配套课件工程力学第二版1.ppt

第1章　静力学基本概念与物体的受力图1.1　基本概念1.2　力矩与力偶1.3　约束与约束反力1.4　物体的受力图1.1 基基 本本 概概 念念 •1.1.1 力的概念力的概念 •　　力是一个既有大小又有方向的量， 为矢量 矢量可用一具有方向的线段来表示， 如图1.1所示 线段AB的起点（或终点）表示力的作用点， 线段AB的方位和箭头指向表示力的方向， 沿力的方向画出的直线称为力的作用线， 而线段AB的长度则按一定的比例表示力的大小 本书中用黑体字母表示矢量， 如F， 用普通字母表示力的大小， 如F 图 1.1•　　如图1.2所示， 由力F的起点A和终点B分别作x轴的垂线， 垂足分别为a、b， 线段ab冠以适当的正负号称为力F在x轴上的投影， 用Fx表示， 即• Fx=±ab （1.1）• 图 1.2•　　投影的正负号规定如下: 若从a到b的方向与x轴的正向一致， 则取正号； 反之， 则取负号。

同样， 力F在y轴上的投影为• Fy=±a′b′ （1.2）• 　　如图1.2所示， 力F在x轴和y轴的投影分别为 •Fx=Fcosα•Fy=-Fsinα• （1.3） 由此可见， 力在坐标轴上的投影是代数量 •　　若已知力F在平面直角坐标轴上的投影Fx和Fy， 则该力的大小和方向为（1.4） 　　式中，α表示力F与x轴所夹的锐角，F的指向由Fx和Fy的正负来确定 •　　作用于一个物体上的若干个力称为力系 若两个力系对物体的作用效应完全相同， 则这两个力系称为等效力系 如果一个力与一个力系等效， 则称此力为该力系的合力， 而该力系中的各力称为合力的分力 把各分力等效代换成合力的过程称为力系的合成， 把合力等效代换成各分力的过程称为力的分解 •1.1.2 力的基本性质力的基本性质•　　人们在长期的生活和生产活动中， 经过实践-认识-再实践-再认识的过程， 总结出了许多力所遵循的规律， 其中最基本的性质有以下几条。

这些性质的正确性已被实践所验证， 为大家所公认， 所以也称为静力学公理 •　　性质一　　性质一 二力平衡公理•　　作用于刚体上的两个力使刚体处于平衡状态的充要条件是: 这两个力大小相等， 方向相反， 且作用在同一条直线上， 如图1.3所示, 用矢量表示， 即为• FA=-FB (1.5) 对于变形体， 这个条件是必要的， 但不是充分的 图 1.3•　　工程上常遇到只受两个力作用而平衡的构件， 这种构件称为二力构件或二力杆 根据性质一， 二力构件上的两个力必沿两力作用点的连线， 且等值、 反向， 如图1.4所示 图 1.4•　　性质二　　性质二 加减平衡力系公理•　　在作用于刚体的任意力系上， 加上或者减去一个平衡力系， 都不会改变原力系对刚体的作用效应 由此可得如下推论:•　　推论　　推论1 力的可传性•　　刚体上的力可沿其作用线移到该刚体上的任意位置， 这样做并不改变该力对该刚体的作用效应。

•　　如图1.5所示， 作用于小车A点的推力F沿其作用线移到B点， 得拉力•F′， 虽然推力变为拉力， 但对小车的作用效应是相同的 由此可见， 力的作用点对刚体来说已不是决定力的作用效应的要素 因此， 作用于刚体上的力的三要素是力的大小、 方向和作用线 图 1.5•　　性质三　力的平行四边形法则•　　作用于物体上同一点的两个力可以合成为一个合力， 合力的作用点仍在该点， 合力的大小和方向由以这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来确定， 如图1.6 (a) 所示， 其矢•量表达式为• FR=F1+F2 （1.6） •　　为方便起见，在利用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形，而是从A点作矢量F1， 再由F1的末端B作矢量•F2， 则矢量 即为合力FR，如图1.6 (b) 所示 这种求合力的方法称为力的三角形法则显然，若改变F1、F2的顺序， 其结果不变， 如图1.6(c)所示。

•　　力的平行四边形法则既是力系合成的法则， 也是力系分解的法则 该法则表明了共点力系简化的规律， 它也是复杂力系简化的基础 图 1.6•　　由此可推出n个力作用的情况 设一刚体上有F1 ，F2， … ，Fn共n个力作用， 力系中各力的作用线共面且汇交•于同一点（称为平面汇交力系）， 根据性质三和式（1.6）将此力系合成为一个合力FR， 此合力应为•可见， 平面汇交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和 （1.7） •　　将式（1.7）分别向x、 y轴投影可得•　　式（1.8）表明， 力系的合力在某一直角坐标轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和， 此即为合力投影定理 (1.8) •　　合力的大小和方向为 （1.9） 　　式中， α表示力FR与x轴所夹的锐角，FR的指向由∑Fx和∑Fy的正负来确定 •　　推论推论2 三力平衡汇交定理•　　刚体受三个共面但互不平行的力作用而平衡时， 此三力必汇交于一点 •　　此定理说明了不平行的三力平衡的必要条件， 而且当两个力的作用线相交时， 可用来确定第三个力的作用线方位 •　　证明　　证明 刚体上A、 B、 C三点分别作用着使该刚体平衡的三个力F1、F2、 F3，它们的作用线都在一个平面内但不平行，F1、F2的作用线交于O点。

根据力的可传性推论， 将这两个力分别移至O点， 则这两个力的合力FR必定在此平面内且通过O点， 而FR必和F3平衡， 由二力平衡的条件可知，F3与FR必共线， 所以F3的作用线亦必过F1、F2的交点O， 即三个力的作用线汇交于一点， 如图1.7所示 图 1.7•　　性质四　　　性质四　作用与反作用定律•　　两物体间的作用力与反作用力总是大小相等， 方向相反， 沿同一条直线， 分别作用在这两个物体上 •　　此定律概括了自然界中物体间的相互作用关系， 表明一切力总是成对出现的，揭示了力的存在形式和力在物体间的传递方式 •　　特别要注意的是，必须把作用与反作用定律、 二力平衡公理严格地区分开来作用与反作用定律表明两个物体相互作用的力学性质， 而二力平衡公理则说明一个刚体在两个力的作用•下处于平衡时两力满足的条件 1.2 力力 矩矩 与与 力力 偶偶 •1.2.1 力矩力矩•　　人们从生产实践活动中得知， 力不仅能够使物体沿某方向移动， 还能够使物体绕某点转动 例如， 人用扳手拧紧螺母时， 施于扳手的力F使扳手与螺母一起绕转动中心O转动 由经验可知， 转动效应的大小不仅与F大小和方向有关， 而且与转动中心点O到F作用线的垂直距离有关。

•　　因此， 在F作用线和转动中心点O所在的同一平面内(如图1.8所示)，我们将点O称为矩心， 将点O到F作用线的垂直距离d称为力臂， 力使物体绕转动中心的转动效应， 就用力F的大小与力臂d的乘积并冠以适当的正负号来度量, 该量称为力对O点之矩， 简称力矩， 记为MO(F)， 即 MO(F)=±Fd（1.10） •　　平面内的力矩是一个代数量， 其正负号规定为: 若力使物体绕矩心逆时针方向转动， 则力矩为正； 反之， 力矩为负 力矩的常用单位为N·m或kN·m 图 1.8•　　由力矩的定义可知， 力矩有以下性质: •　　(1) 力矩的大小不仅取决于力的大小, 还与矩心的位置有关 •　　(2) 力对任意点之矩的大小， 不因该力的作用点沿其作用线移动而改变 •　　(3) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 力矩为零 • 　　(4) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零 •　　设物体上作用有一个平面汇交力系F1, F2, …,Fn, 其合力为FR 由于合力与力系等效， 因此合力对平面内任意点之矩等于力系中所有分力对同一点之矩的代数和， 即•MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=∑MO(F) (1.11)•这就是合力矩定理。

•　　对于有合力的其他力系， 合力矩定理同样成立 •　　当力矩的力臂不易求出时， 常将力正交分解为两个易确定力臂的分力， 然后应用合力矩定理计算力矩 •　　【例1.1】如图1.9所示，力F=150 N, 作用在锤柄上， 柄长l=320 mm，试求图 (a)、 (b) 所示的两种情况下力F对支点O的力矩 图 1.9•　　解　　解 在图 (a) 所示的情况下， 支点O到力F作用线的垂直距离h=l， 力F使锤柄绕O点逆时针转动， 则力F对O点的力矩为•MＯ(F)=Fh=150×320=48 000 N·mm=48 N·m•　　在图 (b)所示的情况下，支点O到力F作用线的垂直距离h=l cos30•°，力F使锤柄绕O点顺时针转动， 则力F对O点的力矩为•MＯ(F)=-Fh=-150×320×cos30°=-41 569 N·mm=-41.569 N·m •　　【例1.2】一齿轮受到与它相啮合的另一齿轮的法向压力•Fn=1400 N的作用，如图1.10所示，已知压力角•(作用在啮合点的力与啮合点的绝对速度之间所夹的锐角）α=20°, 节圆直径D=0.12 m，求法向压力Fn对齿轮轴心O之矩。

　　•　　解　　解　　用两种方法计算•　　(1) 用力矩定义求解， 如图1.10 (a) 所示， 则 •　　(2) 用合力矩定理求解， 如图1.10 (b) 所示 •　　将力Fn在啮合点处分解为圆周力Ft=Fncosα和径向力Fr=Fnsinα，由合力矩定理，得 图 1.10•1.2.2 力偶力偶•　　在日常生活和生产实践中， 经常会遇到物体受大小相等、 方向相反、 作用线互相平行的两个力作用的情形 例如， 人用手拧水龙头开关， 如图1.11(a)所示；司机用双手转动方向•盘， 如图1.11(b)所示； 钳工用丝锥攻螺纹， 如图1.11(c)所示 实践证明，这样的两个力(F, F′)对物体只产生转动效应， 而不产生移动效应 图 1.11•　　我们把这一对等值、 反向、不共线的平行力组成的特殊力系称为力偶，用 (F, F′)表示力偶两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，如图1.11(d) 所示，力偶中的两力所在的平面称为力偶作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记为M(F, F′) 或简写为M，即• M(F,F′) =M=±Fd (1.12) •　　力偶矩与平面内的力矩一样， 是一个代数量。

式(1.12)中的正负号由力偶的转向决定 通常规定，力偶的转向为逆时针时取正，反之取负力偶矩的单位是N·m或kN·m力偶矩的大小、力偶转向和力偶作用面称为力偶的三要素凡三要素相同的力偶彼此等效 •　　根据力偶的定义， 力偶具有以下性质 •　　性质一　性质一　力偶在任意轴上投影的代数和为零， 故不能合成为一个力， 也不能•与一个力等效力偶的这一性质说明力偶不能与一个力相互平衡， 只能与一个力偶相互平衡 可见， 力与力偶是静力学的两个基本要素 •　　性质二　性质二 　力偶对其作用面内任意点之矩恒等于其力偶矩， 而与矩心的位置无关如图1.12所示， 已知力偶(F, F′)的力偶矩M(F, F′) =Fd， 在力偶作用平面内任取一点O为矩心，设O点到力F的垂直距离为x， 则 (F, F′)对O之矩的代数和为•MO(F)+MO(F′)=-Fx+F′ (x+d)=Fd=M(F, F′) (1.13)•显然, 力偶矩M(F, F )与x无关, 即与矩心无关 图 1.12•　　性质三　只要保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可以在其作用面内任意转动和移动， 而不改变它对刚体的作用效应。

这一性质说明力偶对物体的作用与力偶在作用面内的位•置无关 •　　性质四　只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变， 就可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短， 而不会改变力偶对刚体的作用效应这一性质说明力偶中的力或力偶臂都不是•力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量参数因此， 力偶常用一带箭头的折线或弧线来表示(其中折线或弧线所在的平面代表力偶的作用面，箭头的指向表示力偶的转向)，再标注力偶矩的大小，如图1.13所示 图 1.13•　　作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系由上面的力偶性质可知，力偶对刚体只产生转动效应，且转动效应的大小完全取决于力偶矩的大小和力偶的转向，那么，平面力偶系可以简化，简化所得到的结果称为平面力偶系的合力偶可以证明，合力偶矩的大小等于各个分力偶矩的代数和，即 • M合=M1+M2+…+Mn=∑M (1.14) 1.3 约束与约束反力约束与约束反力 •1.3.1 柔索约束柔索约束•　　由绳索、链条、胶带等柔性物体所构成的约束称为柔索约束。

柔索约束只能限制物体沿柔索伸长的方向运动， 而不能限制其他方向的运动，所以柔索约束反力的方向总是沿柔索中心线且背离被约束物体，即为拉力，通常用符号FT表示，如图1.14所示 图 1.14•1.3.2 光滑接触面约束光滑接触面约束•　　当两物体接触面之间的摩擦很小， 可以忽略不计时， 构成光滑接触面约束光滑接触面对被约束物体在过接触点处的公切面内任意方向的运动不加限制， 同时也不限制物体沿接触面•处的公法线脱离接触面， 但阻碍物体沿该公法线方向进入约束内部，因此，光滑接触面约束的约束反力必沿接触面处的公法线指向被约束物体， 即为压力，用符号FN表示，如图1.15所示 图 1.15•1.3.3 光滑圆柱铰链约束•　　光滑圆柱铰链由两个带有圆孔的构件用光滑圆柱销钉连接而成 如果销钉和圆孔是光滑的，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线•的相对转动这样的约束称为光滑圆柱铰链约束 这种约束在工程实际中有以下几种应用形式 •　　　　1. 中间铰约束中间铰约束•　　如图1.16(a) 、(b)所示，用圆柱销钉穿入两个带有圆孔的构件1和2的圆孔中，即构成中间铰，通常用简图1.16 (c) 表示。

中间铰所连接的两构件互为其中一个的约束当两个构件有沿销钉径向相对移动的趋势时， 销钉与构件以光滑圆柱面接触，本质上相当于光滑面接触，但接触点不能确定， 所以中间铰约束反力的特点是: 在垂直于销钉轴线的平面内，通过铰链中心，方向待定，通常用两个正交分力Fx和Fy来表示， 两分力的指向是假定的，如图1.16(d)所示 图 1.16•　　　　2. 固定铰链支座约束固定铰链支座约束•　　若构成圆柱铰链约束的一个构件固定在地面或机架上作为支座， 则称此约束为固定铰链支座约束， 如图1.17(a)所示， 通常用简图1.17(b)表示，其约束反力的特点与中间铰相同， 如图1.17 (c) 所示 图 1.17•　　　　3. 活动铰链支座约束活动铰链支座约束•　　在固定铰链支座的底部装有几个可滚动的辊轴， 并与光滑支承面相接触， 这样即构成活动铰链支座， 如图1.18(a) 所示，通常用简图1.18(b)、(c)、(d)表示这种约束只限制所支承的物体沿垂直于支承面方向的移动，而不限制物体沿支承面方向的移动和绕铰链销钉的转动因此，其约束反力过铰链中心，垂直于光滑支承面，指向待定，用符号FN表示，如图1.18(e)所示。

图 1.18•1.3.4 固定端约束固定端约束•　　固定端约束又称为插入端约束， 是工程实际中常见的一种约束类型， 如插入墙体的外伸凉台、 固定在车床刀架上的车刀、 立于路边的电线杆等，如图1.19(a)、(b)、(c) 所示它们有一个共同的特点： 构件一端被固定，既不允许构件任意移动，也不允许构件随意转动，这种约束就是固定端约束平面问题中， 固定端约束通常用图1.19 (d)、(e)所示的简图表示， 其约束反力在外力作用面内可用简化了的两个正交分力Fx、Fy和力偶矩M来表示，如图1.19(f)所示 图 1.191.4 物体的受力图物体的受力图 •　　在求解静力学平衡问题时，首先必须明确研究对象， 然后分析其受力情况，再用相应的平衡条件进行计算 工程实际中的结构往往非常复杂，为了比较清晰地表达出每个物体的受力情况，就必须把它从与它有联系的周围物体中分离出来， 即解除其所受的约束而代之以相应的约束反力，这一过程称为解除约束被解除约束的物体称为分离体在分离体上画出所受的全部主动力和全部约束反力，即为物体的受力图 画受力图的步骤一般如下： •　　(1) 明确研究对象， 取分离体。

•　　根据题目要求， 确定研究对象(它可以是一个物体， 也可以是几个物体的组合或整个物体系统)， 把它从与之相联系的周围物体中分离出来， 单独画出， 切记与原图保持一致 •　　(2) 画出全部主动力 在分离体上画出全部主动力 •　　(3) 画出全部约束反力 在每一个解除约束的位置， 根据约束的类型， 画出相应的约束反力 在画约束反力时， 应特别注意以下几点：•　　① 将每一种约束按照它们的特点归入典型约束类型， 如1.3节介绍的柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束(中间铰、固定铰链支座、活动铰链支座)和固定端约束，再•根据典型约束的约束反力的表示方法画出约束反力 •　　② 在画每一个约束反力时，一定要明确是哪个物体施加的，不要多画力、少画力或随意移动力 •　　③ 要熟练使用规定的字母和符号，标记各个约束反力，对作用力和反作用力一般用相同的字母，反作用力加一个上标“′”, 如FAB与FAB′互为作用力与反作用力 • 　　④ 在画相邻两物体间作用力与反作用力的方向时， 若其中一个力的方向已经明确或假定， 则另一个力的方向应随之而定 　　•　　⑤ 运用二力平衡条件或三力平衡汇交定理确定某些约束反力。

凡是二力构件， 必须按二力平衡条件来画约束反力； 当物体受三个共面但不平行的力作用而处于平衡时， 已知其中两力作用线的交点， 第三个力为未知的约束反力， 则此约束反力的作用线必通过此交点• ⑥ 当所取分离体是由某几个物体组成的物体系统时， 通常将物体系统内部各物体之间的相互作用力称为内力， 而将物体系统外的周围物体对系统内每个物体作用的力称为外力 在画物体系统的受力图时，约定只画外力，不画内力 •　　【例1.3】简支梁AB两端用固定铰链支座和活动铰链支座支撑，如图1.20(a)所示，C处作用一集中载荷P若梁自重不计，试对梁AB进行受力分析 图 1.20•　　解　　解 　(1)选取梁AB为研究对象， 画出其分离体图 •　　(2) 画出主动力 在梁的C点处画主动力P •　　(3) 画出约束反力 •　　A处为固定铰链支座约束，约束反力为通过A点的两个正交分力FAx、•FAy；B端为活动铰链支座，只有一个垂直于支撑面的约束反力FB，如图1.20(b) 所示 •　　另外， AB的受力图可以根据三力平衡汇交定理画出，力P和FB相交于D点，则A点的约束反力FA(A点的合力)也交于D点，由此确定约束反力FA的方向为沿A、D两点的连线，如图1.20(c)所示。

图 1.21•　　解　解 (1) 选取梁AB为研究对象， 画出其分离体图 •　　 (2) 画主动力 画出作用在C点的力〖WTHX〗F〖WTBX〗和D处的力偶M •　　(3) 画约束反力梁AB在A处受到固定端约束， 在B处受到活动铰链支座约束在解除约束的A处, 约束反力可用两个正交力FAx、FAy和力偶MA来表示，指向和转向是假定的 在解除约束的B处, 约束反力为垂直于支承面的FNB，指向是假定的 梁AB的受力图如图1.21(b)所示 •　　【例1.5】图1.22(a)所示的结构由杆AC、CD与滑轮B铰接而成物体重为G，用绳子挂在滑轮上如杆、滑轮及绳子的自重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B、杆AC、杆CD及整个系统的受力图 图 1.22•　　解　　　解　(1) 画出滑轮的受力图•　　① 取滑轮为研究对象， 画出分离体图 •　　② 画主动力： 无•　　③ 画约束反力：在B处受中间铰链支座约束，在E处受柔索约束，在H处受柔索约束在解除约束的B处，可用两个正交分力FBx、FBy来表示，在E处画上沿绳索中心线背离滑轮的拉力FTE，在H处画上沿绳索中心线背离滑轮的拉力FTH。

滑轮受力•图如图1.22(b)所示•　　(2) 画出杆CD的受力图•　　① 取杆CD为研究对象， 画出分离体图 •　　② 画主动力：无•　　③ 画约束反力：CD杆为一个二力构件， 据前面内容可知， 二力构件上的两个力必沿两力作用点的连线， 且等值、 反向假设CD杆受拉力影响，在C、D处画上拉力FCD、FDC， 且FCD=-FDC， 杆CD的受力图如图1.22(c)所示 •　　(3) 画出杆AC的受力图• 　　① 取杆AC为研究对象， 画出分离体图 •　　② 画主动力：无•　　③ 画约束反力：杆AC在A处受固定铰链支座约束，在B、 C处受中间铰约束在解除约束的A处可用两个正交分力FAx、 FAy来表示；在B处画上　　　、　　，它们分别与FBx、FBy互为作用力与反作用力；在C处画上 ，它与FCD互为作用力与反作用力杆AC的受力图如图1.22(d)所示  第2章 平面力系的平衡2.1　平面力系概述2.2　平面任意力系的平衡方程与应用2.3　几种特殊平面力系的平衡问题2.4　物系的平衡2.5　考虑摩擦时物体的平衡问题2.1　平面力系概述　平面力系概述 •　　如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内， 则称这种力系为平面力系。

工程实际中很多构件所受的力系都可以看成为平面力系例如，图2.1(a)所示的支架式起吊机受到主动力G1、G2以及约束反力FBx、FBy、FNA的作用，这些力的作用线在同一平面内，组成一个平面力系•　　又如， 图2.1(b)所示的曲柄连杆机构受到转矩M、阻力F以及约束反力FAx、FAy、FN的作用，显然这些力也构成了平面力系平面力系根据其中各力的作用线分布不同又可分为平面汇交力系(各力的作用线汇交于一点)、平面力偶系(全部由力偶组成)、平面平行力系(各力的作用线互相平行)和平面任•意力系(各力的作用线在平面内任意分布) 图 2.1•2.1.1 力的平移定理力的平移定理•　　设在刚体上A点有一个力F，现要将它平行移动到刚体内的任意指定点B，而不改变它对刚体的作用效应为此，可在B点加上一对平衡力F′、F″， 如图2.2所示， 并使它们的作用线与力F的作用线平行，且F=F′=F″根据加减平衡力系公理， 三个力与原力F对刚体的作用效应相同力F、F″组成一个力偶M，其力偶矩的大小等于原力F对B点之矩，即• M=MB(F)=Fd (2.1)•　　这样就把作用在A点的力平行移动到了任意点B， 但必须同时在该力与指定点B所决定的平面内加上一个相应的力偶M，通常将其称为附加力偶。

由此可得力的平移定理: 作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力对指定点之矩 图　2.2•　　根据力的平移定理， 可以将一个力分解为一个力和一个力偶， 也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为一个力 力的平移定理揭示了力与力偶在对物体作用效应之间的区别和联系： 一个力不能与一个力偶等效， 但一个力可以与另一个同它平行的力和一个力偶的联合作用等效 •2.1.2　平面任意力系向一点简化　平面任意力系向一点简化•　　设在刚体上作用有一平面任意力系F1, F2, …, Fn， 各力的作用点分别为A1，A2， …， An, 如图2. 3 (a) 所示， 在平面内任选一点O， 称为简化中心，利用力的平移定理，将力系中的各力分别平移到O点，得到一个作用于O点的平面汇交力系 ， …, 和一个附加的平面力偶系M1=MO(F1), M2=•MO(F2) ， … ， Mn=MO(Fn), 如图2.3 (b) 所示•　　根据式(1.7)，平面汇交力系 ， ，… ， 可以合成为一个力 ，根据式(1.14)， 平面力偶系Ｍ1=MO(F1)， M2=MO(F2), …, Mn=MO(Fn)可以合成为一力偶MO，如图2.3 (c) 所示。

图 2.3•　　　　1. 力系的主矢力系的主矢•　　平移力 , …, 组成的平面汇交力系的合力 , 称为原平面任意力系的主矢 的作用点在简化中心O点， 大小等于各分力的矢量和，即 （2.2） •　　在平面直角坐标系中，则有 （2.3） （2.4） 式中， 分别为主矢 和各力在x、 y轴上的投影； 为主矢的大小； α为 与x轴所夹的锐角，的指向由∑Fx和∑Fy的正负来确定 •　　　　2. 力系的主矩力系的主矩•　　附加的平面力偶系M1=MO(F1)，M2=MO(F2), …, Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小为MO，称为原平面任意力系对简化中心O点的主矩MO等于力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，即• MO=M1+M2+…+Mn=∑MO (F)=∑M （2.5）•　　值得注意的是， 选取不同的简化中心， 主矢不会改变， 因为主矢总是等于原力系中各力的矢量和 也就是说， 主矢与简化中心的位置无关， 而主矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。

一般来说， 主矩与简化中心有关， 提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩 主矢与主矩的共同作用才与原力系等效 •2.1.3　简化结果的讨论　简化结果的讨论•　　平面任意力系向一点简化， 一般可得到一个主矢和一个主矩，但这不是简化的最终结果， 因此， 有必要对简化的结果进行以下几个方面的讨论•　　(1) 　　　　 根据力的平移定理的逆过程， 可将主矢　　与主矩MO简化为一个合力FR，合力FR的大小、方向与主矢 相同，FR的作用线与主矢的作用线平行，但相距 ， 如图2.3(e)所示此合力FR与原力系等效，即平面任意力系可简化为一个合力•　　(2) 　　原力系与一个力等效， 即原力系可简化为一个合力 合力等于主矢， 合力的作用线通过简化中心 　•　　(3) 　　　　　　　 原力系与一个力偶等效， 即原力系可•简化为一个合力偶 合力偶矩等于主矩， 此时， 主矩与简化中心的位置无关 •　　(4) 　　　　　　　　 原力系处于平衡状态， 即原力系为一平衡力系 •　　【例2.1】如图2.4(a)所示，正方形平面板的边长为4a，在板上A、O、B、C处分别作用有力F1 ， F2 ，ＦＦ3 ， F4，其中，F3=2F ，F4=3F。

求作用在板上此力系的合力 图 2.4•　　解解 　(1) 选O点为简化中心，建立如图2.4(a)所示的直角坐标系，求力系的主矢和主矩 •　　由式（2.2）~式（2.5）可得：•主矢的大小为•　　主矢的方向为•由于∑Ｆx和∑Fy都为正，因此主矢 指向第一象限• • •　　主矩的大小为主矩的转向为逆时针方向 力系向O点简化的结果如图2.4(b)所示 •　　(2) 由于　　 ，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可将主矢 与主矩MO简化为一个合力FR合力FR的大小、方向与主矢 相同，FR的作用线与主矢的作用线平行， 但相距 •　　力系合力的作用线通过D点，如图2.4(c)所示 2.2　平面任意力系的平衡方程与应用　平面任意力系的平衡方程与应用 •　　由2.1节的讨论结果可知，如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩同时为零，则该力系处于平衡反之，要使平面任意力系处于平衡，主矢和主矩都必须等于零 因此，平面任意力系平衡的必要与充分条件为： 　　，MO=0, 即 •　　由此可得平面任意力系的平衡方程为 （2.6） •　　式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式， 也称为一力矩式方程。

它说明平面任意力系平衡的解析条件是: 力系中各力在平面内任选两个坐标轴上的投影的代数和分别为零， 并且各力对平面内任意一点之矩的代数和也等于零 这三个方程是各自独立的三个平衡方程， 只能求解三个未知量 •　　【例2.2】 图2.5(a)所示为简易起吊机的平面力系简图• 已知横梁AB的自重G1=4 kN， 起吊总量G2=20 kN，AB的•长度l=2 m，斜拉杆CD的倾角α=30°，自重不计，当电葫芦距A端距离a=1.5 m时，处于平衡状态试求拉杆CD的拉力和A端固定铰链支座的约束反力 图 2.5•　　解　 (1)以横梁AB为研究对象，取分离体画受力图•作用在横梁上的主动力： 在横梁中点的自重G1、起吊重量G2 　　　•　　作用在横梁上的约束反力： 拉杆CD的拉力FCD、铰链A点的约束反力FAx、FAy， 如图2.5(b)所示 • •　　(2) 建立直角坐标系， 列平衡方程a)(b)(c)•　　(3) 求解未知量•　　由式(a)得••　　将FCD代入式(b)得•FAx=FCDcosα=29.44 kＮ• 　　将FCD代入式(c)得•FAy=G1+G2-FCDsinα=7 kN•　　FCD、FAx、FAy都为正值， 表示力的实际方向与假设方向•相同；若为负值，则表示力的实际方向与假设方向相反。

•　　(4)讨论•　　本题若写出对A、B两点的力矩方程和对x轴的投影方程， 则同样可求解, 即由解得•　　若写出对A、B、C三点的力矩方程 则也可得出同样的结果 •　　由例2.2的讨论可知， 平面任意力系的平衡方程除了式（2.6）所示的基本形式以外， 还有二力矩形式和三力矩形式， 其形式如下：(2.7) •　　其中，A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直•其中， A、 B、 C三点不能共线 •　　在应用二力矩形式或三力矩形式时， 必须满足其限制条件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的 (2.8) 2.3　几种特殊平面力系的平衡问题　几种特殊平面力系的平衡问题•2.3.1　平面汇交力系的平衡　平面汇交力系的平衡•　　　　1. 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程•　　由于平面汇交力系中各力的作用线汇交于一点，∑MO(F)=0自然满足， 因此其平衡的必要且充分条件为：力系中各力在两个相互垂直的坐标轴上的投影的代数和分别为零，即 （2.9） •　　　　2. 平面汇交力系的平衡方程的应用平面汇交力系的平衡方程的应用•　　【例2.3】如图2.6(a)所示，圆球重G=100 Ｎ，放在倾角α=30°的光滑斜面上，并用绳子AB系住，绳子AB与斜面平行。

试求绳子AB的拉力和斜面对球的约束力 图　2.6•　　解　　　解　(1)选圆球为研究对象， 取分离体画受力图•　　主动力：重力G•　　约束反力：绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN受力图如图2.6(b)所示 •　　(2) 建立直角坐标系Oxy， 列平衡方程并求解•∑Fx=0 FT-Gsin30°=0•FT=50 N (方向如图所示）•∑Fy=0 FN-Gcos30°=0•FN=86.6 N(方向如图所示) •　　(3) 若选取如图2.6(c)所示的直角坐标系， 列平衡方程得:•∑Fx=0 FTcos30°-FNcos60°=0•∑Fy=0 FTsin30°+FNsin60°-G=0•联立求解方程组得:•FT=50 N(方向如图所示)•ＦN=86.6 N(方向如图所示)•　　由此可见，建立直角坐标系时，坐标轴应尽量选在与未知力垂直的方向上，这样可以简化计算 •　　【例2.4】图2.7(a)所示的三角支架由杆AB、BC组成，A、 B、C处均为光滑铰链，在销钉B上悬挂一重物，已知重物的重量G=10 kN，杆件自重不计 试求杆件AB、BC所受的力。

图　2.7•　　解 　(1) 取销钉B为研究对象，画受力图•　　主动力：重力G•　　约束反力：由于杆件AB、BC的自重不计，且杆两端均为铰链约束，因此AB、BC均为二力杆件，杆件两端受力必沿杆件的轴线，根据作用与反作用力关系，两杆的B端对于销钉有反作用力F1、F2，受力图如图2.7(b)所示 •　　(2) 建立直角坐标系Bxy，列平衡方程并求解•　　　　∑Fy=0 F2sin30°-G=0•　　　　　　Ｆ2=20 kN•　　　　∑Fx=0 F2cos30°-F1=0•　　　　　　F1=17.32 kN•　　根据作用力与反作用力定律，杆件AB所受的力为17.32 kN，且为拉力；BC所受的力为20 kN，且为压力 •2.3.2　平面力偶系的平衡　平面力偶系的平衡•　　根据式(1.14)，平面力偶系可简化为一个合力偶，故平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零, 即• ∑M=0 (2.10)式(2.10)称为平面力偶系的平衡方程。

一个力偶系平衡方程只能解一个未知数 • 　　【例2.5】用多轴钻床在一水平放置的工件上加工四个直径相同的孔，钻孔时每个钻头的主切削力组成一力偶，各力偶矩的大小M1=M2=M3=M4=15 N·m, 两个固定螺栓A、B之间的距离为200 mm，如图2.8所示试求加工时两个固定螺栓A、B所受的力 图　2.8　　解　　解(1) 取工件为研究对象， 画受力图　　主动力：四个已知的力偶　　约束反力： 固定螺栓A、B所给的约束反力FA、FB，由于力偶只能与力偶平衡，因此B处约束反力FB必和A处约束反力FA组成一力偶，即两力平行、等值、反向，力偶臂长为200 mm，受力图如图2.8(b)所示 　　(2)列平衡方程并求解　　　　　∑M=0 -4M1+M(FA, ＦＦB)=0　　　　　FA=FB=300 N (方向如图所示)　　根据作用与反作用定律，两个固定螺栓A、B所受的力分别为FＡ=FB=300 N， 方向与图示方向相反 2.3.3　平面平行力系的平衡　平面平行力系的平衡　　　　在平面平行力系中， 若选择直角坐标轴的y(或x)轴与力系各力作用线平行，则每个力在x(或y)轴上的投影均为零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)， 于是平行力系只有两个独立的平衡方程， 即 （2.11） 　　式(2.11)为平面平行力系的平衡方程， 它表明平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力在与力平行的坐标轴上的投影的代数和为零，各力对任意点之矩的代数和也为零或二力矩形式， 即(2.12)　　平面平行力系只有两个独立的平衡方程， 只能求解两个未知数。

　　【例2.6】 塔式起重机如图2.9(a)所示，已知轨距为4 m，机身重G=500 kN，其作用线至机架中心线的距离为4 m，起重机最大起吊载荷G1=260 kN，其作用线至机架中心线的距离为12 m, 平衡块G2至机架中心线的距离为6 m欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡块重G2；当平衡块重G2=600 kN时， 试求满载时轨道对轮子的约束反力 图 2.9　 　解解 (1) 取起重机为研究对象，画受力图　　主动力：机身重力G、起吊载荷G1、平衡块重G2　　约束反力：轨道对轮子的约束反力FA、FB受力图如图2.9(b)所示 　　(2)　列平衡方程，求平衡块重　　① 满载时的情况　　满载时，若平衡块太轻，则起重机将会绕B点向右翻倒，在平衡的临界状态时，FA等于零，平衡块重达到允许的最小值Ｇ2min  ∑MB(F)=0 G2min×(6+2)-G×(4-2)-G1×(12-2)=0 G2min=450 kN 　　② 空载时的情况。

　　空载时， 起重机在平衡块的作用下， 将会绕A点向左翻倒，在平衡的临界状态时，FB等于零， 平衡块重达到允许的最大值G2max  ∑ＭA(F)=0　　G2max×(6-2)-G×(4+2)=0 G2max=750 kN　　因此，要保证起重机在满载和空载时均不致翻倒， 平衡块重应满足如下条件: 　　 　450 kN≤G2≤750 kN 　　(3) 列平衡方程，求G2=600 kN满载时轮轨对机轮的约束反力  ∑MB(F)=0　　G2×(6+2)-FA×4-G×(4-2)-G1×(12-2)=0 FA=300 kN(方向如图) ∑MA(F)=0　　G2×(6-2)+FB×4-G×(4+2)-G1×(12+2)=0 FB=1060 kN(方向如图) 　　【例2.7】　一端固定的悬臂梁AB如图2.10(a)所示。

已知q=10 kN/m，F=20 kN，M=10 kN·m，l=2 m, 试求梁支座A的约束反力 图　2.10　　解解 　 (1) 取悬臂梁AB为研究对象，画受力图　　主动力： 集中力F、分布载荷q、力偶M物体所受的力如果是沿着一条线连续分布且相互平行的力系，则称为线分布载荷图2.10(a) 中，载荷q称为载荷集度，表示单位长度上所受的力，其单位为N/m或kN/m如果分布载荷为一常量，则该分布载荷称为均布力或均布载荷列平衡方程时，常将均布载荷简化为一个集中力，其大小为FＱ=ql(l为载荷作用长度)，作用线通过作用长度的中点 　　　　约束反力：A端受一固定端约束，其约束反力为FAx、FAy、MA受力图如图2.10(b)所示 　　(2)　建立坐标系Axy， 列平衡方程并求解 ∑Fx=0 FAx=0 ∑Fy=0 FAy-FQ-F=0　 其中：ＦQ=ql=10×2=20 kN，作用在AB段中点位置  FAy=FQ+F=20+20=40 kN(方向如图) 2.4　物　物 系系 的的 平平 衡衡 •2.4.1　　静定与静不定问题的概念　　静定与静不定问题的概念•　　由前面介绍的平衡计算可知，每一种力系的独立平衡方程的数目都是一定的。

例如，平面力偶系只有一个， 平面汇交力系和平面平行力系各有两个，平面任意力系有三个因此，对每一种力系来说，所能解出的未知数也是一定的•　　如果所研究的平衡问题的未知量数目少于或等于独立平衡方程的数目，则所有未知量可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题，如图2.11(a)、(b)所示 2.4〓物 系 的 平 衡图　2.11　　如果未知量的数目超过了独立平衡方程的数目，则单靠平衡方程无法求出全部未知数，这类问题称为超静定或静不定问题，如图2.12(a)、(b)所示总未知量数目与总独立平衡方程数目之差称为静不定次数 图　2.12　　静力学只研究静定平衡问题，至于静不定问题，需考虑物体受力后的变形情况，找出变形与作用力之间的关系，并建立相应的补充方程才能求解 2.4.2　物系平衡问题的处理　物系平衡问题的处理　　　　所谓物系，就是指由若干个物体按一定方式连接而成的系统当整个物系处于平衡时，系统中每一个物体或某一个局部一定平衡，因此，可取整个系统为研究对象，也可取单个物体或系统中部分物体的组合为研究对象作用于研究对象上的力系都满足平衡方程，所有未知量也均可通过平衡方程求出 　　在研究物系的平衡问题时，不仅要分析外界物体对于整个系统作用的外力，同时还应研究系统内各物体间相互作用的内力。

由于内力总是成对出现的，因此当取整体为研究对象时，可不考虑内力，但内力与外力的概念又是相对的，当研究物系中某一个物体或某一部分的平衡时， 物系中其他物体或其他部分对所研究物体或部分的作用力就成为外力， 必须考虑现举例说明物系平衡问题的解法 　　【例2.8】　多跨静定梁由AC和CE用中间铰C连接而成，支承和载荷情况如图2.13(a)所示已知F=10 kN, q=5 kN/m, M=10 kN·m, l=8 m 试求支座A、B、E及中间铰C的约束反力 图　2.13　　解解　对整体进行受力分析， 共有四个未知力， 而独立的平衡方程只有三个，这表明以整体为研究对象不能求得全部约束反力为此可将整体从中间铰处分开，分成左、右两个单体，取研究对象进行分析 　　(1)　取梁CE为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解　　受力图如图2.13(b)所示其中， ， 作用在CD段的中点 　　(2) 取梁AC为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解　　受力图如图2.13(c)所示其中， ，作用在BC段的中点； 　　　　　　　　　　　 ， 方向如图2.13(c)所示。

　　【例2.9】　三铰拱每半拱重G=300 kN，跨长l=32 m，拱高h=10 m，如图2.14(a)所示，试求铰链支座A、B、C的约束反力 图　2.14　　解解　第一种解法: 先取三铰拱整体为研究对象， 再取半拱AC(或BC)为研究对象进行求解第二种解法：分别取半拱AC、BC为研究对象进行求解 第一种解题方法比较简单，下面就介绍第一种 　　(1) 先取三铰拱整体为研究对象， 画出受力图　　主动力： 两个半拱重力G　　约束反力：铰链支座A、B处的约束反力FAx、FAy、 FＢx、 FBy受力图如2.14 (b) 所示 　　(2) 建立坐标系Oxy， 列平衡方程 　　 (3) 取半拱AC为研究对象，画出受力图　　半拱AC上作用有主动力G，约束反力有FAx、FＡy、FCx、FCy， 受力图如图2.14(c) 所示 　　【例2.10】　图2.15(a) 所示为一曲柄连杆机构，它由活塞、连杆、曲柄及飞轮组成，设曲柄处于图示铅垂位置时系统平衡， 已知飞轮重G，曲柄OA长为r， 连杆AB长为l，作用于活塞B上的总压力为F，不计各构件自重及摩擦试求阻力偶矩M和轴承O的约束反力。

图 2.15　　解解 　本题是物系平衡的另一类问题，属于运动机构， 一般可以按照力的传递顺序，依次取研究对象　　(1) 以活塞为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程并求解　　受力图如图2.15(b)所示  ∑Fx=0 FAB×cosα+F=0 　　(2)　以飞轮连同曲柄一起为研究对象，画受力图， 建立坐标系，列平衡方程并求解, 其中　　　　　　　， 它们互为作用力与反作用力，受力图如图2.15(c)所示 2.5　考虑摩擦时物体的平衡问题　考虑摩擦时物体的平衡问题 •2.5.1　滑动摩擦　滑动摩擦•　　当两物体接触面间有相对滑动的趋势时，物体接触表面产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力当两物体接触面间产生相对滑动时，物体接触表面产生的摩擦力称为动滑动•摩擦力，简称动摩擦力由于摩擦对物体的运动起阻碍作用， 因此摩擦力总是作用在接触面(点)，沿接触处的公切线，与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反 　　摩擦力的计算方法一般根据物体的运动情况而定， 通过实验可得如下结论：　　(1) 静滑动摩擦定律(或库仑定律)：当促使物体产生运动趋势的主动力增到某一数值时，物体处于将动而未动的临界平衡状态，这时的静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，用F fmax表示，其大小与接触面间的正压力(即法向反力) FN的大小成正比， 即 Ffmax=fFN (2.13) 　　式中，比例系数f称为静摩擦因数，其大小与接触面的材料、 粗糙度、湿度、温度等情况有关，而与接触面积的大小无关。

各种材料在不同情况下的静摩擦因数是由实验测定的常见材料的静摩擦因数如表2.1所示 　　(2) 一般静止状态下的静摩擦力Ff随主动力的变化而变化，其大小由平衡方程确定，介于零和最大静摩擦力之间，即 0≤Ff≤Ffmax (2.14) 　　(3) 动滑动摩擦定律：当促使物体产生运动的主动力增加到略大于Ffmax时，物体处于滑动状态，在接触面上产生动滑动摩擦力 通过实验也可得与静滑动摩擦定律相似的动滑动摩擦定律, 即(2.15) 　　式中，比例系数 f′称为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、粗糙度、湿度、温度等情况有关，而与接触面积的大小无关一般f＞f′，这说明推动物体从静止开始滑动比较费力，一旦滑动起来，要维持滑动就省力些各种材料在不同情况下的动摩擦因数是由实验测定的常见材料的动摩擦因数如表2.1所示 •表表2.1　常见材料的滑动摩擦因数　常见材料的滑动摩擦因数 •2.5.2　摩擦角与自锁现象　摩擦角与自锁现象•　　存在摩擦时， 平衡物体受到的约束反力包括法向反力FN和切向反力(即静摩擦力) Ff，两者的合力称为全约束反力， 简称全反力，用符号FR表示。

•　　全反力与接触面法线之间的夹角为j，如图2.16(a)所示 全反力FR和夹角j的大小随静摩擦力Ff的增大而增大，当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值Ff=Ffmax，夹角φ也达到最大值j=jm，这时的全反力与接触面法线夹角的最大值jm称为摩擦角，如图2.16(b)所示由此可得 •　　即摩擦角的正切值等于静摩擦因数 摩擦角和静摩擦因数是两接触物体同一摩擦性能的两种不同度量方式 (2.16) 　　物体平衡时，静摩擦力总是小于或等于最大静摩擦力，因此，全反力FR与接触面法线间的夹角j也总是小于或等于摩擦角j m，即全反力的作用线不可能超出摩擦角的范围若物体与支承面的静摩擦因数在各个方向都相同，则这个范围在空间就形成一个锥体，称为摩擦锥，如图2.16(c)所示若主动力的合力FQ的作用线在摩擦锥范围内，约束面必产生一个与之等值、共线、反向的全反力FR相平衡，不论FQ怎样增大，物体总能处于静止平衡状态这种只需主动力的合力其作用线在摩擦锥范围内，物体依靠摩擦总能静止而与主动力大小无关的力学现象称为自锁现象自锁的条件为  α≤jm (2.17) 图　2.16•　　自锁现象在工程实际中有很重要的应用， 如工人用螺旋千斤顶顶起重物， 为保证螺旋千斤顶在被升起的重物的重力G作用下不会自动下降，则千斤顶的螺旋升角α≤jm，如图2.17 所示；工厂生产线上用传送带输送物料，就是通过自锁来阻止物料相对于传送带的滑动的；等等。

相反，在工程实•际中有时又要设法避免自锁现象的发生例如，自卸货车的车斗能升起的仰角必须大于摩擦角jm，卸货时才能处于非自锁状态；机器正常运行时的运动零部件不能因自锁而造成零部件相对卡住等图〓2.17图　2.172.5.3　考虑摩擦时物体平衡问题的处理　考虑摩擦时物体平衡问题的处理　　　　考虑摩擦时物体的平衡问题其解题方法、步骤与不考虑摩擦时基本相同，所不同的是：在画物体受力图时， 一定要画出摩擦力，并要注意摩擦力总是沿着接触面的公切线并与物体相对滑动或相对滑动趋势的方向相反，其方向要正确画出，不能随意假定；除列出物体的平衡方程外，还应附加静摩擦力的求解条件作为补充方程，因静摩擦力有一个变化范围，故所得结果也是一个范围值，称为平衡范围，在临界平衡状态时，补充方程为Ff=Ffmax=fFN，所得的结果也是平衡范围的极限值 　　一般考虑有摩擦时的平衡问题可分为下述三种类型: 　　(1) 已知作用于物体上的主动力，需判断物体是否处于平衡状态，并计算所受的摩擦力 　　(2) 已知物体处于临界的平衡状态，需求主动力的大小或物体平衡时的位置(距离或角度) 　　(3) 求物体的平衡范围。

由于静摩擦力的值可以随主动力变化而变化，因此物体平衡时，主动力的大小或平衡位置允许在一定范围内变化 　　【例2.11】　一重为G=200 Ｎ的梯子AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置在水平地面上，q=arctan (4/3)，梯子长为l，如图2.18(a)所示假设梯子与墙壁间为光滑约束，而与地面之间存在摩擦，静摩擦因数f=0.5梯子是处于静止还是会滑倒？此时摩擦力的大小为多少？ 图　2.18　　解　　　解　解这类问题时，可先假设物体静止，求出此时物体所受的约束反力与静摩擦力Ff，把所求得的Ff与可能达到的最大静摩擦力Ffmax进行比较，判断物体的状态 　　(1) 取梯子为研究对象，画受力图，如图2.18 (b) 所示 　　　　(2) 建立坐标系， 列平衡方程 解得　　(3) 补充方程 FfmaxA=fFNA=0.5×200=100 N　　(4) 比较FfA＜FfmaxA， 梯子处于静止状态此时，摩擦力的大小为75 N，方向如图所示 　　【例2.12】一重为G的物体放在倾角为α的斜面上，如图2.19 (a) 所示物体与斜面间的静摩擦因数为f，摩擦角为jm，且α＞jm。

试求使物体保持静止时水平推力F的大小 图　2.19　　解解　因为α＞jm，所以物体处于非自锁状态，当物体上没有力作用时物体将沿斜面下滑要使物体在斜面上保持静止，作用于物体上的水平推力F不能太小，也不能太大 当作用于物体上的水平推力F太小时，物体有可能沿斜面下滑；当F太大时，物体有可能沿斜面向上滑动因此，F的大小应在某一个范围内，即 Fmin≤F≤Fmax 　　(1) 求Fmin　　当物体处于下滑趋势的临界状态时，F为最小值Fmin，受力图如图2.19(b)所示因为物体有向下的滑动趋势， 所以摩擦力Ffmax应沿斜面向上沿斜面方向建立直角坐标系，列出平衡方程 ∑Fx=0 Fmincosα-Gsinα+Ffmax=0 ∑Fy=0 FN-Fminsinα-Gcosα=0 •列补充方程 Ffmax=fFN=FNtanjm解得　　(2) 求Fmax　　当物体处于上滑趋势的临界状态时，F为最大值Fmax，受力图如图2.19 (c) 所示。

因为物体有向上的滑动趋势，所以摩擦力Ffmax应沿斜面向下沿斜面方向建立直角坐标系， 列出平衡方程 列补充方程 Ffmax=fFN=FNtanjm解得　　综合以上结果可知， 使物体保持静止时水平推力F的取值范围为 Gtan(α-jm)≤F≤Gtan (α+jm) 　　【例2.13】　摩擦制动器的构造和主要尺寸如图2.20(a) 所示，已知摩擦块与轮之间的静摩擦因数为f，作用于轮上的转动力矩为M，轮半径为R在制动杆B处作用一力F，制动杆尺寸为a、l，摩擦块的厚度为δ求制动轮子所需的最小力Fmin 图　2.20　　解解　当轮子刚能停止转动，摩擦块与轮子处于临界平衡状态时，制动轮子所需的F的大小为Fmin 　　分别取轮子、制动杆为研究对象，画受力图，如图2.20 (b)、 (c) 所示　　对于轮子， 列平衡方程 ∑MO(F)=0　M-FfmaxＲ= 0 列补充方程 Ffmax=fFN 对于制动杆， 列平衡方程又有解得2.5.4　滚动摩擦简介　滚动摩擦简介　　　　当搬运机器等重物时，在重物底下垫上辊轴，比直接放在地面上推或拉要省力得多，这说明用辊轴的滚动来代替箱底的滑动所受到的阻力要小得多。

车厢采用车轮，机器中采用滚动轴承，如图2.21所示，也都是这个道理 图　2.21　　滚动阻力小于滑动阻力的原因，可以用车轮在地面上的滚动来分析如图2.22 (a) 所示，将一重为G的轮子放在地面上并在轮心施加一微小的水平力F，这时在轮子与地面的接触处就会产生一摩擦阻力Ff以阻止轮子朝前滚动，Ff与F等值、反向，组成一个力偶，其力偶矩大小为Fr，它将驱使轮子产生转动趋势　　当力F不大时，转动并没有发生而是保持平衡，这说明还存在一个阻碍转动的力偶矩，称为滚动摩擦力偶矩其原因是轮子和地面都是变形体，都要产生变形，由于它们的变形，其上的约束反力分布在接触的曲面上，形成一个平面的任意力系，如图2.22 (b) 所示将这些任意分布的力向点A简化，即可得到一个力和一个力偶，其中这个力可分解为法向约束反力(正压力) 和静摩擦力Ff，而这个力偶的矩即为滚动摩擦力偶矩Mf，如图2.22(c) 所示　　再将法向约束反力 和滚动摩擦力偶矩Ｍf进一步按力的平移定理的逆定理进行合并，即可得到约束反力FN，其作用线向滚动方向偏移一段距离e，如图2.22(d)所示当轮子达到开始滚动尚未滚动的临界状态时，偏移值e也增大到最大值δ。

试验表明，最大滚动摩擦力偶矩与两个相互接触物体间的法向约束反力成正比， 即(2.18) 　　这就是滚动摩擦定律，比例常数δ称为滚动摩擦因数， 它与相互接触物体的材料性质及接触面的硬度、湿度等有关 一般材料硬些，受载后接触面的变形就小些，滚动摩擦因数δ也会小些，如车胎打足气后使车胎变形减小，便可以减小滚动摩擦阻力，车子骑起来就省力些 图 2.22第3章　空间力系的平衡 3.1　力在空间直角坐标轴上的投影3.2　力对轴之矩3.3　空间力系的平衡方程及其应用•　　力系中各力的作用线不在同一平面内，此力系就称为空间力系与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、 空间平行力系和空间任意力系，如图3.1所示 图　3.13.1　力在空间直角坐标轴上的投影　力在空间直角坐标轴上的投影 •3.1.1　直接投影法　直接投影法•　　力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义相同若已知力与轴的夹角，就可以直接求出力在轴上的投影，这种求解方法称为直接投影法•　　设空间直角坐标系的三个坐标轴如图3.2所示，已知力F与三轴间的夹角分别为α、β、γ，则力在轴上的投影为（3.1） 图　3.2•　　力在轴上的投影为代数量，其正负号规定为：从力的起点到终点若投影后的趋向与坐标轴正向相同，则力的投影为正；反之为负。

力沿坐标轴分解所得的分量为矢量 虽然两•者大小相同，但性质不同 •3.1.2　二次投影法　二次投影法•　　当力与坐标轴的夹角没有全部给出时，可采用二次投影法，即先将力投影到某一坐标平面上得到一个矢量，然后再将这个过渡矢量进一步投影到所选的坐标轴上•　　图3.3中，已知力F的值和F与z轴的夹角γ，以及力F在xy平面上的投影Fxy与x轴的夹角j，则F在x、y、z三轴上的投影可列写为(3.2) 图　3.3•　　若已知投影Fx、Fy、Fz，则合力F的大小、方向可由下式求得 •其中, α、β、γ分别为力F与x、y、z轴间所夹之锐角 （3.3） •3.1.3　合力投影定理　合力投影定理•　　设在某物体上A点，作用一空间汇交力系F1, F2, …, Fn，与平面汇交力系合成相似，运用平行四边形法则，可将其逐步合成为一作用于汇交点的合力FR，故有• FR=F1+F2+…+Fn=∑F (3.4)　•将式(3.4)向x、y、z三坐标轴上投影， 即得 • FRx=∑Fx，　FRy=∑Fy，　FRz=∑Fz (3.5)•　　式(3.5)又称合力投影定理， 它表明合力在某一轴上的投影等于各分力在同轴上投影的代数和。

•　　【例3.1】　图3.4所示为一圆柱斜齿轮，传动时受到啮合力F的作用，若已知F=7 kN，α=20°、β=15°，求F沿坐标轴的投影 图　3.4•　　解　　解　由以力F为对角线的正六面体可得： •　　径向力• Fz=-Fsinα=-2.39 kN•　　轴向力• Fx=Fxysinβ=Fcosαsinβ=1.70 kN•切向力•　　 Fy=Fxycosβ=Fcosαcosβ=6.35 kN 3.2　力　力 对对 轴轴 之之 矩矩 •3.2.1　力对轴之矩的计算　力对轴之矩的计算•　　在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使物体绕定轴转动的效果，我们引入力对轴之矩的概念 •　　如图3.5所示，可把推门的力F分解为平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的平面内的分力Fxy由经验可知，分力Fz不能使静止的门转动，力Fz对z轴的矩为零，只有分力Fxy才能使静止的门绕z轴转动现用符号Mz(F)表示力F对z轴之矩点O为Fxy所在平面与z轴的交点，d为点O到Fxy作用线的距离，即•　　　　　Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxy·d　　　　　(3.6)　　•　　式(3.6)表明： 空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上的分力对该轴与此平面交点之矩。

图　3.5•　　力对轴之矩的单位是N·m，它是一个代数量，正负号可用右手螺旋法则来判定：如图3.6所示，用右手握住转轴，四指与力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致，则力矩为正；反之，为负也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正，顺时针转向的力矩为负 图　3.6•　　力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交(d=0)时；② 当力与轴平行(Fxy=0)时也就是说，当力与轴共面时，力对轴之矩为零 •3.2.2　合力矩定理　合力矩定理•　　设有一空间力系F1, F2, …, Fn，其合力为FR，则合力对某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为 •式（3.7）称为合力矩定理， 在平面力系中同样适用 (3.7) •　　【例3.2】如图3.7 (a) 所示，已知各力的值均等于100 N•，六面体的规格为30 cm×30 cm×40 cm 试求： •　　(1) 各力在x、 y、z轴上的投影； •　　(2) 力F3对x、y、z轴之矩 图　3.7•　　解　　　解　(1)计算投影•　　(2) 计算力对轴之矩•　　先将力F3在作用点处沿x、y、z方向分解，得到三个分量F3x、F3y、F3z(如图3.7 (b) 所示)，它们的大小分别等于投影F3x、 F3y、F3z的大小。

•　　根据合力矩定理， 可求得力F3对指定的x、y、z三轴之矩如下： •　　Mx(F3)=Mx(F3x)+Mx(F3y)+Mx(F3z)=0-F3y×0.3+0=-15.5 N·mMy(F3)=0•　　Mz(F3)=Mz(F3x)+Mz(F3y)+Mz(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6 N·m3.3　空间力系的平衡方程及其应用　空间力系的平衡方程及其应用•3.3.1　空间力系的平衡方程　空间力系的平衡方程•　　与平面任意力系相同， 空间任意力系向一点简化， 可得一个空间汇交力系和一组空间力偶系，前者可合成为主矢， 后者可合成为主矩若主矢、主矩同时为零，则该空间任意力系必定平衡；反之，若空间任意力系平衡，则该主矢、主矩必同时为零因此，空间任意力系平衡的充要条件是：主矢、 主矩同时为零由此可得空间任意力系的平衡方程：(3.8) •　　前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个相互垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个相互垂直的坐标轴的力矩代数和分别为零，表明物体无绕任何轴的转动 •　　空间任意力系有六个独立的平衡方程， 所以空间任意力系的平衡问题最多可解六个未知量。

•　　由式(3.8)可得出空间任意力系在特殊情况下的平衡方程式， 如表3.1所示 •表表3.1　平　衡　方　程　平　衡　方　程 •3.3.2　应用举例　应用举例•　　常见的空间约束类型和其简化画法，以及可能作用于物体上的约束力和约束力偶介绍如表3.2所示 •表表3.2　常见的空间约束类型　常见的空间约束类型 •　　求解空间力系平衡问题的基本方法和步骤与平面力系相同，即•　　(1) 选择研究对象， 取出分离体， 画分离体受力图•　　(2) 建立空间直角坐标系， 列平衡方程•　　(3) 代入已知条件， 求解未知量 •　　其中， 正确地选择研究对象， 画分离体受力图是解决问题的关键 •　　【例3.3】某传动轴如图3.8 (a) 所示已知皮带拉力T=5 kN，t=2 kN，带轮直径D=160 mm， 分度圆直径d=100 mm•，压力角(齿轮啮合力与分度圆切线间夹角)α=20°， 求齿轮圆周力Ft、径向力Fr和轴承的约束反力 •　　解　　　解　取传动轴为研究对象，画出受力图，如图3.8(a) 所示 由图可知, 传动轴共受八个力作用, 为空间任意力系对于空间力系的解法有两种：一是直接应用空间力系的平衡方程求解；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受力图投影到三个坐标平面，画出主视、俯视、侧视三个视图, 分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量, 本法特别适用于解决轮轴类构件的空间受力平衡问题。

本题用两种方法分别求解 •　　方法一　如图3.8(a)所示，由式(3.8)可写出平衡方程 •解得 ：•　　•　　直接利用空间力系的平衡方程解题时，正确地计算力在轴上的投影和力对轴之矩是解题的关键但是，此方法在力较多时容易出错， 这时往往采用第二种方法求解 图　3.8•　方法二　(1) 取传动轴为研究对象，并画出它的分离体在三个坐标平•面投影的受力图, 如图3.8(b)、(c)、 (d) 所示 •　　(2) 按平面力系平衡问题进行计算•　　① 对符合可解条件的先行求解， 故从xz面先行求解 •　　　对xz面： •∑ＭA(F)=0 　•得•Ft=4.8 kN, Fr=Fttanα=1.747 kN•　　•　　② 对其余两面求解•　　对yz面: • ∑MB(F)=0 -RAz·400+Fr·200-(t+T)·60=0•得• RAz=-0.17 kN• ∑MA(F)=0 -200·Fr+400RBz-460(t+T) =0得• RBz=8.92 kN•　　对xy面： 由对称性得•　　•　　比较这两种方法可以看出，后一种方法把空间力系问题转化为平面力系问题，较易掌握，尤其适用于轮轴类构件的平衡问题的求解。

第第4章　杆件的轴向拉伸与压缩章　杆件的轴向拉伸与压缩4.1　轴向拉伸与压缩的概念和实例4.2　截面法、轴力与轴力图4.3　横截面上的应力4.4　轴向拉(压)时的变形4.5　金属材料在拉伸与压缩时的力学性能4.6　轴向拉(压)时的强度计算4.1　轴向拉伸与压缩的概念和实例　轴向拉伸与压缩的概念和实例•　　工程实际中，有很多发生轴向拉伸和压缩变形的杆件例如， 连接钢板的螺栓(见图4.1 (a))，在钢板反力作用下， 沿其轴向发生伸长(见图4.1(b))，称为轴向拉伸； 托架的撑杆CD(见图4.2 (a))在外力的作用下，沿其轴向发生缩短(见图4.2 (b))，称为轴向压缩产生轴向拉伸(或压缩)变形的杆，简称为拉(压)杆•图 4.1图　4.2•　　这些轴向拉伸(压缩)杆件虽外形各有差异，加载方式也并不相同，但它们都可以简化为如图4.1(c)、4.2(b)所示的简图可以看出，轴向拉伸和压缩的受力特点是外力(或外力合力)的作用线与杆件的轴线重合，变形特点是杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短 4.2　截面法、　截面法、 轴力与轴力图轴力与轴力图 •4.2.1　内力与截面法　内力与截面法•　　(1) 内力。

构件内部各部分之间存在着相互作用的力， 它维持构件各部分之间的相互联系和原有形状若构件受到外力(主动力和约束反力)作用而发生变形，则其内部各部分之间相互作用力也随之改变这个因外力的作用而引起构件内部相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力内力随外力的增大而增大，到达某一限度时就会引起构件破坏所以，内力与构件的承载能力密切相关内力分析是材料力学的基础 •　　(2) 截面法 •　　与理论力学中计算物系内力的方法相仿，用假想的截面将杆件截为两部分，任取杆件的一部分为研究对象，利用静力平衡方程求内力的方法称为截面法 •4.2.2　轴力与轴力图　轴力与轴力图•　　为了对拉(压)杆进行强度计算，首先分析其内力设拉杆在外力的作用下处于平衡(见图4.3 (a))运用截面法， 将杆件沿任一截面m-m假想分为两段(见图4.3 (b)、 (c))因拉(压)•杆的外力均沿杆轴线方向，由其共线力系平衡条件可知，其任一截面内力的作用线也必通过杆轴线，这种内力称为轴力，常用符号FN表示 •　　轴力FN的大小由平衡条件确定，取m-m截面左段为研究对象，则• ∑Fx=0 FN-F=0 FN=F•　　取m-m截面右段为研究对象， 则••　　　　FN和 互为作用力与反作用力， 对同一截面若选取不同部分为研究对象， 所求得的内力必然大小相等、 方向相反。

为保证无论取左段还是取右段为研究对象， 所求同一截面上的轴力正负号一致， 对轴力的正负号规定如下： 轴力的方向与所在横截面的外法线方向一致时， 轴力为正； 反之为负 也就是说， 杆受拉轴力为正， 受压轴力为负 •　　当杆受到多于两个的轴向外力作用时，在杆不同位置的横截面上的轴力往往不同轴力FN将是横截面位置坐标x的函数，即FN=FN(x)用平行于杆轴线的x坐标表示杆各横截面的位置，垂直于杆轴线的FN表示相应截面上的轴力，这样绘出轴力沿杆轴线变化的函数图像，称为轴力图  •　　【例4.1】设阶梯杆自重不计， 受外力如图4.4(a)所示， 试画出其轴力图 图　4.4•　　解　解　(1) 求约束反力•　　取阶梯杆为研究对象，并画出受力图(见图4.4(b) )，由平衡方程得• ∑Fx=0　　3P-P-RA=0•即• RA=2P•　　(2) 分段•　　以外力作用点为分段点， 将杆分为AB与DB两段 •　　(3) 求AB与BD段各横截面的轴力•　　 AB段： 取m-m截面左段为研究对象，画受力图如图4.4(c)所示，由平衡方程•∑Fx=0　　FN1-RA=0•得 •FN1=RA=2P•BD段： 取n-n截面的右段为研究对象，画受力图如图4.4(d)所示，由平衡方程•∑Fx=0　　FN2+P=0•得 •FN2=-P•式中的负号说明FN2的方向与原假设方向相反。

由轴力符号规定可知，FN2受压为负 •　　(4) 作轴力图根据所求得的轴力值，画轴力图，如图4.4 (e) 所示，|FNmax|=2P•　　由上面的例题分析可知：任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和外力的正负规定与轴力的正负规定恰恰相反 4.3　横截面上的应力　横截面上的应力 •4.3.1　应力的概念　应力的概念•　　确定了杆的内力后，还不能解决杆件的强度问题经验告诉我们，材料相同，直径不等的两根直杆，在相同的拉力P作用下，内力相等当力P增大时，直径小的杆必先断，这是由于内力仅代表内力系的总和，而不能表明截面上各点受力的强弱程度，直径小的杆因截面积小，截面上各点受力大， 因此先断所以，需引入表示截面上某点受力强弱程度的量——应力，作为判断杆件强度是否足够的量 •　　为了研究杆件截面a－a上任一点K的应力，如图4.5(a) 所示，围绕点K取一微面积ΔA，设ΔA上的内力为ΔP，那么， 比值•　　称为ΔA上的平均应力一般情况下，内力在截面上分布并不均匀，平均应力Pm的值随ΔA的大小而改变只有当ΔA→0时，Pm的极限值P方能代表K点受力强弱程度因此， 截面a-a上K点的应力为 •　　应力P是矢量， 通常将其分解为垂直于截面的分量σ和与截面相切的分量τ(见图4.5 (b))。

σ称为正应力，τ称为切应力 图 4.5•　　应力的国际单位是Pa，1 Pa=1 N/m2，常用单位为MPa和GPa，1 MPa=10 6 Pa，1 GPa=109 Pa •4.3.2　轴向拉　轴向拉(压压)时横截面上的应力时横截面上的应力•　　欲求横截面上的应力，必须知道内力系在横截面上的分布规律, 而力与变形有关，因此我们通过对杆进行轴向拉(压)实验，来观察和分析杆的变形 •　　取一等截面直杆，在杆表面画两条横截面的边界线(ab和cd)和许多与杆轴线平行的纵向线(见图4.6(a))然后在两端沿轴线施加拉力F，使杆件产生拉伸变形(见图4.6(b)， 可发现：① 横向线ab和cd仍为直线，只是沿轴线发生了平移，ab和cd分别移至a′b′、c′d′，但仍垂直于杆轴线；② 各纵向线发生伸长，且伸长量相同 •　　根据上述现象可作如下假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，仅沿轴向发生了平移，此假设称为平面假设根据平面假设，任意两横截面间的各纵向纤维的伸长量相同，即变形相同由此可知, 它们受力也应相等，内力在横截面上均匀分布，即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴线，垂直于横截面，故为正应力, 如图 4.6 (c) 所示，计算公式为(4.1) •式中， FN为横截面上的轴力，A为横截面面积。

•　　正应力的正负号规定与轴力相同， 即拉应力为正， 压应力为负 图　4.6•　　【例4.2】　图4.7(a)为轧钢机的压力螺旋，其尺寸如图所示设压力螺旋所受最大压力P=800 kN，试求其最大正应力 图　4.7•　　解　　解 　　(1) 计算轴力 因压力螺旋的最大应力将产生于截面最小的部位，所以用截面法在最小直径处将其截开，取下半部分为研究对象(见图4.7(b))由平衡方程得•FN=P=800 kN•　　(2) 计算最小横截面面积由图中所示尺寸可知•　　(3) 计算最大正应力 4.4　轴向拉（压）时的变形　轴向拉（压）时的变形 •4.4.1　纵向线应变与横向线应变　纵向线应变与横向线应变•　　如图4.8所示，设l、d为直杆变形前的长度与直径，l1、d1为直杆变形后的长度和直径，则•　　　　　纵向变形：Δl=l1-l (a)•　　　　　横向变形：Δd=d1-d (b) Δl与Δd称为绝对变形，即总的变形量。

拉伸时，Δl>0，Δd<0；压缩时，Δl<0，Δd>0图　4.8•　　为了消除杆件原尺寸对变形大小的影响，用单位长度内杆的变形量，即线应变来衡量杆件的变形程度与上述两种绝对变形相对应的纵向线应变ε和横向线应变ε′分别为(c) (d) •　　线应变表示的是杆件的相对变形，是一个量纲为1的量 由式(c)、(d)可知，拉伸时ε>0，ε′<0；压缩时，ε<0，ε′>0总之，ε与ε′符号相反 •4.4.2　泊松比　泊松比•　　实验表明： 当应力未超过某一限度时， 横向线应变ε′与纵向线应变ε之间存在正比关系，且符号相反，即• ε′=-με (4.2) •式中，比例常数μ称为泊松系数或泊松比，其值与材料有关 •4.4.3　胡克定律　胡克定律•　　英国科学家胡克通过实验发现了力与变形的关系：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的绝对变形Δl与轴力FN、杆长l成正比，与杆的横截面积A成反比， 即 •引入比例系数E， 则•式(4.3)称为胡克定律。

式中，系数E称为弹性模量，单位为GPa，其值随材料不同而异当FN、l和A的值一定时，E值愈大，则Δl愈小，说明E的大小表示材料抵抗拉(压)弹性变形的能力，是材料的刚度指标FN、l一定时，EA值愈大，Δl愈小，说明EA表示杆件抗拉(压)变形能力的大小，称为杆的抗拉(压)刚度 (4.3) •　　式(4.3)可改写为•即 •或•　　式(4.4)是胡克定律的另一表达形式它表明当应力未超过某一限度时， 应力与应变成正比 (4.4) •　　应用胡克定律时应注意： •　　(1) 杆的应力未超过某一极限•　　(2) ε是沿应力σ方向的线应变•　　(3) 在长度l内，其FN、E、A均为常数 •　　E与μ都是表示材料弹性的常量，可由实验测得常用材料的E和μ值可参阅表4.1 •表表4.1　常用材料的　常用材料的E、、μ值值•　　【例4.3】　求如图4.9(a) 所示的杆的总变形量已知杆各段横截面面积为ACD=200 mm2，ABC=AAB=500 mm2，E=200 GPa 图 　4.9•　　解　　　解　(1)作轴力图•　　用截面法求得AB段轴力FNAB=20 kN，BC段和CD段轴力FNBC=FNCD=-10 kN。

画轴力图，如图4.9 (b) 所示•　　(2) 计算杆的总变形Δl•　　由胡克定律可知， 应先分别计算AB段、 BC段、CD段的变形，再求杆的总变形 •杆的总变形为• Δl=ΔlAB+ΔlBC+ΔlCD• =2×10-5+(-1)×10-5+(-2.5)×10-5• =-15×10-6 m=-0.015 mm•负号表示杆的总变形为压缩变形，杆件缩短0.015 mm 4.5　金属材料在拉伸与压缩时的力学性能　金属材料在拉伸与压缩时的力学性能•4.5.1　拉伸试验和应力应变曲线　拉伸试验和应力应变曲线•　　拉伸试验是确定材料力学性能的基本试验国家标准GB 228-1987规定，常用圆截面拉伸标准试件如图4.10所示， 其中l为试件工作长度，称为标距，标距l与直径d之比常取10图　4.10•　　试验在万能试验机上进行试件装夹好后，开动机器缓慢加载，随着试件受到由零逐渐增加的拉力F的作用，试件在标距l内也将产生相应的变形Δl，直至试件断裂为止。

把试验过程中对应的F和Δl绘制成曲线，称为F-Δl曲线，如图4.11 (a) 所示，也称拉伸图一般试验机均可自动绘出F-Δl曲线 为了消除试件尺寸的影响，将载荷F除以试件的原横截面积， 即F/A=σ，将变形Δl除以试件原长l，即Δl/l=ε，由此得到σ-ε关系曲线，称为应力-应变图，如图4.11(b)所示 图　4.11•4.5.2　低碳钢拉伸时的力学性能　低碳钢拉伸时的力学性能•　　低碳钢拉伸时的F-Δl与σ-ε曲线分别如图4.11(a)、(b)所示现以图4.11(b)所示的σ-ε曲线为例， 讨论低碳钢在拉伸时的力学性能 •　　　　1. 弹性阶段弹性阶段(OA段和段和AA′段段)•　　σ-ε曲线的OA段为一直线，说明该段内应力和应变成正比，即满足胡克定律σ=Eε直线OA最高点A点对应的应力值为σP，称为材料的比例极限低碳钢的比例极限σP=190～200 MPa图中倾角α的正切tanα=σ/ε=E，即为直线OA的斜率， 数值上等于材料的弹性模量E •　　当应力超过比例极限后，图中AA′段已不是直线，此时材料不符合胡克定律，但只发生弹性变形若应力值超过A′点所对应的应力值σe，则出现塑性变形。

因此，σe是材料产生弹性变形的最大应力值，称为材料的弹性极限实际上A′与A两点非常接近，故工程上对两者不作严格的区分•　　试件的应力从零增加到弹性极限σe的过程中，试件只产生弹性变形，故称为弹性阶段 •　　　　2. 屈服阶段屈服阶段•　　当应力超过σe后，σ-ε曲线上将出现一段沿水平线上、下波动的锯齿形线段BC，说明应力虽有小的波动， 但基本保持不变而应变增加，材料好像失去了抵抗变形的能力这种应力基本保持不变而应变显著增加的现象称为材料的屈服BC段所对应的过程称为屈服阶段 屈服阶段的最低应力值σs称为材料的屈服极限低碳钢的σs=220～240 MPa在屈服阶段，光滑试件的表面将出现与其轴线成45°的条纹，如图4.12 (a) 所示，称为滑移线这表明沿最大切应力面(45°斜截面)，材料晶粒间发生相对滑移，产生了塑性变形工程上不允许过大的塑性变形，所以屈服极限σs是衡量材料强度的重要指标 图　4.12•　　　　3. 强化阶段强化阶段•　　屈服阶段之后，如图4.11(b)所示, 将出现向上凸的曲线CD，这表明若要试件继续变形，必须增加应力，这时材料又恢复了抵抗变形的能力，该现象称为材料的强化。

CD段对应的过程为材料的强化阶段曲线最高点D所对应的应力值称为强度极限，以σb表示它是材料能承受的最大应力强度极限是衡量材料强度的另一重要指标低碳钢的σb=370～460 MPa •　　　　4. 颈缩阶段颈缩阶段•　当材料达到强度极限后， 在试件较薄弱的横截面处发生急剧的局部收缩， 出现颈缩现象，如图4.12(b)所示由于在颈缩部分横截面面积急剧减小，因此试件所受拉力F逐渐减小，随后试件被拉断这一阶段为颈缩阶段，即σ-ε曲线上的DE段 •　　　　5. 延伸率和断面收缩率延伸率和断面收缩率•　　试件拉断后，弹性变形消失，残留下的是塑性变形试件的长由原始长度l变为l1，用百分比表示的比值称为延伸率， 即(4.5) •　　断口截面积由A变为A1，试件断口处横截面面积的相对变化率称为断面收缩率，即•(4.6)••延伸率δ、断面收缩率ψ都是衡量材料塑性性能的指标工程上，δ>5%的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等；δ<5%的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃等对于低碳钢，δ>20%~30%，ψ>60%~70%，故低碳钢是很好的塑性材料 •　　　　6. 冷作硬化冷作硬化•　　如果把试件拉伸到强化阶段后某点，然后逐渐卸载至零， 此时，应力和应变关系将沿斜直线FG回到G点，如图4.13所示。

斜直线FG近似平行于OA，说明卸载过程中，应力和应变仍保持直线关系，且弹性模量近似与加载时相同其中，GH为消失的弹性应变，OG为塑性应变 图　4.13•　　卸载后，如在短期内再加载，则应力和应变关系将沿着卸载时的直线GF上升到F点，以后沿原σ－ε曲线变化，直至拉断 由此可知，卸载后再加载，材料的比例极限σP有所提高，但塑性下降，这一现象称为材料的冷作硬化 •　　工程上，常用冷作硬化来提高某些构件(如钢筋、链条、钢缆绳等)的承载能力 •4.5.3　其他材料拉伸时的力学性能　其他材料拉伸时的力学性能•　　1. 其他塑性材料其他塑性材料•　　图4.14所示为几种塑性材料拉伸时的σ-ε曲线由图可见，它们和低碳钢相似，存在着弹性阶段，且有较大的塑性变形，但有的材料无明显的屈服阶段对于无明显屈服现象的•材料，工程上规定，以产生0.2%的塑性应变时所对应的应力值作为名义屈服极限，用σ0.2表示，如图4.15所示  图　4.14图　4.15 •　　　　2. 脆性材料脆性材料•　　图4.16所示为灰铸铁拉伸时的σ-ε曲线 从图上可以看到, 曲线无明显的直线部分，既无屈服阶段，也无颈缩现象，它说明应力与应变不符合胡克定律，但在应力较小时，σ-ε曲线与直线相近似，故以直线Oa(虚线表示)代替曲线 ，即认为铸铁在应力较小时，近似符合胡克定律。

•　　铸铁的延伸率δ通常只有0.5%～0.6%，是典型的脆性材料强度极限是脆性材料唯一的强度指标 图　4.16•4.5.4　材料压缩时的力学性能　材料压缩时的力学性能•　　金属材料的压缩试件一般做成短圆柱体， 高度l为直径d的1.5～3倍， 以防止试件被压弯 •　　低碳钢压缩时的 σ-ε曲线如图4.17所示，与其拉伸时的σ-ε曲线(以虚线表示)相比，在弹性阶段和屈服阶段，两曲线是基本重合的这说明压缩时的比例极限σP、弹性极限σe、 弹性模量E以及屈服极限σs与拉伸时基本相同屈服阶段后，试件会越压越扁，横截面面积不断增大，因此，一般无法测出强度极限对塑性材料一般不作压缩试验 图　4.17•　　铸铁压缩时的σ-ε曲线如图4.18所示，与拉伸时的σ-ε曲线(虚线)相比，压缩时的 σ-ε曲线也无明显直线部分和屈服阶段 这说明压缩时在应力很小的条件下是近似符合胡克定律的，且不存在屈服极限其压缩强度极限比拉伸时要高出4～5倍，塑性变形比拉伸时明显增加 此外，其破坏断面与轴线大致成45°倾角其他脆性材料如硅石、水泥等，其抗压能力也显著高于抗拉能力，因此工程上常用脆性材料作承压构件。

•　　几种材料的力学性能如表4.2所示 图　4.18•表表4.2　几种材料的力学性能　几种材料的力学性能 4.6　轴向拉　轴向拉(压压)时的强度计算时的强度计算 •4.6.1　极限应力、　极限应力、 许用应力许用应力•　　材料破坏时的应力称为极限应力，用σ0表示对于塑性材料，当应力达到屈服极限σs(或σ0.2)时，构件已产生明显的塑性变形，影响其正常工作，一般认为构件已被破坏因而把屈服极限σs(或σ0.2)作为塑性材料的极限应力对于脆性材料，断裂是脆性材料破坏的唯一标志，因此， 强度极限σb是脆性材料的极限应力，即•　　塑性材料：σ0=σs(σ0.2)•　　脆性材料：σ0=σb •　　由于工程构件的受载难以精确估计，以及材质的不均匀性、 计算方法的近似性和腐蚀与磨损等诸多因素的影响，为了保证构件能安全可靠地工作，需要一定的强度储备，应将极限应力除以大于1的安全系数n，作为材料的许用应力[σ]，即•　　各种不同工作条件下构件的安全系数n的选取，可从有关工程手册和设计规范中查找对于塑性材料，一般取n=1.2～1.3；对于脆性材料，一般取n=2.0～3.5 •4.6.2　轴向拉　轴向拉(压压)杆的强度计算杆的强度计算•　　为了保证拉(压)杆具有足够的强度，必须使杆的最大工作应力小于或等于材料在拉伸(压缩)时的许用应力[σ]， 即 •该式称为拉(压)杆的强度条件，σmax所在的截面称为危险截面。

式中，FN、A分别为危险截面的轴力和横截面面积 •　　根据强度条件，可解决下列强度计算的问题： •　　(1) 强度校核已知杆件的材料、尺寸及所受载荷，根据式(4.7)检查杆件的强度是否足够，若式(4.7)成立，则强度足够， 否则强度不够 •　　(2) 设计截面尺寸已知所受载荷和材料的许用应力，由A≥FN/[σ]，确定截面尺寸•　　(3) 确定许可载荷已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，由FN≤A[σ]，确定杆件所能承受的最大轴力，再根据静力学关系，确定结构所能承受的载荷 　在强度校核计算中，可能出现最大应力稍大于许用应力的情形，设计规范规定，只要不超过5%，是允许的 •　　【例4.4】起重吊钩如图4.19所示，吊钩螺栓螺纹公称直径d=56 mm，小径d1=52.8 mm材料的许用应力[σ]=80 MPa，载荷F=170 kN，试校核吊钩螺纹部分的强度 图　4.19•　　解　　　解　(1) 吊钩螺纹部分所受内力为FN=170 kN•　　(2) 由于螺纹部分的轴力相同，因此横截面积最小的截面为危险截面螺纹小径截面积最小，即•　　(3)校核吊钩螺纹部分的强度 •所以强度足够。

•　　【例4.5】气动夹具如图4.20 (a) 所示已知汽缸内径D=140 mm，缸内气压P=0.6 MPa， 活塞杆材料为20钢，[σ]=80 MPa， 试设计活塞杆直径d 图　4.20•　　解　　　解　活塞杆左端承受活塞上气体的压力，右端承受工件的阻力，所以活塞杆受到轴向拉伸，如图4.20 (b) 所示拉力F的值可由气体压强乘以活塞的受压面积求得在尚未确定活塞杆的横截面面积之前，当计算活塞的受压面积时，可暂将活塞杆横截面面积略去不计因此，有 •　　活塞杆的轴力为•　　　　　　　　　FN=F=9.24 kN•　　由••求得d≥12.2 mm，可取活塞杆的直径为13 mm •　　【例4.6】　如图4.21所示，AB与BC杆材料的许用应力分别为[σ1]=100 MPa，[σ2]=160 MPa， 两杆截面面积均为A=2 cm2 求许可载荷[P] 图　4.21•　　解　解　(1) 由平衡条件确定各杆内力•　　∑Ｆx=0　　FABcos45°+FBCcos30°-P=0•　　∑Fy=0　　-FABsin45°+FBCsin30°=0•　　　　　　　FN1=FAB=0.518 P•　　　　　　　FN2=FBC=0.732 P•　　(2) 求各杆的许可内力[FN1]和[FN2]。

•　　由强度条件　　　　　　得：•[FN1]≤A[σ1]=2×102×100=20 kN•[FN2]≤A[σ2]=2×102×160=32 kN•　　(3) 根据各杆内力与载荷之间的关系，确定许可载荷•　　AB杆：[FN1]≤20 kN, 即 0.518[P]≤20 kN, [P]≤38.6 kN　　　　　　　 　　•　　　　BC杆：[FN2]≤32 kN, 即0.732[P]≤32 kN， [P]≤43.7 kN故结构许可载荷为•[P]=38.6 kN 第第5章　扭章　扭 转转 与与 剪剪 切切5.1　扭转的概念与实例5.2　外力偶矩与扭矩5.3　圆轴扭转的切应力与强度计算5.4　圆轴扭转变形与刚度计算5.5　剪切与挤压的实用计算5.1　扭转的概念与实例　扭转的概念与实例 •5.1.1　扭转的概念　扭转的概念•　　扭转是杆件的基本变形之一 •　　其受力特点是：在垂直于杆轴线的两个平行平面内分别作用一个大小相等、方向相反的外力偶，如图5.1所示 图　5.1•　　其变形特点是：杆件的任意两横截面发生绕轴线的相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变。

这种变形称为扭转 以扭转为主要变形的杆件称为轴 •　　实践中受扭转的构件很多， 本章只讨论工程中常见的圆轴扭转问题 •5.1.2　受扭圆轴实例　受扭圆轴实例•　　在工程实际中，圆轴扭转的实例很多 •　　图5.2所示为汽车方向盘的转向轴，司机通过双手将力偶(F，F′) 施加在方向盘上，并作用在转向轴的A端，转向器的阻力偶M作用在B端转向时，杆AB就产生上述的扭转变形 图　5.2•　　图5.3所示为丝锥，在攻丝时，工人师傅两手施加的力偶(F, F′) 作用在丝锥杆的上端，与工件对丝锥产生的反力偶M都作用在丝锥杆上，并使丝锥杆产生扭转变形 图　5.35.2　外力偶矩与扭矩　外力偶矩与扭矩 •5.2.1　外力偶矩的计算　外力偶矩的计算•　　在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的，通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速因此，需要了解功率、转速和外力偶矩三者之间的关系，即(5.1) •　　式中， M为作用于轴上的外力偶矩，单位为N·m；P为轴所传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为r/min•　　说明：轴上输入力偶矩是主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；轴上输出力偶矩是阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。

•　　【例5.1】　已知某传动轴传递的功率为7.5 kW，转速为300 r/min，试计算此传动轴传递的外力偶矩•　　解　　解　由式(5.1)计算得 •5.2.2　扭矩的计算　扭矩的计算 •　　如图5.4(a) 所示，等截面圆轴受到三个外力偶矩M1、M2和M3的作用达到平衡，现在用截面法求m-m截面上的内力先将轴沿m-m横截面处截开，取左段作为研究对象，画出受力图，如图5.4 (b) 所示•　　由力偶平衡条件可知：m-m截面上必须有一个内力偶矩与外力偶矩Ｍ1平衡，此内力偶矩称为扭矩，用符号T表示，T的单位为N·m •　　由∑m=0得•　　 M1-T=0 T=M1•　　若取m-m横截面的右段部分为研究对象，画出受力图， 如图5.4 (c) 所示可求得m-m横截面上的扭矩T′，显然，T′与T大小相等，方向相反，即为作用与反作用的关系 •　　由∑m=0得•　　　T′+Ｍ2-M3=0•　　　　　T′=M3-M2(即M1=M3-M2)•　　为了使取左段和右段求得的扭矩正、负号也相同，对扭矩的正、负号采用右手螺旋法则判断：如图5.5所示，右手四指顺着扭矩方向握住圆轴的轴线，伸直大拇指的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正；反之，为负。

图　5.5•　　画受力图时，一般可以先假设扭矩为正方向，若计算出扭矩的结果为正值，表示扭矩的实际方向与假设方向相同；若计算出扭矩的结果为负值，表示扭矩的实际方向与假设方向相反•　　由前面分析可知， 圆轴扭转时任意截面上的扭矩等于该截面一侧所有外力偶矩的代数和， 外力偶矩的正负规定与扭矩相反 •5.2.3　扭矩图　扭矩图•　　通常圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴(横坐标轴)，以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图•　　【例5.2】已知一传动轴如图5.6 (a) 所示，主动轮A上输入•功率为15 kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10 kW，轴的转速为n=1000 r/min试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图 •　　解　解　(1)计算外力偶矩M•　　(2) 计算扭矩T•　　由图5.6 (b) 可得 •T1+MA=0•T1=-MA=-143.24 N·m•　　由图5.6 (c) 可得•T2+MA-MB=0•T2=MB-MA=-47.75 N·m方向与轴的转向相同方向与轴的转向相反• 　　(3) 绘制扭矩图如图5.6 (d) 所示。

由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其大小为143.24 N·m 图　5.6•　　【例5.3】图5.7所示为一齿轮轴，B为输入轮，A、C、D为输出轮，已知MA=535 N·m，MB=1146 N·m，MC=382 N·m，MD=229 N·m试绘出该轴的扭矩图 　　•　　解　解　(1) 计算扭矩在轴的AB段、BC段和CD段分别取1-1、2-2和3-3截面，利用任意截面上扭矩的计算规律，依次计算齿轮轴各段的扭矩 •　　对AB段，可得•T1＝－MA＝－535 N·m•　　对BC段，可得•　　　　　　T2＝MB－ MA ＝1146-535=611N·m•　　对CD段， 可得•T3＝ MD＝229 N·m 图　5.7•　　(2) 绘制扭矩图•　　建立坐标系，根据以上计算结果按比例绘出扭矩图，如图5.7(b)所示该轴所受的最大扭矩在BC段的横截面上，其值为Tmax=611 N·m 5.3　圆轴扭转的切应力与强度计算　圆轴扭转的切应力与强度计算 •5.3.1　变形几何关系　变形几何关系•　　取一等截面圆轴，在其表面上作出两条平行于轴线的纵向线aa、bb, 两条圆周线11、22，如图5.8 (a) 所示。

再在圆轴的两端分别作用一个外力偶M，使杆件发生扭转变形由图5.8 (b)可以看到以下变形现象：各圆周线的形状、大小、间距保持不变，只绕轴线作相对转动；各纵向线倾斜了一个相同的角度γ，由圆周线与纵向线组成的原矩形变成了平行四边形图　5.8图　5.8•　　由以上分析可知, 圆轴受扭转变形后，其横截面大小和形状不变，由此可导出横截面上沿半径方向无切应力作用；又由于相邻横截面的间距不变，因此横截面上无正应力作用但因为相邻横截面发生绕轴线的相对转动，所以横截面上必然有垂直于半径方向的切应力切应力用符号τ表示 •　　在圆轴上取一微段dx，放大后如图5.8(c)所示，右截面相对于左截面转过了一个角度dj，半径由O2B转至O2C位置，纵向线AB倾斜γ角度达到AC位置，A点的切应变为 •那么， 距轴线为ρ的任意一点的切应变为•　　对于给定的横截面，dj/dx为常量, 故由式(5.2)可知，横截面上任意一点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比 (5.2) •5.3.2　横截面上的切应力　横截面上的切应力•　　由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ, 即•式中，G为材料的切变模量，其数值可由试验测得，常用单位为GPa；τρ为截面上离轴心距离为ρ的各处切应力。

(5.3) •　　式(5.3)表明：横截面上任意一点的切应力与该点到轴心的距离成正比，其方向与半径垂直可以证明，横截面上任意一点的切应力计算公式为τρ=Tρ/Ip式中，Ip为横截面对圆心O点的极惯性矩，其计算公式为：•　　实心圆截面：•　　空心圆截面：•　　因此， 实心圆轴和空心圆轴横截面上的切应力分布可用图5.9表示  图　5.9•　　由图5.9可知，在圆轴横截面上，当ρ=0时，τρ=0；当ρ=R时，即圆轴横截面上边缘上点的切应力为最大值τmax， 且切应力沿半径方向呈线性增长其最大切应力为•　　显然，Wp=Tp/R式(5.4)中，Wp为抗扭截面系数，常用单位为m3、mm3 (5.4) •　　对于如图5.10所示的实心圆轴，其抗扭截面系数为图　5.10•　　对于如图5.11所示的空心圆轴，其抗扭截面系数为 •其中, α=d/D图　5.11•5.3.3　强度计算　强度计算•　　圆轴扭转的强度条件为：圆轴危险截面上的最大切应力小于或等于材料的许用切应力, 即 τmax≤［τ］•　　对于等截面圆轴, 有 •　　【例5.4】一阶梯圆轴如图5.12(a) 所示，轴上受到外力偶•矩M1=6 kN·m，M2=4 kN·m，M3=2 kN·m，轴材料的许用切应力[τ]=60 MPa，试校核此轴的强度。

•　　解解 　(1) 绘制扭矩图如图5.12 (b) 所示 •　　(2) 校核AB段的强度•则强度足够 图　5.12•　　(3) 校核BC段的强度•则强度足够 •　　【例5.5】某机器传动轴由45钢制成，已知材料的[τ]=60•MPa，轴传递的功率P=16 kW，转速n=100 r/min，试确定其直径 •　　解解 　(1) 计算外力偶矩和扭矩 •　　(2) 计算轴的直径•　　【例5.6】如图5.13所示的联轴器中，轴材料的许用切应•力[τ]=40 MPa，轴的直径d=30 mm，套筒材料的许用切应力[τ]=20 MPa，套筒外径D=40 mm试求此装置的许可载荷 图　5.13•解解 (1) 按轴的扭转强度求许可载荷•　　(2) 按套筒的扭转强度求许可载荷•　••取两者之中的较小值， 此装置的许可扭矩为72.44 N·m 5.4　圆轴扭转变形与刚度计算　圆轴扭转变形与刚度计算•5.4.1　扭转变形　扭转变形•　　圆轴扭转时的变形采用两个横截面之间的相对转角j来表示对于长度为L，扭矩为T，且截面大小不变的等截面圆轴， 其变形计算公式为•　　对于直径变化的圆轴(阶梯轴)， 或者扭矩分段变化的等截面圆轴， 必须分段计算相对转角， 然后计算代数和。

•5.4.2　刚度条件　刚度条件 •　　圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角θmax不超过许用的单位长度扭转角[θ]，即•式中, θ的单位为°/m •精密机器的轴：［θ］=0.25～0.50 °/m•一般传动轴：［θ］=0.50～1.00 °/m•要求不高的轴：［θ］=1.00～2.5 °/m •　　【例5.7】　汽车传动轴输入的力偶矩M=1.5 kN·m，直径d=75 mm，轴的许用扭转角[θ]=0.50 °/m，材料的切变模量G=80 GPa，试校核此传动轴的刚度 •　　解　　解 　(1) 计算扭矩• 此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5 kN·m•　　(2) 计算Ip •　　(3) 校核轴的刚度•故此传动轴刚度足够 5.5　剪切与挤压的实用计算　剪切与挤压的实用计算•5.5.1　剪切与挤压的概念•　　图5.14 (a) 所示为铆钉连接，在被连接的物体上作用有等值、反向的力，此时铆钉的受力特点是：铆钉受到一对等值、反向、作用线平行且相距很近的外力作用，如图5.14(b)所示 •　　其变形特点是：位于两反向外力作用线之间的截面发生相对错动， 这种变形称为剪切变形，如图5.14 (c) 所示。

产生相对错动的面称为剪切面，作用在剪切面上的内力称为•剪力，用Fs表示 图　5.14•　　在铆钉连接中，除铆钉受到剪切以外，铆钉与被连接件孔壁接触处还受到较大的压力作用，产生局部压缩变形，这种变形称为挤压变形，如图5.14(d) 所示 •5.5.2　实用计算　实用计算•　　下面介绍两种实用计算： 剪切的实用计算和挤压的实用计算•　　　1. 剪切的实用计算剪切的实用计算•　　工程中，通常近似地认为剪切面上的切应力是均匀分布的，所以剪切面上的切应力计算公式为••式中, A为剪切面的面积剪切面为受剪部位的横截面，其截面形状不同，面积计算方法也不同•　　剪切强度条件： 剪切应力不超过材料的许用切应力， 即•　　　　2. 挤压的实用计算挤压的实用计算•　　工程中近似把挤压面上的挤压应力也看成是均匀分布的 挤压应力σbs的计算公式为••　　挤压强度条件： 挤压应力不超过材料的许用挤压应力, 即•　　式中, Fbs为挤压力，Abs为挤压面的计算面积挤压面为挤压发生的接触面当挤压面为圆柱面时，Abs等于通过圆柱直径的剖面面积，Abs=dh，如图5.15所示；当挤压面为平面时，Abs等于该平面的实际面积。

图　5.15•　　【例5.8】　图5.16所示为齿轮与轴通过B型普通平键连接已知轴径d=70 mm，键的尺寸为b×h×l=20 mm×12 mm×100 mm，传递转矩T=2 kN·m，材料许用应力[σbs]=100 MPa，[τ]=60 MPa，试校核此键连接 图　5.16•　　解解　(1) 校核键连接的剪切强度•　　剪力： ••则剪切强度够 •　　(2) 　校核键连接的挤压强度•则挤压强度够 •　　所以， 此键连接强度足够 第6章　弯　　曲 6.1　弯曲的概念与实例6.2　梁的内力与内力图6.3　弯曲时的正应力与强度计算6.4　梁的变形6.5　提高梁的承载能力的措施6.6　组合变形简介6.1.1　基本概念　基本概念 •6.1.1　基本概念　基本概念•　　弯曲是工程实际中常见的基本变形之一例如， 6.1(a)所示为变速箱中的齿轮传动轴，当齿轮受力时，轴就会发生变形，其轴线会弯曲又如，图6.1(b)所示房子上的横梁，受到楼板的压力后也会产生同样的变形 图　6.1•　　以上构件的受力特点是：在通过构件轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用其变形特点是：构件的轴线由直线变成一条曲线，这种变形称为弯曲变形。

以弯曲变形为主的构件习惯上称为梁•　　工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、 T字形和工字形等，如图6.2所示 图　6.2•　　以上横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，如图6.3所示 •　　工程实践中，通常把作用在梁上的所有外力都简化在梁的纵向对称平面内，且常把梁的轴线被弯曲成一条仍在纵向对称平面内的光滑平面曲线的弯曲变形称为平面弯曲 图　6.3•6.1.2　梁的类型　梁的类型•　　工程实际中，梁的结构繁简不一为便于分析和计算，通常对梁进行简化根据支座对梁的约束的不同情况，简单的梁有三种类型，其简图如图6.4所示 •　　(1) 简支梁：梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图6.4(a)所示 •　　(2) 悬臂梁：梁的一端为固定端支座，另一端为自由端， 如图6.4(b)所示 •　　(3) 外伸梁：梁的一端或两端伸在支座之外的简支梁，如图6.4(c)所示 图　6.46.2　梁的内力与内力图　梁的内力与内力图 •6.2.1　剪力与弯矩　剪力与弯矩•　　为了计算梁的强度与刚度，必须用截面法求出梁的内力。

如图6.5所示，简支梁在距A端为a的横截面上受集中力F作用，求简支梁AB上任意横截面m-m上的内力•　　首先，利用静力平衡条件求出A、B的支座反力NA与NB为 •　　其次，假想用一截面将梁沿m-m截面截开，取左段进行分析，如图6.5(b) 所示为了达到平衡，在m-m截面上必须作用一个与NA等值、反向的力Fs •　　　　NA与Fs构成力偶，又有让梁顺时针转动的趋势为了达到转动平衡，截面上必须作用有一个力偶M图6.5中使梁的横截面发生错动的内力Fs称为剪力；使梁的轴线发生弯曲的内力偶矩M称为弯矩其大小可以由平衡条件求出， 即•式中，C1表示左段截面的形心 •　　若取m-m截面右段为研究对象，作同样分析后，可求得与左段截面上等值、反向的剪力 和弯矩M′，与左段截面上的剪力Fs和弯矩M互为作用与反作用的关系 •　　为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符号相同，把剪力和弯矩的符号规定为：使所取该段梁产生“左上右下”的相对错动的剪力方向为正，反之为负，如图6.6所示；使所取该段梁产生上凹下凸的弯矩为正，反之为负，如图6.7所示 图　6.6图　6.7 •　　从上述剪力和弯矩的计算过程中， 我们可以看到如下规律： •　　(1) 横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧(或右侧）所有外力的代数和； •　　(2) 横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧(或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。

•　　为了使所求得的剪力与弯矩符合前面的符号规定，按此规律计算剪力时，截面左侧梁上外力向上取正值，向下取负值，截面右侧梁上外力向下取正值，向上取负值；计算弯矩时，截面左侧梁上外力对该截面形心的力矩顺时针转向取正值，逆时针转向取负值，截面右侧外力对该截面形心的力矩逆时针转向取正值，顺时针转向取负值可以将这个规则归纳为一个简单的口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正 •6.2.2　剪力图与弯矩图　剪力图与弯矩图•　　工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化 若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力Fs和弯矩M可以写成x的函数： •Fs=Fs(x)•M=M(x) •以上两式分别称为剪力方程和弯矩方程 •　　为了直观地反映梁上各横截面上的剪力和弯矩的大小及变化规律，根据剪力方程和弯矩方程，用横坐标x表示梁的横截面的位置，纵坐标分别表示剪力Fs和弯矩M的大小而画出图形， 分别称为剪力图和弯矩图 •　　【例6.1】　如图6.8(a)所示，简支梁AB受集中载荷F=12 kN， 试画出其剪力图和弯矩图 图　6.8•　　解　　解 　(1) 求A、B的支座反力。

•　　•　　(2) 列剪力方程与弯矩方程•　　① 对AC段，取距A端为x1的截面左段，画出受力图，如图6.8(b)所示，列平衡方程： •　　② 对CB段，取距A端为x2的截面左段，画出受力图，如图6.8(c) 所示，列平衡方程： •　　 (3) 绘制剪力图和弯矩图•　　根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图，如图6.8 (d) 所示，绘出弯矩图，如图6.8 (e) 所示•　　从剪力图上可以看出，在集中力F作用处，剪力图上会发生突变，突变值即等于集中力F的大小 •　　由剪力图和弯矩图可知，集中力F作用在C截面上，剪力和弯矩都达到最大值 •　　【例6.2】如图6.9(a)所示，简支梁AB上作用一集中力偶M，试绘出梁AB的剪力图和弯矩图 图　6.9•　　解　　解 　(1) 求AB的支座反力，由力偶系平衡可得•　　(2) 列剪力方程和弯矩方程•　　1-1截面： 剪力方程为•　　弯矩方程为••2-2截面： 剪力方程为••　　弯矩方程为 •　　 (3) 绘制剪力图和弯矩图•　　绘制剪力图，如图6.9(b)所示；绘制弯矩图，如图6.9(c)所示从弯矩图上可看出，集中力偶作用处其弯矩有突变， 突变值等于集中力偶矩。

•　　【例6.3】如图6.10 (a) 所示，悬臂梁AB受均布载荷作用,•试绘制其剪力图和弯矩图 图　6.10 •　　解　　　解　设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段为研究对象，画出受力图，如图6.10(b)所示•　　根据平衡条件： •　　由Fs=qx可绘出剪力图，如图6.10(c)所示；由　　　　　描点可绘出弯矩图，如图6.10(d)所示 6.3　弯曲时的正应力与强度计算　弯曲时的正应力与强度计算 •6.3.1　变形几何关系　变形几何关系•　　通过前面分析梁的内力可知，一般情况下， 梁横截面上都存在剪力和弯矩两种内力剪力是与截面相切的分布内力系的合力，它与横截面上的切应力相关；弯矩是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，它与横截面上的正应力相关 实践证明，当梁比较细长时，正应力对梁的破坏起决定作用 本节将重点讨论梁横截面上的正应力 •　　如图6.11所示，一矩形等截面简支梁AD，已知条件如图所示 由梁的剪力图和弯矩图可看出：AB段和CD段既受剪力作用， 又受弯矩作用，称为剪切弯曲；中间的BC段只受弯矩作用， 没有剪力作用，称为纯弯曲 图　6.11•　　为了了解纯弯曲作用时梁的变形， 取一矩形等截面梁进行纯弯曲变形实验。

如图6.12 (a) 所示，在梁的表面作出两条横向线aa和bb，两条纵向线11和22然后在梁的两端加上一对外力偶矩M，如图6.12 (b) 所示梁发生纯弯曲后，横向线aa与 bb弯成平行的弧线， 靠凹边的缩短，靠凸边的伸长；纵向线11和22只发生了相对转动，仍为直线，且与横向线垂直••　　若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c) 所示，上部纤维缩短，下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层中性层与横截面的交线称为中性轴中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比由于每根纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比•　　若将11和22所夹部分取出，如图6.12(c)所示，上部纤维缩短，下部纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层中性层与横截面的交线称为中性轴 中性层将横截面分为受拉区和受压区，在受拉区或受压区内，纵向纤维的变形与到中性轴的距离成正比，这表明纵向纤维所受的力也与到中性轴的距离成正比。

由于每根纵向纤维可以代表横截面上的一点，因此横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比 图　6.12•6.3.2　横截面上的正应力　横截面上的正应力•　　梁受纯弯曲时，其横截面上只有正应力，没有切应力横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴等高度的各点处正应力相等，而中性轴上各点处正应力为零 •　　横截面上应力分布如图6.13(a)所示可以证明, 距离中性轴y处点的正应力计算公式为　　　　 ，如图6.13(b)所示式中，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，对矩形截面， Iz=bh3/12，对圆形截面，Iz=πd4/64 •　　从图6.13中可以看出，离中性轴最远的梁的上、下边缘处正应力最大，最大正应力的值为•　　式中， 　　　 称为截面对中性轴z的抗弯截面系数， 其单位为m3或mm3对于常见的截面, 其抗弯截面系数分别如下： 图　6.13 •　　(1) 矩形截面(如图6.14(a)所示)：• •　　(2) 圆形截面(如图6.14(b)所示)：• •　　(3) 圆环截面(如图6.14(c)所示)：•　 •　　其中 其他形状截面的弯曲截面系数Wz可从有关资料中查得。

图　6.14•6.3.3　弯曲正应力强度条件　弯曲正应力强度条件•　　对于等截面梁，最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上，此截面称为危险截面危险截面的上、下边缘正应力最大正应力最大的点称为危险截面上的危险点弯曲正应力强度条件为：梁的最大弯曲正应力小于或等于材料的许用应力, 即•当材料的抗拉强度与抗压强度相等时，[σ]采用材料的许用拉(压)应力当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或横截面相对中性轴不对称时，应分别建立抗拉强度条件与抗压强度条件 •　　实际工程中，运用强度条件可以进行三方面计算：校核弯曲强度、求许可载荷和设计截面尺寸 •　　【例6.4】如图6.15(a) 所示，一矩形截面悬臂梁长l=4•m，材料的许用应力[σ]=150 MPa， 求此悬臂梁的许可载荷 图　6.15•　　解解　绘出悬臂梁的弯矩图，如图6.15(b)所示 •　　图中，Mmax=Fl=4000F•　　梁的横截面抗弯截面系数为•由梁的弯曲正应力强度条件得 •因此, 悬臂梁的许可载荷为F=25 000 N •　　【例6.5】　某建筑工地上, 用长l=3 m的矩形截面木板做•跳板，木板横截面尺寸b=500 mm，h=50 mm，木板材料的许用应力［σ］=6 MPa。

试求： •　　(1) 一体重为700 N的工人走过是否安全？•　　(2) 要求两名体重均为700 N的工人抬着1500 N的货物安全走过，木板的宽度不变，重新设计木板厚度h •　　解　解　(1) 计算弯矩的最大值Ｍmax当工人行走到跳板中央时，弯矩最大•　　校核弯曲强度：•所以, 体重为700 N的工人走过是安全的 • 　　(2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为•按弯曲强度设计： • •h≥65.95 mm •所以，木板厚度应满足h≥66 mm •6.4　梁的变形　梁的变形•6.4.1　挠度与转角　挠度与转角•　　如图6.16所示，悬臂梁AB受载以后轴线由直线弯曲成一条光滑的连续曲线AB′，曲线AB′称为挠曲线 梁的变形可以用挠度ω和转角θ来度量 •　　挠度：取轴线上任意一点C，变形后移至C1，其线位移ω为C点的挠度值•　　转角：梁弯曲变形后，轴上任意一点C处的横截面m-m将绕中性轴转动一个角度至m′-m′，其角位移θ称为该截面的转角 •6.4.2　计算变形的叠加法　计算变形的叠加法•　　梁的挠度和转角都是载荷的一次函数，当梁上同时受到几个载荷作用时，由某一载荷作用引起梁的变形不受其他载荷作用的影响，故梁的变形满足线性叠加原理，即可以分别计算出•单个载荷作用下梁的挠度和转角，再将它们求代数和，得到所有载荷同时作用时梁的总变形。

•　　几种常见梁在简单载荷作用下的变形见表6.1 •表表6.1　几种常见梁在简单载荷作用下的变形　几种常见梁在简单载荷作用下的变形 •6.4.3　刚度条件　刚度条件•　　梁的刚度条件为：最大挠度小于或等于许用挠度，最大转角小于或等于许用转角，即•ωmax≤［ω］•θmax≤［θ］•其中，［ω］、 ［θ］的具体数值可查有关设计手册 •　　【例6.6】如图6.17(a)所示，行车大梁采用NO.45a工•字钢，跨度l=9 m，电动葫芦重5 kN，最大起重量为55 kN， 许用挠度[ω]=l/500试校核行车大梁的刚度 图　6.17•　　解　　　解　将行车简化后受力情况如图6.17(b)所示把梁的自重看成均布载荷，并且当电动葫芦处于梁的中央时，梁的变形最大 •　　(1) 用叠加法求挠度•　　查手册可知：NO.45a工字钢的q=788 N/m，Iz=32 240 cm4, E=200 GPa •　　梁需要承受的最大载荷F=5+55=60 kN•　　查表6.1可得，在力F作用下产生的挠度为••在均布载荷q作用下产生的挠度为•梁的最大变形：ωCmax=ωCF+ωCq=0.015 m。

•　　(2) 校核梁的刚度•　　梁的许用挠度　　　　　　　　　　　　　 ，则•ωCmax<[ω]•所以梁的刚度足够 6.5　提高梁的承载能力的措施　提高梁的承载能力的措施•　　　　1. 选用合理截面选用合理截面•　　梁的截面多种多样，合理截面是指用较小的截面面积获得较大的抗弯截面系数Wz或者较大的截面惯性矩Iz前面的应力分布图6.13已经表明：截面上离中性轴愈远，正应力愈大， 而中性轴上的正应力为零因此，合理截面应当是将材料放在离中性轴较远的地方，如工字形截面比矩形截面合理， 而矩形截面又比圆形截面合理，等等 •　　　　2. 采用变截面梁采用变截面梁•　　对截面形状一定的梁， 其截面尺寸是按需要承受最大弯矩Mmax的截面强度条件设计的若做成等截面梁，则对于其他截面，由于承受的弯矩M

其上弯矩的最大值出现在中点，且 当增加副梁后，如图6.19(c)所示，所受的载荷相同，但产生的弯矩最大值减小为原来的一半所以合理地安排载荷，可以提高梁的承载能力 图　6.19•　　　　4. 减小跨度或增加支承减小跨度或增加支承•　　由前面内容可知，梁的变形与梁的跨度的高次方成正比， 减小跨度l能够有效提高梁的抗弯刚度并减少弯矩；增加支承也可以提高梁的抗弯刚度例如，车床上车削工件时， 车刀尖给工件作用力，不用尾架顶尖时工件易变形， 使用顶尖后，变形可以减小 6.6　组合变形简介　组合变形简介•6.6.1　组合变形的概念　组合变形的概念•　　工程实际中，许多构件同时受到多种基本变形的作用，如有的构件同时受到拉(压)与弯曲，或者同时受到弯曲与扭转的作用像这种同时受两种或两种以上基本变形的变形形式， 称为组合变形 •　　图6.20 (a) 所示的AB构件，其受力图如图6.20 (b) 所示其上作用的力NAx和 Fx使杆产生压缩变形；力NAy、 Fy与G•使杆产生弯曲变形 所以, AB杆的变形属组合变形 图　6.20•　　在对组合变形的杆件进行强度分析和计算时，通常采用叠加法，即把作用于杆件上的载荷分解、简化，使简化后的每一种载荷只产生一种基本变形，并且分别求出每一种载荷使杆件产生的应力，然后进行叠加，求得截面上的总应力。

•6.6.2　拉伸　拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合变形与弯曲的组合变形•　　如图6.21(a) 所示，矩形截面悬臂梁在自由端B处受外力F的作用将力F 分解为两个互相垂直的力Fx和Fy，力Fx使AB杆产生拉伸变形，力Fy使AB杆产生弯曲变形所以AB杆在力F的作用下发生拉伸和弯曲的组合变形 •　　(1) 内力分析•　　将力F分解为•　　　　　　　Fx=Fcosθ•　　　　　　　Fy=Fsinθ•　　分力Fx使AB杆产生拉伸变形，横截面上的应力为均匀分布的拉应力σN，如图6.21(b)所示 •　　分力Fy使杆AB产生弯曲变形，横截面上应力分布如图6.21(c)所示 图　6.21•　　(2) 应力计算•　　由于杆AB任一截面上的应力都有拉伸产生的正应力与弯曲产生的正应力，同一截面上两种应力平行，所以叠加时可以代数相加叠加后横截面上应力分布如图6.21(d)所示，并且最大正应力为•σmax=σN+σW •　　(3) 强度条件•　　为了保证此组合变形杆件的承载能力， 必须使其横截面上的最大正应力小于或等于材料的许用应力, 即•σmax≤［σ］•　　对于塑性材料， [σ]取材料的拉伸许用应力；对于脆性材料，因材料的抗拉与抗压强度不同，故应分别校核。

•　　【例6.7】　如图6.22(a)所示，杆AB为矩形截面，已知F=8 kN，材料的许用应力[σ]=100 MPa， 试校核AB杆的强度 • 解解〓[HT](1) 选AB为对象， 作受力分析， 如图6.22(b)所示 •∑MA=FCDsin30°×2.5-8×4=0•FCD=25.6 kN • 　　(2) 作内力图•　　AB杆在图上各力作用下产生拉伸与弯曲的组合变形绘出其轴力图，如图6.22(c)所示•绘出其弯矩图， 如图6.22(d) 所示•Mmax=-F×1.5=-12 kN·m 图　6.23•　　 (3) 强度校核•　　危险点在C截面的上边缘， 其最大拉应力为•所以强度足够 •6.6.3　扭转与弯曲的组合变形　扭转与弯曲的组合变形•　　如图6.23(a)所示，直角曲拐处于水平位置，C端固定，自由端A处作用一铅垂方向的外力F将F平移到B点后，应附加力偶T ，如图6.23(b)所示其中，力F使BC产生弯曲变形，而力偶T使BC杆产生扭转变形因此BC杆受弯曲和扭转同时作用产生组合变形 •　　弯曲和扭转组合变形是机械轴类零件最常见的组合变形， 其分析方法如下：•　　(1) 内力分析。

•　　BC杆在力F的作用下产生弯曲变形作出弯矩图，如图6.23(c) 所示BC杆在力偶T的作用下产生扭转变形作出其扭矩图，如图6.23(d)所示 •　　(2) 应力分析•　　由上面分析可知， 固定端C处弯矩最大，由弯矩M产生的正应力σ垂直于横截面，且在上、下边缘最大；由扭矩T产生的切应力τ平行于横截面，且在边缘最大横截面上应力分布如图6.23(e)所示由图(e)可知，Ｃ截面上正上方和正下方两点应力达到最大值，是危险点 图　6.23•　　(3) 强度计算•　　由于在弯曲与扭转组合变形中，构件横截面上的切应力和正应力分别作用在两个互相垂直的平面内，因此不能采用简单应力叠加的方法， 要采用第三强度理论或第四强度理论进行计算 其强度计算公式如下： •　　第三强度理论计算公式为•　　第四强度理论计算公式为•　　对于塑料材料圆截面杆 • •再将Wp=2Wz代入以上公式得•　　【例 6.8】　如图6.24(a)所示，电动机轴上带轮直径D=3•00 mm，轴外伸长度 l=100 mm，轴直径d=50 mm，轴材料许用应力[σ]=60 MPa，带的紧边拉力为2F，松边拉力F，电动机的功率P=9 kW，转速n=715 r/min。

试用第三强度理论校核此电动机轴的强度 •　　解解 　(1) 外力分析•　　画出电动机轴的受力简图，如图6.24(b)所示电动机轴传递的外力偶矩为•带拉力为•力F使轴产生弯曲，M使轴产生扭转，所以此电动机轴受弯曲与扭转产生组合变形 •　　(2) 内力分析•　　作扭矩图， 如图6.24(c) 所示，有•　　T=M=120 200 N·mm•　　作弯矩图，如图6.24(d)所示 •　　最大弯矩在最左端，即•Mmax=-3F×l=-3×800×100=-240 000 N·mm 图　6.24•　　 (3) 强度校核•　　危险面为轴的最左端， 按第三强度理论校核： •所以强度足够 第第7章　运动动力学基础章　运动动力学基础7.1　质点的运动7.2　刚体的运动7.3　动能定理7.4　动静法 7.1　质　质 点点 的的 运运 动动•7.1.1　自然表示法　自然表示法•　　自然法又称为弧坐标法，其特点是结合轨迹来确定点沿轨迹运动的规律所谓轨迹，是指动点运动时在空间经过的路线 对于轨迹已给出的问题，常用自然法求解为了简单起见，这里只讨论动点运动轨迹为平面曲线的情形 •　　　　1．点的运动方程．点的运动方程•　　若动点M的轨迹为如图7.1所示的平面曲线，则动点M在轨迹上的瞬时位置可以这样确定：在轨迹上任选一固定点O为坐标原点，并规定O点某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置可用具有相应正负号的弧长来确定，即 。

s称为M的弧坐标，是代数量动点沿已知轨迹运动时，弧坐标s随时间变化，是时间t的单值连续函数， 即• s=f(t)[JY] (7.1)式(7.1)称为点的弧坐标形式的运动方程 •　　2．点的速度．点的速度•　　速度是表示点运动的快慢和方向的物理量 •　　设动点沿平面曲线AB运动，如图7.2所示，在瞬时t，动点在弧坐标为s的M处，瞬时t1=t+Δt，动点运动到M1位置，其弧坐标为s+Δs，则在时间间隔Δt内动点的位移为 位移 与时间间隔Δt之比称为动点在Δt时间内的平均速度， 以v*表示， 即 •　　v*与　　　的方向一致 由此可见， 速度是矢量图　7.2•　　当Δt趋近于零时， 点M1趋近于M，而平均速度趋近于一极限值，该值就是动点在位置M处(时刻t)的瞬时速度， 即•(7.2) •　　当Δt趋近于零时，位移　　　　的大小趋近于弧长Δs， 即 ， 所以瞬时速度的大小为• (7.3)•　　速度v的方向与位移 在Δt趋近于零时的极限方向一致，即沿曲线在M点的切线方向，指向由导数ds/dt的正负号决定。

•　　由上述分析可知， 瞬时速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数， 若ds/dt>0，则点沿轨迹的正向运动，若ds/dt<0，则点沿轨迹的负向运动瞬时速度的方向是沿运动轨迹在该点的切线方向，并指向运动的一方速度的单位为m/s •　　　　3. 加速度加速度 •　　加速度是反映点的速度大小、方向随时间变化的物理量 　•　　设点沿已知的平面曲线运动，在瞬时t位于M点，其速度为v，经过时间Δt，该点运动到M1处，其速度为v1，如图7.3所示为了说明在Δt时间内点的速度变化情况， 把速度v1 平移到M点，如图7.3所示，由矢量合成法则可得在Δt时间内速度改变量为 Δv=v1－v，则在时间Δt内点的平均加速度为 图　7.3 •　　平均加速度a*是矢量，其方向与Δv相同当Δt→０•时，平均加速度a*趋近于一极限值， 这个极限值就是点在瞬时t的加速度a，有•　　可把Δv分解为反映速度大小变化的Δvτ和反映速度方向•变化的Δvn，在MC上找点B，使MB=MA=v，连接AB，则 为Δvn， 为Δvτ其中，Δvτ=v1-v表示速度大小的改变量，而Δvn表示速度方向的改变量。

由△ABC可得到Δv=Δvτ+Δ vn，如图7.3所示 •因此•即加速度a可以分解为两个分量 (7.4) •　　一个分量是　　　　　，用aτ表示，它描述了速度大小随时间的变化率 因为Δvτ=Δv=v1-v是一代数量，所以aτ的大小为••　　•　　由图7.3可知，当Δt→0时，v1趋近于v，Δj→０，　　•趋近于Δvτ的极限方向，与轨迹在M点的切线方向相重合，故aτ称为切向加速度当aτ>0时，切向加速度指向轨迹的正向， 反之指向轨迹的负向 （7.5） •　　另一个分量是　　　　　， 用an表示，它描述了速度方向随时间的变化率其大小既与该点的速度有关，也与轨迹在该点的弯曲程度有关 经严密推导(本书从略)，可得•(7.6)•式中，ρ为轨迹曲线在M点的曲率半径an的方向沿轨迹在该点的法线，并指向圆心, 故称an为法向加速度 若点的运动轨迹是圆，则ρ=R，an=v2/R，即为向心加速度 •　　综上所述，可得结论：切向加速度aτ表明了速度大小随时间的变化率，其大小为dv/dt， 方向沿轨迹的切线方向；法向加速度an表明了速度方向随时间的变化率，其大小为v2/ρ，方向沿轨迹的法线方向，并指向轨迹曲线的曲率中心。

点的全加速度a为切向加速度aτ和法向加速度an的矢量和，• 即• a=aτ+an (7.7) •因aτ与an垂直，故全加速大小为•全加速度的方向为•式中， β为a与an所夹的锐角，如图7.4所示加速度的单位为m/s2 （7.8） （7.9） 图　7.4•　　【例7.1】　滑道摇杆机构由滑道摆杆BC、 滑块A和曲柄OA组成，如图7.5(a)所示已知BO=OA=10 cm，滑道摆杆BC绕轴心B按φ=10t的规律逆时针方向转动(j的单位为rad，t的单位为s)，试求滑块A的运动方程、t时刻的速度和加速度 图　7.5•　　解　　　解　(1) 求滑块A的运动方程滑块A的运动轨迹是以轴心O为圆心，OA为半径的圆取滑块A在t=0时的位置A0为弧坐标原点，并以其初始瞬时的运动方向为弧坐标的正向，如图7.•5(b)所示，则滑块经时间t后的弧坐标为 •式中，θ为曲柄OA在时间t内转过的角度。

由图7.5(b) 可知, θ=2j，于是上式可写成•s=OA(2j)=0.1×2×10 t=2 t•这就是滑块A沿轨迹的运动方程 •　　(2) 求A点的速度•　　(3) 求A点的加速度 •切向加速度•　　法向加速度•故全加速度a的大小为•　　方向为 •　　即沿OA指向O轴 •　　下面分析几种典型的点的运动 •　　(1) 直线运动：曲率半径ρ→∞，故an≡0，加速度仅有切向加速度aτ •　　(2) 匀速曲线运动： v为常数，故aτ≡0，加速度仅有法向加速度an •　　(3) 匀变速曲线运动：aτ为常数，加速度既有切向加速度，又有法向加速度由 •　　积分可求得动点沿运动轨迹作匀变速曲线运动的三个基本公式： (7.10) •　　【例7.2】　列车进入如图7.6所示的曲线轨道匀变速行驶，在M1处速度v1=54 km/h，经过路程1000 m后到达M2处，此时速度v2=18 km/h已知M1处的曲率半径ρ1=600 m，M2处的曲率半径ρ2=800 m试求列车经过这段路程所需的时间及通过M1、M2时的全加速度的大小 图　7.6•　　解　　　解　因列车作匀变速曲线运动，故可用匀变速曲线运动公式进行计算。

•　　(1) 求列车的切向加速度aτ的大小 •　　由 得 •式中，•代入上式得 •　　(2) 求列车从M1运动到M2所需的时间 •　　由v=v0+aτt得•　　(3) 求列车通过M1和M2时全加速度的大小•7.1.2　直角坐标表示法　直角坐标表示法•　　点作平面曲线运动时， 对于未给出运动轨迹的问题， 应考虑用直角坐标法求解•　　　　1．点的运动方程．点的运动方程•　　设动点M作平面曲线运动，M相对于直角坐标系Oxy的瞬时位置可用其坐标x、y唯一确定如图7.7所示，动点M运动时，其坐标x、y随时间t变化，它们都是时间t的单值连续函•数，可以写成 图　7.7•式(7.11)称为点的直角坐标形式的运动方程•　　如果消去式(7.11)中的时间t，即得动点M的轨迹方程y=j(x) (7.11) •　　　　2．点的速度．点的速度•　　若已知动点M的直角坐标运动方程为•　　如图7.8所示，t瞬时动点位于M处，经Δt时间后动点位于M′处，其平均速度为 v*，显然　　　　　与位移　　方向相同， v*在x、y轴上的投影分别以　　和　　表示(注意它们与矢量　　和　　的区别)。

图　7.8•　　动点的位移　　　　在x、y轴上的投影分别以Δx和Δy表示利用相似三角形关系，即有•上式可改写为•　　同理可得•　　当Δt→0时， 得瞬时速度的投影为•　　即动点速度在直角坐标轴上的投影等于该点对应的坐标对时间的一阶导数 (7.12) •　　如图7.9所示， 速度大小和方向分别为•α为速度v与x轴所夹之锐角，v的具体指向由vx和vy的正、负号来决定 (7.13) (7.14) 图　7.9•　　　　3. 点的加速度点的加速度•　　仿照直角坐标求速度的方法， 可求得加速度在直角坐标轴上的投影为•　　即动点加速度在直角坐标轴上的投影，等于该点速度对应的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数 (7.15) •　　如图7.10所示， 加速度大小和方向分别为•β为加速度a与x轴所夹之锐角，a的具体指向由ax和ay的正、 负号决定 (7.17) (7.16) 图　7.10•　　【例7.3】　摆动导杆机构如图7.11所示，已知j=ωt(ω为常量)，O点到滑杆CD间的距离为l，求滑杆上销钉A的运动方程、速度方程和加速度方程 图　7.11•　　解解　取直角坐标系如图7.11所示。

销钉A与滑杆一起沿水平轨道运动，其运动方程为•x=ltanj=l tanωt•将运动方程对时间t求导，得销钉A的速度方程： •将速度方程对时间t求导， 得销钉A的加速度方程： •7.1.3　矢量表示法　矢量表示法•　　设有动点M相对于某参考系Oxyz运动，如图7.12所示，由坐标系原点O向动点M作一矢量，即　　　　　，矢量r称为动点M的矢径动点M在坐标系中的位置由矢径唯一确定 动点运动时，矢径r的大小、方向随时间t而改变，故矢径r可写为时间的单值连续函数：•r=r(t) (7.18)•式(7.18)称为动点M矢量形式的运动方程，其矢端曲线即为动点的运动轨迹  图　7.12•　　若某瞬时t1，动点的矢径为r1，瞬时t2，动点的矢径为•r2，则Δr=r2-r1称为时间间隔Δt=t2-t1内动点的位移，如图7.13所示由速度和加速度的定义可以推出，动点的速度等于矢径对时间的一阶导数，动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数或其矢径对时间的二阶导数，即 (7.15) 图　7.147.2　刚　刚 体体 的的 运运 动动 •7.2.1　刚体的平动　刚体的平动•　　　　1．． 工程中的平动问题工程中的平动问题•　　工程中的平动问题是日常生活和生产实践中常有的现象。

例如， 如图7.14所示，沿水平直线轨道行驶的火车车厢，其上的任意一直线AB始终平行于初始位置A′B′又如，图7.15所示为筛砂机， •如果在筛砂机的筛子上作任一直线AB，则虽A点和B点的轨迹均为曲线(圆弧)，但因摇杆长OA=O1B，且AB=OO1， 故直线AB始终与其初始位置A′B′平行 图　7.14图　7.15•　　在上述机构中，车厢的运动和筛子的运动有着一个共同的特点，即在刚体运动的过程中，刚体内任一直线始终保持与原来的位置平行一般称这种运动为刚体的平行移动，简称平动刚体平动时，其上各点的轨迹若是直线，则称刚体作直线平动，如上述火车车厢的运动；其上各点的轨迹若是曲线，则称刚体作曲线平动，如上述筛砂机中筛子的运动 •　　　　2．刚体平动的特性．刚体平动的特性•　　如图7.16所示，设一刚体作平动，任取刚体上的两点A和B，则这两点以矢径表示的运动方程为•rA=rA(t)•rB=rB(t)•连接B、A得矢量 ， 由图中易见图　图　7.16•　　将该式两边对时间求导，并注意到由于A、B为刚体上的两点，且刚体作平动，因此矢量 的大小和方向始终保持不变，即 为常矢量，其导数为零，故有•即 • vA=vB (7.20) •　　将式(7.20)两边再对时间求导，可得•即• aA=aB (7.21) •　　由式(7.20)和式(7.21)可得结论：刚体平动时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；在同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。

因此，研究刚体的平动时，只需分析刚体上任意一点的运动，即可确定刚体上其余各点的运动状态 •7.2.2　刚体的定轴转动　刚体的定轴转动 •　　　　1．． 转动方程、角速度和角加速度转动方程、角速度和角加速度•　　(1) 转动方程 为了确定转动刚体在空间的位置，过转轴z作一固定平面Ⅰ为参考面如图7.17所示，半平面Ⅱ过转轴z且固连在刚体上，则半平面Ⅱ与刚体一起绕z轴转动这样， 任一瞬时， 刚体在空间的位置都可以用固定的半平面Ⅰ与半平面Ⅱ之间的夹角j来表示， j称为转角刚体转动时，角j随时间t变化，是时间t的单值连续函数， 即• j=j(t) (7.22) 图　图　7.17•　　式(7.22)被称为刚体的转动方程，它反映转动刚体任一瞬时在空间的位置，即刚体转动的规律 •　　转角j是代数量，规定从转轴的正向看，逆时针转向的转角为正，反之为负转角j的单位是rad •　　(2) 角速度角速度是描述刚体转动快慢和转动方向的物理量，用符号ω表示，它是转角j对时间t的一阶导数，即•　　角速度是代数量，其正负表示刚体的转动方向。

当ω＞0时， 刚体逆时针转动；反之则瞬时针转动 角速度的单位是rad/s (7.23) •　　工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速，用符号n表示，单位是r/min转速n与角速度ω的关系为(7.24) •　　(3)　角加速度角加速度是表示刚体角速度变化快慢和方向的物理量，用符号α表示，它是角速度ω对时间的一阶导数，即(7.25) •　　角加速度α是代数量，当α与ω同号时，表示角速度的绝对值随时间增加而增大，刚体作加速转动；反之，则作减速转动角加速度的单位是rad/s2 •　　虽然刚体绕定轴转动与点的曲线运动形式不同，但它们相对应的变量之间的关系是相似的，其相似关系如表7.1所示 •表表7.1　刚体绕定轴转动与点的曲线运动　刚体绕定轴转动与点的曲线运动 •　　【例7.4】某发动机转子在起动过程中的转动方程为j=t3，其中t以s计，j以rad计试计算转子在2 s内转过的圈数和t=2 s时转子的角速度、角加速度 •　　解　解　由转动方程j =t3可知, t=0时， j 0 =0，转子在2s内转过的角度为•j - j 0=t3-0=23-0=8 rad•　　转子转过的圈数为•　　由式(7.23)和式(7.25)得转子的角速度和角加速度为•当t=2 s时, 有• ω=3×22=12 rad/s• α=6×2=12 rad/s2 •　　　　2．定轴转动刚体上各点的速度和加速度．定轴转动刚体上各点的速度和加速度•　　在机械加工的车、铣、磨等工序中，需要知道各种刀具的切削速度，以便设计和选择刀具；对于带轮、砂轮，要计算线速度。

它们均与作定轴转动的刚体(主轴、带轮)的角速度•有关，更确切地说，是与定轴转动刚体上点的速度、加速度有直接关系因此，有必要研究定轴转动刚体的角速度、角加速度与刚体上各点的速度、加速度之间的关系 •　　1)转动刚体上各点的速度•　　如图7.18所示，刚体作定轴转动时，刚体内各点始终都在各自特定的垂直于转轴的平面内作圆周运动在刚体上任取一点M，设该点到转轴的垂直距离为R(称为转动半径)显然，M点轨迹就是以R为半径的圆若刚体的转角为j，则以弧坐标形式表示的M点的运动方程为 (7.26) •M点的速度大小为•　　即转动刚体上任一点的速度的大小等于其转动半径与刚体角速度的乘积 (7.27) 图　7.18•　　由式(7.27)可以看出，转动刚体上点的速度大小与点的转动半径成正比，方向垂直于转动半径，指向与角速度的转向一致，如图7.19所示 •　　若以转速n表示刚体转动的快慢，则直径为D的圆周上各点的速度可表示为•或 • v=πDn m/min (7.28) 图　7.19 •　　　　2) 转动刚体上各点的加速度转动刚体上各点的加速度•　　由于定轴转动刚体上的各点作圆周运动，因此其加速度分为切向加速度和法向加速度。

•　　M点切向加速度的大小为 •即转动刚体上任一点切向加速度的大小等于其转动半径与角加速度的乘积，其方向垂直于转动半径，指向与角加速度的转向一致，如图7.18所示 （7.29） •　　　　M点法向加速度的大小为•　　即转动刚体上任一点法向加速度的大小等于其转动半径与角速度平方的乘积，其方向沿转动半径指向圆心，如图7.18所示 　　（7.30） •　　由此可确定M点全加速度的大小和方向，如图7.20所示•式中，θ是加速度α与转动半径R的夹角 （7.31） •　式(7.31)表明定轴转动刚体上各点全加速度的大小与该点的转动半径成正比，方向与转动半径成θ角，且各点θ角均相同， 其分布如图7.20所示 图　7.20•　　【例7.5】　轮Ⅰ和轮Ⅱ固连，半径分别为R1和R2，在•轮Ⅰ上绕有不可伸长的细绳，绳端挂重物A，如图7.21所示 若重物自静止以匀加速度a下降，带动轮Ⅰ和轮Ⅱ转动求当重物下降了h高度时，轮Ⅱ边缘上B2点的速度和加速度的大小 图　7.21•　　解　解　重物自静止下降了高度h时，其速度大为　　　　 ，其中v0=0， 故 。

轮Ⅰ和轮Ⅱ的角速度、角加速度分别为 •　　轮Ⅱ边缘上B2点的速度、 加速度大小为7.3　动　能　定　理　动　能　定　理 •7.3.1　力的功　力的功•　　1．． 常力的功常力的功•　　设有一个不变的力F作用在物体上，如图7.22所示，物体沿直线运动α表示力与运动方向间的夹角，s表示作用点走过的路程我们把力F在运动方向的投影F·cosα与路程s的乘积称为力F在路程s上所作的功，以W表示, 即• W=F·(cosα)·s=Fτ·s 　　　　(7.32)•　　由上式可以看出，当α<90°时，W >0，力作正功； 当α>90°时，W <0，力作负功；当α=90°时， W=0，力不作功或功等于零 可见, 功是代数量 图　7.22•　　　　2．变力的功．变力的功•　　设物体M在变力F的作用下，沿曲线Os运动，如图7.23所示，现在计算力F所作的功将路程s分成无限多个微小段ds，在微小段ds上的力可近似看成常力，而ds也近似为直线， 于是力在此微小段上所作的功称为元功，即•dW=Fcosα·ds•式中，α为力F与轨迹切线方向的夹角。

图　7.23•　　力在全部路程上的功为力在各微小段上元功的总和， 即• 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7.33)•　　这就是说，变力在某曲线路程上作的功等于这个力的切向分力沿这段曲线路程的积分 •　　　　3．． 常见力的功常见力的功•　　1) 重力的功•　　物体M的重量为G，沿曲线 从位置M1运动到位置M2，M1与M2位置的高度差为h, 如图7.24所示重力G在这段路程上所作的功为• W=Gh (7.34) •即重力的功等于物体重量与重心始末位置高度差的乘积，与物体运动的轨迹无关重物由高至低运动，重力作正功；反之，重力作负功 图　7.24•　　2) 弹性力的功 •　　物体M与弹簧一端连接，弹簧的另一端固定于O′点， 如图7.25所示设弹簧的原长为l0，刚度系数为k (使弹簧产生长度变形所需的力，其单位是N/m)。

图　7.25•　　取弹簧自然长度的位置为坐标原点O，弹簧中心线为坐标轴，并以弹簧伸长方向为正方向设物体位于M处，此时弹簧被拉长x根据胡克定律，在弹性极限内，弹性力与弹簧•的变形成正比，即F=－kx，弹性力的方向指向自然长度的O点，与变形方向相反当物体M有一微小位移dx时，则弹性力的元功为•dW=F·dx=-kx·dx •　　当物体由M1移动到M2，即弹簧的变形量δ=δ2-δ1的过程中，弹性力所作的功为 •　　式(7.35)表明，弹性力所作的功等于弹簧的刚度系数与其始末位置变形的平方差乘积的一半可以证明当物体M作曲线运动时，弹性力的功也只取决于弹簧始末位置的变形量，而与物体的运动轨迹无关，计算公式仍与式(7.35)相同 (7.35) •　　3) 力矩的功•　　绕O轴转动的物体，受到力F的作用，当物体转过一微小角度dj时， 如图7.26所示，力F所作的元功为•dW=Fcosα·ds=Fτ·r·dj=M·dj•式中，M是力F对转轴O的力矩 图 7.26•　　当物体绕O轴转过j角时, 力F所作的总功(即力矩M所作的总功)为• (7.36) 于是可得出结论：当物体绕定轴转动时，作用在物体上的力所作的功， 等于该力对转轴之矩对物体转角的积分。

•　　当力矩为常量时，则• W=M· j (7.37)•显然, 当力矩与物体转向相同时， 力矩作正功， 反之为负功• 　　如果作用在转动物体上的力偶是常力偶，而力偶的作用面与转轴垂直，则功的计算仍按式(7.37)进行 •　　【例7.6】原长为　　　、刚度系数为k的弹簧与长为l、 质量为m的均质杆OA连接，杆OA直立于铅垂面内，如图7.27所示当OA杆受到常力矩M作用时，求杆由铅垂位置绕O轴转动到水平位置时各力所作的功及总功 图　7.27•　　解　解　杆受重力、 弹性力和力矩作用， 所作之功分别为•作用在杆上各力的总功为各个分力的功的代数和, 因而•7.3.2　刚体的动能　刚体的动能 •1．质点的动能．质点的动能•　　设质量为m的质点，某瞬时的速度大小为v，则质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点在该瞬时的动能，以T表示，即•由式(7.38)可知，动能是一个恒为正值的标量，其单位是焦(J)，与功的单位相同(7.38) •　　　　2．． 刚体的动能刚体的动能 •　　刚体是不变质点系，质点系内各质点动能的总和为刚体的动能，记为• 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7.39) •由于刚体的运动形式不同， 因此其动能的计算公式也不同， 现分述如下： •　　(1) 刚体作平动时的动能。

刚体平动时，其内各质点的瞬时速度都相同，用质心C的速度vC代表，由式(7.39)可得•式中, M=∑mi是刚体的总质量，vC为刚体质心C的速度•式(7.40)表明：刚体平动时的动能等于刚体的总质量与质心速度平方乘积的一半 (7.40) • 　　(2) 刚体绕定轴转动时的动能刚体绕固定轴转动，某瞬时的角速度为ω，如图7.28所示，刚体内任一点的质量为mi， 离转轴的距离为ri，速度vi=ωri，由式(7.39)可得•式中， 为刚体对转轴z的转动惯量 (7.41) 图　7.28•　　式(7.41)表明, 刚体绕固定轴转动时的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半工程中常常用到回转半径这一概念如果一个刚体的质量为M，对固定轴z轴•的转动惯量为Jz，则 被定义为这个刚体对z轴的回转半径显然，Jz=Mρ2表7.2中给出了几种均质简单形状物体的转动惯量和回转半径 •表表7.2　几种均质简单形状物体的转动惯量和　几种均质简单形状物体的转动惯量和回转半径回转半径 •7.3.3　质点与刚体的动能定理和回转半径　质点与刚体的动能定理和回转半径•　　　　1．质点的动能定理．质点的动能定理•　　设质量为m的质点M，在力F(合力)的作用下，沿曲线运动，如图7.29所示。

开始时，质点在曲线上M1位置，速度为v1，质点在曲线上走过了路程 后，到达M2位置，速度为v2根据牛顿第二定律有•ma=F•将上式向切线方向投影得•maτ=Fτ•即 •两侧同乘以ds得•可写成mvdv=Fτ·ds, 又因为••所以••将上式沿曲线 积分得••即在任一路程中质点动能的变化， 等于作用在质点上所有力的合力在这段路程上所作的功这就是质点的动能定理 (7.42) 图　7.29•　　【例7.7】在计算矿车的牵引力时，要考虑车轮轴承的摩擦及车轮与轨道间的滚动摩擦所消耗的能量，为此，利用阻力系数这一概念，即认为正压力N与阻力系数f的乘积等于所有摩擦阻力为了测定阻力系数f，把矿车置于斜坡上的A点，让其无初速下滑，当它达到B点时，靠惯性又往前滑行一段路程而在C点停止，如图7.30所示，求阻力系数f已知s1、 s2和h 图　7.30•　　解　解　选矿车为研究对象，它受重力G、摩擦力F和法•向反力N的作用，受力图如图7.30 所示矿车在A、C两位置的速度为零，故矿车在这两位置的动能也都为零。

在这一过程中，作用于矿车上的各力所作的功如下：•　　在AB段，重力所做的功为G·h又因法向反力为•N=G·cosα•则•F=N·f=G·f cosα•所以， 摩擦阻力的功为•-G·fcosα·AB=-Gf·s1•　　在BC段，重力不作功，又因法向反力为•N=G•则 •F=G·f•所以摩擦阻力的功为-Gf·s2根据动能定理，有•0-0=Gh-Gf·s1-Gf·s2•故•　　　　2．． 刚体的动能定理刚体的动能定理•　　质点的动能定理可以推广到质点系, 刚体可视为各质点间的距离始终保持不变的质点系设刚体内某质点的质量为mi，在某一段路程的末了和起始位置的速度分别为vi2、vi1， 作用在该质点上所有力的功为Wi，则按质点的动能定理有 •　　由于功和动能都是标量，因此将刚体内所有质点的上述方程加在一起有•上式可简化为•（7.43） •　　式中, ∑Wi是作用在整个质点系上所有力的功，应该是外力和内力作功的总和 一般来讲，质点系内各质点间的距离是可变的，因此，内力作功的代数和不一定等于零但对刚体来讲，因为刚体内各质点间的相对位置是固定不变的， 因此刚体内力作功的代数和等于零, 于是∑Ｗi对刚体来说， 只表示所有外力作功的代数和。

•　　式(7.43)表明，刚体动能在任一过程中的变化，等于作用在刚体上所有外力在同一过程中所作功的代数和 这就是刚体的动能定理 •　　对于用光滑铰链、 不计自重的钢杆或不可伸长的柔索等约束连接的刚体系统， 在不计摩擦的理想情况下， 其内力作功之和也总等于零 •　　【例7.8】自动送料机构的小车连同矿石的质量为m1，毂轮的质量为m2，半径为r, 对其转轴的回转半径为ρ，轨道的倾角为α，如图7.31所示如在毂轮上作用一不变的力矩M将小车提升，求小车由静止开始沿轨道上升路程为s时的速度 略去摩擦和绳的质量 图　7.31•　　解　解　(1) 先计算系统的动能 •　　在初始位置时系统静止，故系统的初动能为零，即Ｔ1=0 设小车上升路程为s时速度为v，毂轮的角速度为ω，系统的末动能为小车动能与毂轮动能之和，即•将 代入上式， 整理后得•　　(2)再计算外力的功 •　　设小车上升s时毂轮的转角为j， 则•由于绳索不可伸长，因此由r j =s有 ， 代入上式后得•应用动能定理得•由上式解得•所以7.4　动　静　法　动　静　法•7.4.1　惯性力的概念　惯性力的概念•　　当物体受到外力作用运动状态发生变化时，运动物体也要对施力物体产生反作用力，因这种反作用力是由于运动物体的惯性所引起的，故称此为运动物体的惯性力，用FⅠ表示。

需要特别指出的是，此力是作用在施力物体上的 •　　例如，工人沿着光滑地面以力F推一质量为m的小车，如图7.32所示，小车产生的加速度为a，则F=ma由作用力与反作用力定律可知，工人必受到小车的反作用力FⅠ，它与作用力F等值、反向且共线因而，惯性力的大小等于运动质点质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反, 即 •FⅠ=-ma=-F图　7.32•　　当质点作曲线运动时，质点的加速度可以分解为切向加速度aτ和法向加速度an相应地, 质点的惯性力可表示为切向惯性力FⅠτ=-maτ和法向惯性力FⅠn=-man，如图7.33所示， 则质点的合惯性力FⅠ=FⅠτ+FⅠn因为法向加速度总是指向曲率中心，所以法向惯性力总是沿着法向背离曲率中心，又称为离心力例如，当用手使拴在绳子上的小球作圆周运动时，手上会感到经绳子传递过来的向外的拉力 图　7.33•7.4.2质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理•　　从前面推车的例子中，我们看到，车的惯性力和它受到的推力F (如图7.32所示)是大小相等，方向相反，并作用在一条直线上的但这两个力不作用在同一物体上因此它们不是平衡力，也就是说，车并不平衡，而是作加速运动。

但是，由于它们之间存在着上述关系，因此，如果假想将惯性力移到车上，则车实际所受的力F和假想作用在车上的惯•性力必将构成一个平衡力系，即F+FⅠ=0 •　　在一般情况下，质点的轨迹如图7.34所示，质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的力有主动力F和约束反力FR •图　7.34•　　因为 ma=FR+F, 即FR+F-ma=0, 而FⅠ=-ma, 所以 •FR+F+FⅠ=0(7.44) •　　式(7.44)表示，在质点运动的任一瞬时，如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束反力外，再假想地加上质点的惯性力，则这些力在形式上构成一平衡力系，这就是质点的达朗贝尔原理利用达朗贝尔原理求解动力学问题的方法称为动静法•　　应该指出，动静法只是解决动力学问题的一种方法，它并没有改变动力学问题的性质，因为质点实际上并不平衡 动静法在工程实际中应用较广，特别是在求解由惯性力引起的约束反力(即动反力)时，其优点特别明显 •　　　　7.4.3　质点系的达朗贝尔原理　质点系的达朗贝尔原理•　　对质点系中每一个质点应用质点的动静法，然后加以综合，就可得到质点系的动静法设质点系由n个质点组成， 其中第i个质点Mi的质量为mi，它在主动力Fi和约束反力FRi的作用下运动， 其加速度为ai。

根据质点的动静法，在Mi点上虚加的惯性力FⅠi=-miai， 则有• FRi+FⅠi+Fi= 0 (i=1， 2， …, n) (7.45)•　　式(7.45)表明，每一个质点所受的主动力、约束反力与虚加的惯性力在形式上构成一个平衡力系对整个质点系，这样的平衡力系共有n个，它们综合在一起仍构成一个平衡力系• 因此，在质点系运动的任一瞬时，作用于质点的主动力、约束反力与虚加的惯性力在形式上构成一平衡力系这就是质点系的达朗贝尔原理 •　　这里要注意的是, 对于质点，虚加惯性力后得到的平衡力系是汇交力系，但对于质点系就不是汇交力系了，而是一任意力系 •　　用动静法解题时，其步骤和静力学中的解题步骤类似，即首先选取研究对象，然后分析其受力情况，画出受力图 只是在受力图中除研究作用于对象的全部主动力和约束反力之外，还应画上虚加的惯性力最后，根据受力图，按静力学中列平衡方程的方法进行求解 •7.4.4　刚体惯性力系的简化　刚体惯性力系的简化•　　　　1．． 刚体作平动刚体作平动•　　刚体作平动时，其上各点的加速度都相同，各点的惯性力组成一个方向相同的平行力系，因此，其惯性力系简化的结果为一合力，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过质心, 即FⅠC=-maC， 如图7.35所示。

图　7.35•　　　　2．． 刚体作定轴转动刚体作定轴转动•　　这里仅讨论刚体具有质量对称平面，且转动轴垂直于对称平面的情形，如图7.36(a) 所示可先将刚体的空间惯性力系简化为在对称平面内的平面力系，然后再将此平面力系向对称平面与转轴的交点O简化，如图7.36(b)所示设刚体的质量为m，对转轴Oz的转动惯量为JO，某瞬时绕Oz轴转动的角速度为ω，角加速度为α，对称平面上第i个质点的质量为mi， 到转轴上O点的距离为ri，加速度及其法向和切向分量分别为•则惯性力及切向和法向分量分别为•式中，n为法向单位矢量，τ为切向单位矢量 图　7.36•　　对称平面上各点的惯性力组成一平面惯性力系，将此惯性力系向O点简化的结果主矢为•FⅠR=-maC•　　由于 的方向通过点O，　　　　　　　，因此惯性力系向O点简化的结果主矩为  •　　上述简化结果表明，刚体作定轴转动时，其惯性力系简化结果为在对称平面内通过O点的一个力和一个力偶这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反， 如图7.36(b) 所示。

•　　【例7.9】已知转子的质量为m=20 kg，由于材料、制造•和安装等原因造成的偏心距e=0.1 mm若转子以匀转速n=12 000 r/min转动，如图7.37所示，求当转子的重心处于最低•位置时轴承的动反力 图　7.37•　　解解　 (1) 选取研究对象， 画出受力图•　　取转子和轴为研究对象，其受重力G和约束反力FRA、FRB作用•　　(2) 分析运动，加惯性力•　　转子作匀速转动，即α=0，且转轴不通过质心所以，其惯性力系简化结果为通过质心并与转轴相交的一个合力FⅠR，其大小为 ， 方向与 相反， 作用在转子和轴上的力G、FRA、FRB、FⅠR在形式上构成了一平衡力系 •　　(3)　写平衡方程，求解未知量•　　平衡方程：(a) (b) •联立求解(a)、(b)可得•若只考虑重力的作用， 那么在轴承上所引起的静反力为•　　由以上计算可见，轴承动反力由两部分组成：一部分是由主动力所引起的反力，称为静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的反力，称为附加动反力。

在图7.36所示的情况下， 轴承的附加动反力是静反力的16倍所以，对一些高速、精密的回转机械，消除轴承的附加动反力是一个十分重要的问题 •　　要想消除附加动反力，必须使偏心距e等于零, 即设法使转子的质心移到轴线上来通常可在质心对面加上适当的质量m′，其位置为e′，使me=m′e′，则转子上的惯性力系自相平衡，如图7.38所示这样，轴承将不因转子的旋转而产生附加动反力。