则A C ′ (Q0) = 0B C ′ (Q0) = C(Q0)C C ′ (Q0) = Q0C(Q0)D Q0C ′ (Q0) = C(Q0) 该问题分值: 4答案:D5. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为D 该问题分值: 4答案:A易知题中矩阵均为 3 重特征值 1. 若矩阵相似, 则不同特征值对应矩阵 λE ? A 的秩相等, 即 E ? A 秩相等. 显然 为 A6. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 记 r(X) 为矩阵 X 的秩, (X Y) 表示分块矩阵, 则A r(A AB) = r(A)B r(A BA) = r(A)C r(A B) = max{r(A), r(B)}D r(A B) = r(A T B T ) 该问题分值: 4答案:A7. 设随机变量 X 的概率密度 f(x) 满足 f(1 + x) = f(1 ? x), 且 A 0.2B 0.3C 0.4D 0.6 该问题分值: 4答案:A8. 设 X1, X2, · · · , Xn (n ? 2) 为来自总体 X ～ N ( μ, σ 2 ) (σ > 0) 的简单随机样本, 令则 该问题分值: 4答案:B填空题（每题 4 分, 共 24 分）9. 曲线 y = x 2 + 2 ln x 在其拐点处的切线方程是________。

该问题分值: 4答案:y=4x-310. 该问题分值: 411. 差分方程 ? 2yx ? yx = 5 的通解是________ 该问题分值: 4答案:yx = C · 2 x − 5根据二阶差分的定义可得 ? 2yx = ?yx+1 ? ?yx = (yx+2 ? yx+1) ? (yx+1 ? yx) = yx+2 ? 2yx+1 + yx, 由 ? 2yx ? yx = 5 得 yx+2 ? yx+1 = 5. 先求齐次方程的通解, 由差分方程的特征方程 λ ? 2 = 0, 齐次方程通解为 Y = C · 2 x . 由于 1 不是特征根, 于是假设原差分方程的特解为 y ? x = A, 带入非齐次方程知特解为y ? x= ?5, 于是原方程的通解为 yx = C · 2 x ? 512. 函数 f(x) 满足 f(x + δx) ? f(x) = 2x f(x)?x + o(?x)(?x → 0), 且 f(0) = 2 则 f(1) =________ 该问题分值: 4答案:2e在等式 f(x + δx) ? f(x) = 2x f(x)?x + o(?x) 两边除以 ?x, 并令 ?x → 0 得 f ′ (x) = 2x f(x), 解得 f(x) = 由 f(0) = 2 得 C = 2, 于是 f(1) = 2e.13. .设 A 为三阶矩阵, α1, α2, α3 为线性无关的向量组. 若 Aα1 = α1 + α2, Aα2 = α2 + α3, Aα3 = α1 + α3, 则 |A| =________。

该问题分值: 4答案:214. 随机事件 A, B, C 相互独立, 且 P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 , 则 P(AC|A∪B) =________ 该问题分值: 4答案:1/3解答题15. 该问题分值: 10答案:16. 该问题分值: 10答案:17. 将长为 2m 的铁丝分成三段, 依次围成圆、正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在, 求出最小值 该问题分值: 10答案:设分成的三段依次为 x, y, z, 则 x + y + z = 2, 依次围成的圆的半径、正方形的边长与正三角形边长分别为18. 该问题分值: 10答案:19. 该问题分值: 10答案:20. 设实二次型 f (x1, x2, x3) = (x1 ? x2 + x3) 2 + (x2 + x3) 2 + (x1 + ax3) 2 , 其中 a 是参数.20. (a) 求 f (x1, x2, x3) = 0 的解; 该问题分值: 5.5答案:21. (b) 求 f (x1, x2, x3) 的规范形 该问题分值: 5.5答案:22. 22. (a) 求 a; 该问题分值: 5.5答案:23. (b) 求满足 AP = B 的可逆矩阵 P. 该问题分值: 5.5答案:24. 已知随机变量 X, Y 相互独立, 且 P {X = 1} = P {X = ?1} = 1/ 2 , Y 服从参数为 λ 的泊松分布, Z = XY.24. (a) 求 Cov(X, Z); 该问题分值: 5.5答案:25. (b) 求 Z 的分布律. 该问题分值: 5.5答案:26. 26. 该问题分值: 5.5答案:27. 该问题分值: 5.5答案: 。